D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 1

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1 D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski Serie 1 Best before: Di. 8.3 / Mi. 9.3, in den Übungsgruppen Koordinatoren: Alexander Dabrowski, HG G 52.1, alexander.dabrowski@sam.math.ethz.ch Webpage: 1. Einführung in Python Arbeiten Sie sich durch das Tutorial Am wichtigsten sind die Abschnitte First introduction to Python, First introduction to Numpy, First introduction to Scipy und First introduction to Matplotlib. Sie sollten auch das Kapitel Examples ansehen um einen ersten Eindruck von einem Python Programm zu bekommen. Das Kapitel Some frequent errors ist bei Bedarf auch hilfreich. Plotten Sie folgende Funktionen mit x [0, 1]: (a) Φ 1 (x) = e x und f(x) = x (b) Φ 1 (x) = 1+x 1+e x und f(x) = x (c) Φ 1 (x) = x + 1 xe x und f(x) = x Speichern Sie jeweils den Plot in eine pdf oder png Datei. Bitte wenden!

2 2. Vorübung für/aus der Vorlesung zur Thema Polygonzugverfahren Wir betrachten die Gleichung für den Auslenkungswinkel α(t) im mathematischen Pendel der Länge l im Erdgraviationsfeld (wir notieren ω 2 = g l ): α(t) = ω 2 sin α(t) (1) α(0) = α 0 α(0) = α 0 (a) Ist diese Differentialgleichung linear? Welche Ordnung hat sie? Ist sie autonom, d.h. kommt die Zeit in dieser Differentialgleichung explizit (d.h. ausser innerhalb der Unbekannten Funktion) vor? (b) Ersetzen Sie die Differentialgleichung (1) durch eine einfachere, exakt lösbare Differentialgleichung in der Unbekannte β(t) mit den selben Startwerten β(0) = α 0, β(0) = α0. Finden Sie eine obere Schranke für den Fehler α(t ) β(t ) zum Endzeitpunkt T. Kann man diese Berechnungen systematisch verbessern, so dass dieser Fehler beliebig klein wird? Hinweis. Skript oder Vorlesung Physik I. (c) Schreiben Sie die Differentialgleichung (1) in einem System Differentialgleichungen erster Ordnung um: ẏ 0 = f 0 (y 0, y 1 ) (2) ẏ 1 = f 1 (y 0, y 1 ) (3) y 0 (0) = α 0 y 1 (0) = α 0. Für welche physikalische Grösse steht hier y 1? (d) Wir fassen diese zwei unbekannte Funktionen in einer zeitabhägigen Vektorfunktion y(t) = [y 0 (t), y 1 (t)] T zusammen. Wir nehmen eine kleine Zahl h, die wir Zeitschritt nennen. Schlagen Sie mindestens drei verschiedene Methoden vor, um eine Approximation y 1 an y(h) zu erhalten. Dabei dürfen Sie annehmen, dass Sie Zugang zur Lösung einer algebraischen nichtlinearen Gleichung in einer oder mehreren Unbekannten haben. Wie gross ist der Fehler y(h) y 1 2 jeweils? Wie gross ist der Fehler y(t ) y N 2, d. h. nach N Zeitschritte der Länge h, mit T = Nh? Kann man diese Berechnungen systematisch verbessern, so dass der Fehler zur Zeitpunkt T beliebig klein wird? Hinweis. Der Satz von Taylor für y um verschidene Punkte. Alternativ kann man sich eine lineare Approximation auf dem Zeitinterval [0, h] vorstellen. (e) Sei das Zeitgitter t 0 = 0, t 1 = h,..., t N = Nh = T. Verwenden Sie den Satz von Taylor zwei mal, um eine Methode zur Approximation von α(t k+1 ) vorzuschlagen, die auf bereits berechnete Werte (Näherungen) für α(t k 1 ) und α(t k ) beruht. Wie gross ist der Fehler y(h) y 1 2? Wie gross ist der Fehler y(t ) y N 2, d. h. nach N Zeitschritte der Länge h, mit T = Nh? (f) Implementieren und überprüfen Sie Ihre theoretischen Ergebnisse für den konkreten Fall g = 9.81, l = 0.6, T = 4.0, N = 500, α 0 = , α 0 = 0. Ploten Sie alle Trajektorien in einem Bild mit den Koordinaten α, α. Ploten Sie ein Bild der Evolution der (Approximationen der) kinetischen ( 1 2 α(t)2 ), potentiellen ( ω 2 cos(α(t))) und totalen Energie im System (Energie gegen Zeit) für jede Methode. Bleibt die totale Energie immer erhalten? Stimmen die vorausgesagten Perioden überein? Welche liegt der Realität am nächsten? Siehe nächstes Blatt!

3 Hinweis. Für den Program können Sie das Template gradinar/teaching/numphys/sometemplates/4 pendsolver02 Template.py und das Hilfsprogramm gradinar/teaching/numphys/sometemplates/ode45.py verwenden; dort steht unter yode45 eine sehr gute Approximation an der exakten Lösung zu den Zeitpunkten in tode45 bereit. Die algebraische nichtlineare Gleichung F (x) = 0 lösen Sie numerisch mit der Funktion x=scipy.optimize.fsolve(f, x0), wobei x0 eine von Ihnen geratene Lösung x ist. Bitte wenden!

