Fourier-Transformation
|
|
|
- Sarah Seidel
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Fourier-Transformation Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral ˆf (y) = f (x)e iyx dx für alle y R, so heißt f Fourier-transformierbar und die Funktion ˆf Fourier-Transformierte von f. Fourier-Transformation 1-1
2 Fourier-Transformation Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral ˆf (y) = f (x)e iyx dx für alle y R, so heißt f Fourier-transformierbar und die Funktion ˆf Fourier-Transformierte von f. Man schreibt ˆf = Ff, bzw. f (x) F ˆf (y). Fourier-Transformation 1-2
3 Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F 1 durch ˆf (y) F 1 f (x) = 1 2π ˆf (y)e iyx dy, definiert und es gilt f = F 1 Ff für absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen f. Fourier-Transformation 1-3
4 Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F 1 durch ˆf (y) F 1 f (x) = 1 2π ˆf (y)e iyx dy, definiert und es gilt f = F 1 Ff für absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen f. Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist F f = 2πF 1 f. Fourier-Transformation 1-4
5 Beweis: Idee: Fourier-Transformation 2-1
6 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Fourier-Transformation 2-2
7 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Transformation 2-3
8 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Reihe für x [ h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x) = k= 1 2h h h f (t)e k (tπ/h) dt e k (xπ/h) Fourier-Transformation 2-4
9 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Reihe für x [ h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x) = k= = 1 π 2π h 1 2h k= h h f (t)e k (tπ/h) dt e k (xπ/h) ˆf (kπ/h)e i(kπ/h)x Fourier-Transformation 2-5
10 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Reihe für x [ h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x) = k= = 1 π 2π h 1 2h k= h h f (t)e k (tπ/h) dt e k (xπ/h) ˆf (kπ/h)e i(kπ/h)x Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation Fourier-Transformation 2-6
11 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Reihe für x [ h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x) = k= = 1 π 2π h 1 2h k= h h f (t)e k (tπ/h) dt e k (xπ/h) ˆf (kπ/h)e i(kπ/h)x Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation konvergent bei hinreichend glattem ˆf für y = π/h Fourier-Transformation 2-7
12 Beweis: Idee: Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = außerhalb von [ h, h] Fourier-Reihe für x [ h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x) = k= = 1 π 2π h 1 2h k= h h f (t)e k (tπ/h) dt e k (xπ/h) ˆf (kπ/h)e i(kπ/h)x Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation konvergent bei hinreichend glattem ˆf für y = π/h Fourier-Transformation 2-8
13 Beispiel: Fourier-Transformation der Impuls-Funktion { 1, x 1/2 χ(x) =, sonst Fourier-Transformation 3-1
14 Beispiel: Fourier-Transformation der Impuls-Funktion { 1, x 1/2 χ(x) =, sonst Definition, Formel von Euler-Moivre ˆχ(y) = 1/2 1/2 = sin(y/2) y/2 [ e e iyx iyx dx = iy = sinc(y/2) ] 1/2 1/2 = e iy/2 e iy/2 iy Fourier-Transformation 3-2
15 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Fourier-Transformation 4-1
