Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik. Hausaufgabe

Transkript

1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Hausaufgabe im Fach Grundlagen der analogen Schaltungstechnik GaST (WS 205/6) Bearbeiter Matr.-Nr. adresse Aufgabe erreichte Punkte mögliche Punkte Kommentar. Aufgabe 2. Aufgabe 3. Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe Gesamt

2 8 8 TU Ilmenau, FG Elektronische Schaltungen und Systeme, Prof. Dr.-Ing. Sommer GaST-Hausaufgabe WS 205/6 Abgabetermin: Donnerstag, den , 8:30 Uhr (nach der Vorlesung) Durch die freiwillige Abgabe der korrekten Lösung dieser Hausaufgabe bis zum oben genannten Termin können Sie Bonuspunkte für die Klausur am Ende dieses Semesters verdienen (ca. 5 bis 0 Prozent der Gesamtpunkte). Schaltungsbeschreibung Zur Selektion von Signalen werden in der Nachrichtentechnik sehr häufig aktive Filterschaltungen eingesetzt. Im diskreten Schaltungsentwurf eignen sich dazu besonders Filterschaltungen mit Widerständen, Kapazitäten und Operationsverstärkern. Ein Filter aus diesem Bereich, das sogenannte Berka-Herpy-Filter, sehen Sie in Abbildung C C 8 U ein u aus Abbildung : Berka-Herpy-Filter Diese Schaltung zählt zu den Filtern 2. Ordnung. Das bedeutet, dass es ein quadratisches Nennerpolynom in Abhängigkeit von s und damit auch eine DGL 2.Ordnung besitzt, d.h. eine Übertragungsfunktion der Form H(s) = + s Q ω 0 + s2 ω 2 0 () aufweist. Die Größen ω 0 und Q sind aus dem Filterentwurf bekannt, wobei ω 0 als esonanzfrequenz des ungedämpften Systems bezeichnet wird. Ist das Filter verlustbehaftet, so tritt Dämpfung auf, welche sich zusätzlich durch den Parameter Q die Güte oder Quality-Factor beschreiben lässt (Abbildung 2). Anschaulich gibt Q an, wie groß eine esonanzüberhöhung im Frequenzgang ausgeprägt ist. Ist Q 0.707, tritt Peaking (esonanzüberhöhung) auf, unterhalb dieses Wertes nicht. Peaking, Polstellenlagen in der komplexen Ebene und Zeitbereichsverläufe hängen unmittelbar zusammen und sind in dieser Hausaufgabe zu untersuchen. GaST WS 205/6 Hausaufgabe 2

3 Polstelle Im{s} Frequenzgang Q=0 Q=5 w 0 j 0 2 w - 4 Q e{s} Amplitude (db) Q=2 Q=0.8 Q=0.707 w 0 2Q Frequenz (Hz) Abbildung 2: Zusammenhang zwischen Polstellenlagen und Frequenzgang Aufgabenstellung Aufgabe Bestimmen Sie symbolisch anhand der Formel () die 3 db Grenzfrequenz ω 3dB aus dem Frequenzgang, die Frequenz ω peak und die Verstärkung H peak an der Stelle, bei denen der Frequenzgang sein Maximum besitzt. Aufgabe 2 Stellen Sie das Gleichungssystem mit Hilfe der Superknotenanalyse des Netzwerkes aus Abbildung symbolisch auf und formulieren Sie es in Matrix-Vektorschreibweise. Aufgabe 3 Berechnen Sie für 5 = 4, 2 = 3 und = aus Aufgabe 2 die Übertragungsfunktion uaus U ein symbolisch und ermitteln Sie die Parameter für Q und ω 0 aus Ihrer berechneten Übertragungsfunktion. Aufgabe 4 Dimensionieren Sie die Schaltung (C und 6 berechnen) so, dass ω 0 = 0 6 s und die Güten jeweils Q = 0, Q = 2 und Q = 2 betragen. Dabei sollen folgende Nebenbedingungen beachtet werden: 5 = 4 = kω, 2 = 3 und = = kω. Aufgabe 5 Berechnen Sie die 3 db Grenzfrequenzen und die Peakfrequenzen, sowie die Höhe des Peaks für die Werte aus Aufgabe 4 numerisch. GaST WS 205/6 Hausaufgabe 3