4 3. Pendelgleichung (Aufgabe aus der Vorlesung) Implementieren Sie folgende Verfahren für die Pendelgleichung. Explizites Eulerverfahren Implizites Eulerverfahren Implizite Mittelpunktsregel Hinweis: Benutzen Sie das Template 4 pendsolver Template02.py 4. Störmer-Verlet Verfahren (Aufgabe aus der Vorlesung) Implementieren Sie folgende Verfahren für die Pendelgleichung. Zweischrittverfahren Einschrittverfahren (Leap-Frog) Velocity-Verlet Verfahren Hinweis: Benutzen Sie das Template VerletLong Template.py Siehe nächstes Blatt!

5 5. Kernaufgabe: Das N-Körper Problem Modellierung der Physik Wir betrachten N Körper im dreidimensionalen Raum. Ihre Dynamik unterliegt einzig der Gravitation, beschrieben durch das Newtonsche Gesetz. Jeder Körper K i hat eine Position q i R 3 und einen Impuls p i R 3 sowie eine Masse m i. Zur einfachen Behandlung der N Körper fassen wir deren Positionen q i und Impulse p i in Vektoren zusammen: q := [q 1... q N ] T R 3N p := [p 1... p N ] T R 3N. Die Hamilton-Funktion H(q, p) lautet dann: H ( q, p ) = 1 2 i=1 1 m i p i T p i G 1 i<j N m i m j q j q i Aus dieser Funktion erhält man die Bewegungsgleichungen durch partielles ableiten: Wir finden hier also: q t p t =: q = H p =: ṗ = H q. q k = H = 1 p k p k 2 i=1 1 m i p i T p i = 1 m k p k und: ṗ k = H = G q k q k i=1 j=i+1 m i m N j q j q i = G i=1 i k m i m k q i q k 3 ( qi q k ). Schliesslich fasst man noch die Positionen q und Impulse p in einen einzigen grossen Vektor y := [q p] T zusammen. Mathematisches Modell Aus obiger Herleitung bekommt man ein System von gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung: [ ] [ H ] q(t) p ẏ(t) = = ṗ(t) H = f ( t, y ) q mit f : R + R 6N R 6N welches wir nun mit den Polygonzugverfahren aus der Vorlesung lösen wollen. Bitte wenden!

6 Aufgabenstellung a) Implementieren Sie mithilfe obiger Formeln die Funktion f(y) korrekt für N Körper. Hinweis: Benutzen Sie das Python Template nbody template.py b) Implementieren Sie das explizite und implizite Eulerverfahren sowie die implizite Mittelpunktsregel. Alle Integratoren sollen Anfangswerte y 0, Startzeit t 0 = 0 und Endzeit T sowie die Anzahl Zeitschritte als Argumente übernehmen. Hinweis: Benutzen Sie die Funktion fsolve aus scipy.optimize. c) Implementieren Sie das velocity-verlet Verfahren und eine kompatible Version der rechten Seite f. Achten Sie dabei auf die Verwendung korrekter Input-Werte. d) Testen Sie die Implementation am Zweikörperproblem mit folgenden Anfangswerten. Massen: m 1 = 500, m 2 = 1, Positionen: q 1 = 0, q 2 = (2, 0, 0), Impulse: p 1 = 0, Gm p 2 = (0, 1 2, 0) und G = 1. Die Endzeit sei T = 3 und es sollen 5000 Zeitschritte gemacht werden. Plotten Sie die Bahnen der Körper in der x-y Ebene. Vergleichen Sie die benötigten Rechenzeiten der verschiedenen Methoden. e) Als nächstes wollen wir ein Dreikörperproblem betrachten. Im Allgemeinen ist das Dreikörperproblem nicht analytisch lösbar. Untersuchen Sie numerisch die Dynamik mit den gegebenen Anfangswerten. Massen: m 1 = m 2 = m 3 = 1. Positionen und Impulse: q 1 = ( , , 0) p 1 = ( , , 0) q 2 = ( , , 0) p 2 = ( , , 0) q 3 = (0, 0, 0) p 3 = ( , , 0). Auch hier nehmen wir G = 1. Die Endzeit sei T = 2 und es sollen 1000 Zeitschritte mit dem velocity-verlet impliziten Mittelpunktsregel gemacht werden. Plotten Sie die Bahnen der drei Körper in der x-y Ebene. a f) Abschliessend wollen wir die Bahnen der Planeten b des äusseren Sonnensystems untersuchen. Dazu integrieren wir ihre Bewegungsgleichungen ausgehend von konkreten Anfangswerten. Diese Werte sind im Python Template zur Aufgabe notiert und alle Einheiten sind im astronomischen Einheitensystem (Längen in A.U., Massen relativ zur Sonne und Zeit in Tagen). Hier nehmen wir G = Die Endzeit sei T = und es sollen mit jeder Methode 2000 Zeitschritte gemacht werden. Plotten Sie die Planetenbahnen in der x-y Ebene. (Die Berechnung mit den impliziten Methoden dauert eine Weile.) a Dieses sehr spezielle Bewegungsmuster ist als figure-eight pattern bekannt und detailliert beschrieben im Paper A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses von Alain Chenciner und Richard Montgomery, zu finden unter b Pluto ist offiziell zwar kein Planet mehr, wir wollen ihn hier dennoch berücksichtigen.