Fourier-Transformation Faltungseigenschaft, Sinusförmiger Input an LTI-Systemen

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1 Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung /04 Übung 6 Fourier-Transformation Faltungseigenschaft, Sinusförmiger Input an LTI-Systemen Lernziele - die Faltungseigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen. - die Faltungseigenschaft der Fourier-Transformation anwenden können. - verstehen, warum die Fourier-Transformierte der Stossantwort eines LTI-Systems als Frequenzgang bezeichnet wird. - verstehen, dass die Reihenfolge zweier oder mehrerer hintereinander geschalteter LTI-Systeme vertauscht werden kann. - verstehen, dass dass ein LTI-System mit reeller Stossantwort einen sinusförmigen Input in einen sinusförmigen Output mit derselben Frequenz überführt. - bei einem LTI-System mit bekanntem Frequenzgang den Output zu einem sinusförmigen Input bestimmen können. - verstehen, dass ein RC-Glied ein Tiefpassfilter ist. Einleitung Die Fourier-Transformation FT hat die folgende Faltungseigenschaft (ohne Beweis): FT ( x (t) * x 2 (t) ) = FT ( x (t) ) FT ( x 2 (t) ) oder anders geschrieben: x (t) * x 2 (t) X () X 2 () d.h. die Fourier-Transformierte der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten der einzelnen Funktionen. Aufgaben Faltungseigenschaft. Prüfen Sie die Faltungseigenschaft der Fourier-Transformation am Beispiel des folgenden LTI-Systems nach: Stossantwort h(t) = e -t ε(t) Input x(t) = e -2t ε(t) Anleitung: i) Schlagen Sie in einer Tabelle die Fourier-Transformierte von h(t) nach. i iv) Schlagen Sie in einer Tabelle die Fourier-Transformierte X() von x(t) nach. Bestimmen Sie das Produkt X(). Bestimmen Sie den Output y(t), indem Sie h(t) und x(t) falten, d.h. y(t) = h(t) * x(t). v) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte Y() von y(t). Überzeugen Sie sich davon, dass das Resultat mit demjenigen aus i übereinstimmt, d.h. dass gilt: Y() = X() 2. Bei einem LTI-System erhält man das Spektrum Y() des Outputs y(t), indem man das Spektrum X() des Inputs x(t) mit dem sogenannten Frequenzgang des LTI-Systems multipliziert. a) Erklären Sie, inwiefern die Funktion ein "Frequenzverhalten" des LTI-Systems ausdrückt. Überlegen Sie sich dazu, wie das LTI-System den Input x(t) bezüglich seiner Frequenzanteile beeinflusst. b) (siehe Seite 2) m_ti03_u6.pdf /5

2 Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung /04 b) Skizzieren Sie den Frequenzgang eines idealen Tiefpassfilters. Ein ideales Tiefpassfilter ist ein LTI-System, welches alle Frequenzanteile bis zu einer bestimmten maximalen Frequenz durchlässt und alle Anteile höherer Frequenzen unterdrückt. c) Skizzieren Sie den Frequenzgang eines idealen Hochpassfilters. Ein ideales Hochpassfilter ist ein LTI-System, welches alle Frequenzanteile ab einer bestimmten minimalen Frequenz durchlässt und alle Anteile tieferer Frequenzen unterdrückt. d) Skizzieren Sie den Frequenzgang eines idealen Bandpassfilters. Ein ideales Bandpassfilter ist ein LTI-System, welches alle Frequenzanteile zwischen einer minimalen und einer maximalen Frequenz durchlässt und alle Anteile unterdrückt, welche ausserhalb dieses Frequenzbandes liegen. 3. Gegeben sind zwei beliebige LTI-Systeme mit den Stossantworten h (t) und h 2 (t) bzw. den Frequenzgängen H () und H 2 (). Schaltet man die beiden LTI-Systeme hintereinander, so ergibt sich gesamthaft ein neues LTI-System mit dem Frequenzgang. a) Zeigen Sie, dass gegeben ist durch = H () H 2 (). b) Erklären Sie mit Hilfe des Resultates aus a), dass der Frequenzgang nicht von der Reihenfolge abhängt, in welcher man die beiden LTI-Systeme hintereinander schaltet. c) Ein Beispiel eines LTI-Systems ist das folgende RC-Glied (vgl. Unterricht): R x(t) := u x (t) C u y (t) =: y(t) LTI Skizzieren Sie das Schaltbild eines LTI-Systems, welches aus drei hintereinander geschalteten RC-Gliedern besteht. Sinusförmiger Input an LTI-Systemen 4. Gegeben sind ein LTI-System mit einer reellen Stossantwort h(t) sowie der sinusförmige Input x(t) = x^ sin( 0 t+ϕ). Bestimmen Sie den Output y(t). Zeigen Sie, dass y(t) eine sinusförmige Funktion ist mit derselben Frequenz 0 wie der Input x(t). Anleitung: i) Formen Sie x(t) gemäss Euler in eine Summe komplexer Exponentialfunktionen um. i iv) Bestimmen Sie den Output y(t), indem Sie ausnützen, dass - ein LTI-System linear ist. - komplexe Exponentialfunktionen Eigenfunktionen eines LTI-Systems sind (vgl. Unterricht). Schreiben Sie den Frequenzgang in der Polarform = R() e jφ() mit R() :=, φ() := arg( ). Verwenden Sie, dass R() eine gerade und φ() eine ungerade Funktion ist. Dies gilt unter der Voraussetzung, dass h(t) reell ist (ohne Beweis). v) Formen Sie y(t) gemäss Euler in eine Sinus-Funktion um m_ti03_u6.pdf 2/5