4 Aufgabe 6 Überprüfen Sie Ihre Berechnungen aus Aufgabenstellung 5 mit dem Simulator PSpice, in dem Sie eine AC Simulation für f = 00 Hz...00 MHz der Schaltung aus Abbildung durchführen. Nutzen Sie das OPV-Modell VVideal oder die VCVS mit V = 0 5. Aufgabe 7 Stellen Sie die Differentialgleichung des Netzwerkes auf (Sie können dafür die allgemeine Übertragungsfunktion des Filters (Formel ()) nutzen.) und berechnen Sie die Eigenwerte für die drei Güten aus Aufgabe 4. Geben Sie die Lösungen der homogenen Differentialgleichung an. Aufgabe 8 egen Sie nun Ihr Netzwerk mit einer Pulsquelle (V 0 = 0, V =, T D = 0, T = n, T F = n, PW = 0.m, PE = 0.2m) an und lassen Sie sich das transiente Verhalten von t = 0 s µs anzeigen. Erklären Sie die Ergebnisse unter Zuhilfenahme der Lösungen von Aufgabe 7. GaST WS 205/6 Hausaufgabe 4

5 Eine vollständige Lösung umfasst. 3 db-grenzfrequenz, ω peak und H peak symbolisch 2. Gleichungssystem in Matrixschreibweise 3. Übertragungsfunktion, Q und ω 0 symbolisch 4. Dimensionierung der Schaltung 5. 3 db-grenzfrequenz, ω peak und H peak für dimensionierte Schaltung 6. AC-Plot für die drei Güten 7. DGL, Eigenwerte und Lösung der homogenen DGL symbolisch 8. Transient-Plot für drei Güten und Erklärung Drucken Sie bitte zusätzlich noch die zur Berechnung verwendeten Mathematica-Notebooks aus und versehen Sie alle Dokumente mit der jeweiligen Aufgabennummer, Ihrem Vor- und Zunamen sowie Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie bitte unbedingt das angefügte Deckblatt aus und heften Sie es vorn an Ihre Unterlagen an. Die Arbeit in Gruppen bis zu fünf Personen ist erlaubt und sogar erwünscht. Bitte geben Sie dann nur ein Exemplar ab. Hinweise zu Mathematica: Alle benötigten Befehle finden Sie in dem unten gezeigten Beispiel. Für weitere Befehle und Hinweise nutzen Sie den Mathematica Help-Browser. Auf unserer Homepage findet sich auch ein kleiner Mathematica Einführungskurs. Wichtig zwei mfme : Underscores _ dürfen nicht in Variablendeklarationen verwendet werden! Und noch ein Hinweis: MatrixForm darf nicht in der Zuweisung stehen (auch wenn es bequem erscheint und scheinbar zunächst funktioniert), also nicht AInv = Inverse[A]//MatrixForm, sondern nur so, wie nachfolgend angewendet. Ansonsten passiert bei der nächsten Operation mit der Matrix nichts. most frequently made errors :-) GaST WS 205/6 Hausaufgabe 5

6 Mathematica-Codebeispiele Lösen eines Gleichungssystems in MatrixForm In[]:= A a a2 a3 a4 ; b b b2 ; Ainv Inverse A ; c Ainv.b; MatrixForm c Out[5]//MatrixForm= a4 b a2 b2 a2 a3 a a4 a2 a3 a a4 a3 b a b2 a2 a3 a a4 a2 a3 a a4 Lösen von Gleichungssystemen symbolisch/numerisch In[5]:= sol Solve x 2 c x c0 0, x Out[5]= x 2 c 4 c0 c2, x 2 c 4 c0 c2 Lösen von Gleichungen numerisch In[6]:= Out[6]= sol2 NSolve x 5 2 x 3 0, x x.4236, x , x , x , x Zugriff auf Elemente in den Lösungen In[7]:= Out[7]= elem x. sol c 4 c0 c2 2 oder (bei Ergebnissen ohne ule( )- Operator): In[8]:= Out[8]= elem2 c a4 b a2 a3 a a4 a2 b2 a2 a3 a a4 Einsetzen von Werten/Liste von Werten In[9]:= Out[9]= values c0 4, c 2 elem. values c0 4, c 2 Out[0]= GaST WS 205/6 Hausaufgabe 6

7 Grenzwertbildung In[]:= Out[]= grenzwert Limit x n n, n Infinity x Komplexe Betragsbildung Beträge von komplexen Ausdrücken zu berechnen, erfordert die Anwendung von Complex- Expand und PowerExpand, ansonsten kommt nur der Ausdruck wieder zurück. In[]:= Out[]= In[2]:= Out[2]= I w Abs c b I w a I w 2 w Abs c b w a w 2 I w Abs ComplexExpand PowerExpand c b I w a I w 2 w b 2 w 2 c a w 2 2 Falls Sie Fragen oder Hinweise zur Hausaufgabe haben, können Sie sich (bitte rechtzeitig) an die GST-Seminarleiter wenden. GaST WS 205/6 Hausaufgabe 7