3 Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung /04 5. Gegeben ist der Input x(t) eines LTI-Systems sowie der Frequenzgang des LTI-Systems. Bestimmen Sie den zum Input x(t) gehörigen Output y(t), indem Sie das Ergebnis der Aufgabe 4 anwenden. a) x(t) = sin(t) + sin(2t) + sin(3t) + sin(4t) - 3 b) x(t) = 2 sin(3t+4) = +j 3 6. Das abgebildete RC-Glied kann als LTI-System aufgefasst werden (vgl. Unterricht oder Aufgabe 3c)). R x(t) := u x (t) C u y (t) =: y(t) LTI Der Frequenzgang dieses RC-Gliedes lautet wie folgt (ohne Herleitung): = +jrc a) Bestimmen Sie den Betrag des Frequenzganges. b) Skizzieren Sie grob den Grafen von. c) Erklären Sie anhand des in b) skizzierten Grafen, dass das LTI-System ein Tiefpassfilter ist. d) Am System mit den Parameterwerten R =.0 kω und C = 0.0 µf werde der Input x(t) = sin(t) angelegt. Bestimmen Sie die Grenzfrequenz f max = max /2π, ab welcher die mittlere Leistung des Outputs y(t) nur noch die Hälfte der mittleren Leistung des Inputs beträgt m_ti03_u6.pdf 3/5

4 Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung /04 Lösungen. i) = +j X() = 2+j i X() = (+j)(2+j) iv) y(t) = (e -t - e -2t ) ε(t) v) Y() = (+j)(2+j) = X() 2. a) H( 0 ), d.h. der Wert der Funktion an der Stelle = 0, bestimmt den Einfluss des LTI- Systems auf den Input x(t) bezüglich der Frequenz 0. H( 0 ) drückt also aus, inwiefern sich der Output y(t) bezüglich der Frequenz 0 vom Input x(t) unterscheidet. Die Funktion beschreibt also das Verhalten des LTI-Systems bezüglich der Frequenzen. b) c) - d) a) x(t) := Input y(t) := Output nach dem ersten LTI-System = Input vor dem zweiten LTI-System z(t) := Output Z() = H 2 () Y() = H 2 () ( H () X() ) = ( H 2 () H () ) X() =! X() = H 2 () H () = H () H 2 () b) Reihenfolge der Faktoren H () und H 2 () in a) spielt wegen der Kommutativität der Multiplikation keine Rolle m_ti03_u6.pdf 4/5

5 Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung /04 c) R R 2 R 3 u x (t) C C 2 C 3 u y (t) 4. i) x(t) = x^ ( e ) 2j 0 t+ϕ) - e -j( 0 t+ϕ) = x^ ( e ) 2j e j 0 t - e -jϕ e -j 0 t = x^ 2j ejϕ e j 0 t - x^ 2j e-jϕ e -j 0 t y(t) = x^ 2j ejϕ H( 0 ) e j 0 t - x^ 2j e-jϕ H(- 0 ) e -j 0 t = x^ ( H( ) 2j 0 ) e j( 0 t+ϕ) - H(- 0 ) e -j( 0 t+ϕ) i y(t) = x^ ( R( ) 2j 0 ) e jφ( 0 ) e j( 0 t+ϕ) - R(- 0 ) e jφ(- 0 ) e -j( 0 t+ϕ) iv) y(t) = x^ ( R( ) 2j 0 ) e jφ( 0 ) e j( 0 t+ϕ) - R( 0 ) e -jφ( 0 ) e -j( 0 t+ϕ) = x^ R( 0 ) ( e ) 2j j( 0 t+ϕ+φ( 0 )) - e -j( 0 t+ϕ+φ( 0 )) v) y(t) = R( 0 ) x^ sin ( 0 t+ϕ+φ( 0 ) ) 5. a) y(t) = 2 3 sin(t) + 3 sin(2t) b) y(t) = 2 sin( 3t arctan(3) ) 0 6. a) = b)... c)... +( RC) 2 d) Mittlere Leistungen: 2 ( y^ ) = ( ) 2 H( max ) 2 = x^ 2 y(t) T 2 dt = 0 (T 0 ) 2 x(t) T 2 dt 0 (T 0 ) + ( RC max) 2 = 2 max = RC =.0 04 s f max = max /2π =.6 khz m_ti03_u6.pdf 5/5