16 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Formel von Euler-Moivre = e ixy = cos(xy) i sin(xy) Fourier-Transformation 4-2
17 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Formel von Euler-Moivre = e ixy = cos(xy) i sin(xy) f gerade = f (x) sin(xy) dx = und ˆf (y) = 2 e x cos(yx) dx = part. Int. + 2 x sin(yx) e dx y Fourier-Transformation 4-3
18 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Formel von Euler-Moivre = e ixy = cos(xy) i sin(xy) f gerade = f (x) sin(xy) dx = und ˆf (y) = 2 = part. Int. 2 e x cos(yx) dx = part. Int. + 2 ( [e x cos(yx) )] y 2 2 x sin(yx) e dx y x cos(yx) e y 2 dx Fourier-Transformation 4-4
19 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Formel von Euler-Moivre = e ixy = cos(xy) i sin(xy) f gerade = f (x) sin(xy) dx = und ˆf (y) = 2 = part. Int. = 2 e x cos(yx) dx = part. Int. + 2 ( [e x cos(yx) )] y 2 2 y 2 ˆf (y) y 2 2 x sin(yx) e dx y x cos(yx) e y 2 dx Fourier-Transformation 4-5
20 Beispiel: Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e x Formel von Euler-Moivre = e ixy = cos(xy) i sin(xy) f gerade = f (x) sin(xy) dx = und ˆf (y) = 2 = part. Int. = 2 e x cos(yx) dx = part. Int. + 2 ( [e x cos(yx) )] y 2 2 y 2 ˆf (y) y 2 2 x sin(yx) e dx y x cos(yx) e y 2 dx Umformung ˆf (y) = 2/(1 + y 2 ) Fourier-Transformation 4-6
21 Beispiel: Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation: f (x) = exp( x 2 /2) ˆf (y) = 2π exp( y 2 /2). Fourier-Transformation 5-1
22 Beispiel: Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation: f (x) = exp( x 2 /2) ˆf (y) = 2π exp( y 2 /2). Definition ˆf (y) = exp( y 2 /2) exp( x 2 /2 iyx + y 2 /2) dx Fourier-Transformation 5-2
23 Beispiel: Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation: f (x) = exp( x 2 /2) ˆf (y) = 2π exp( y 2 /2). Definition setze ˆf (y) = exp( y 2 /2) exp( x 2 /2 iyx + y 2 /2) dx z 2 /2 = (x + iy) 2 /2, dz = dx Fourier-Transformation 5-3
24 Beispiel: Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation: Definition setze f (x) = exp( x 2 /2) ˆf (y) = 2π exp( y 2 /2). ˆf (y) = exp( y 2 /2) exp( x 2 /2 iyx + y 2 /2) dx z 2 /2 = (x + iy) 2 /2, dz = dx Verschiebung des Integrationswegs (Komplexe Analysis), z R + iy z R ˆf (y) = f (y) exp( z 2 /2) dz = f (y) 2π Fourier-Transformation 5-4
2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
ax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
Skalare Differentialgleichungen
Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen
Z = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS
EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS WERNER MÜLLER Sommersemester 205 Inhaltsverzeichnis 0. Die komplexen Zahlen 3. Holomorphe Funktionen 6 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 9 3. Potenzreihen
Longitudinale und transversale Relaxationszeit
Longitudinale und transversale Relaxationszeit Longitudinale Relaxationszeit T 1 (Zeit, die das System benötigt, um nach dem rf- Puls zurück ins Gleichgewicht zu kommen) Transversale Relaxationszeit T
Einführung in die Funktionentheorie
Einführung in die Funktionentheorie Andreas Gathmann Vorlesungsskript TU Kaiserslautern 204/5 Inhaltsverzeichnis 0. Einleitung und Motivation..................... 3. Komplexe Zahlen.......................
Ergänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
Spezielle Eigenfunktionen des Transfer-Operators für Hecke Kongruenz Untergruppen
Spezielle Eigenfunktionen des Transfer-Operators für Hecke Kongruenz Untergruppen Diplomarbeit 2005 Markus Fraczek Institut für Theoretische Physik Technische Universität Clausthal Abteilung Statistische
Modulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN
FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN JOSEF TEICHMANN 1. Ein motivierendes Beispiel aus der Anwendung Das SABR-Modell spielt in der Modellierung von stochastischer Volatilität eine herausragende
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
Schulinternes Curriculum. Mathematik
Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum (G 8) Stand: Schuljahr 2012/13 Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum Seite 1 EF Eingeführtes Lehrbuch: Lambacher Schweizer 10 Einführungsphase Funktionen
Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Technik der Fourier-Transformation
Was ist Fourier-Transformation? Fourier- Transformation Zeitabhängiges Signal in s Frequenzabhängiges Signal in 1/s Wozu braucht man das? Wie macht man das? k = 0 Fourier- Reihe f ( t) = Ak cos( ωkt) +
Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung
Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function
Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006
1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen
Absolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
Lösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
Stabilität mittels Ljapunov Funktion
Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt
Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2
Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Vorbemerkung: Bei einem Buchprojekt dauert meist alles etwas länger als geplant. So ging es mir mit dem Erscheinungdatum des zweiten Bandes, der sich
Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management
Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen
a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:
Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte
Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien INHALTSVERZEICHNIS
(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen
(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen Johannes Lülff Universität Münster 14.01.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 FFT 3 Anwendungen 4 Beschränkungen 5 Zusammenfassung Definition Fouriertransformation
Klaus Lichtenegger. Komplexe Analysis
Klaus Lichtenegger Komplexe Analysis Eine Einführung in die Funktionentheorie im Rahmen der Analysis Telematik. Auflage, Mai/Juni M. C. Escher: Drei Welten (Lithographie, 955) ii Inhaltsverzeichnis Die
Approximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
Anwendung von Computational Fluid Dynamics bei der Auslegung von Industrieöfen
Anwendung von Computational Fluid Dynamics bei der Auslegung von Industrieöfen Roman Weber 18. November 2014 Informationsveranstaltung Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen in der Stahlindustrie und
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für
Apfelmännchen Theorie und Programmierung
Apfelmännchen Theorie und Programmierung Das Thema "Apfelmännchen" gehört zum Oberthema "Chaos und Ordnung in dynamischen Systemen". Es ist ein relativ neues Forschungsgebiete der Mathematik ( ab ca. 1980
Quantitative Risk Management
Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis
Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik
Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,
Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt.
PARAMETERFUNKTIONEN Zwei Beispiele: gsave currentpoint translate 21 4 div setlin 1 1 x = 2t 2 1 y = t < t
Komplexe Analysis und Geometrie
Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Reine Mathematik Komplexe Analysis und Geometrie Dozent: Hsch.-Doz. PhD. Kim A. Frøyshov SS 2004, WS 2004/05, SS 2005 Stand: März 2006 Komplexe Analysis und
Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen
Einführung in die Statistik
Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in
ν = z Hy, S = HPH + R, W = PH S 1 Q 1 = P 1 + H R 1 H. independent of x Interpret N ( z; Hx, R ) N ( x; y, P ) as a joint density: ) ( ) )!
= N ( z; Hy, S independent of x N ( z; Hx, R N ( x; y, P N ( x; y + Wν, P WSW N ( x; Q(P 1 y + H R 1 z, Q ν = z Hy, S = HPH + R, W = PH S 1 Q 1 = P 1 + H R 1 H. Interpret N ( z; Hx, R N ( x; y, P as a
Fraktale Geometrie: Julia Mengen
Fraktale Geometrie: Julia Mengen Gunnar Völkel 1. Februar 007 Zusammenfassung Diese Ausarbeitung ist als Stoffsammlung für das Seminar Fraktale Geometrie im Wintersemester 006/007 an der Universität Ulm
Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )
Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels
Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum
Kapitel 8 Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum Markov-Prozesse mit stetigem Zustandsraum S R (bzw. mehrdimensional S R p und in stetiger Zeit, insbesondere sogenannte Diffusionsprozesse
Serie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
Mathematik für Physiker III/Analysis III
Mathematik für Physiker III/Analysis III Ausarbeitung einer Vorlesung vom Wintersemester 26/7 Joachim Weidmann Fachbereich Informatik und Mathematik der Universität Frankfurt Stand 9. Februar 27 2 Teil
Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
Inhaltsverzeichnis. 3 Ableitung stückweise glatter Funktionen 16 3.1 PolynomemitSprungstellen... 16 3.2 StückweiseglatteFunktionen...
DISTRIBUTIONEN Inhaltsverzeichnis 1 Axiome der Distributionentheorie 2 1.1 Notation... 2 1.2 Äquivalenzklassen... 3 1.3 Axiome... 5 1.4 Ein die Axiome erfüllendesmodell... 6 1.5 DieEindeutigkeitdesModells...
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom
Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff
Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer
Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle
Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese
Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Periodische Funktionen wiederholen sich nach einer Zeit T, der Periode. Eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T genügt der Beziehung: f( t+ n T) = f( t) für
Vorkurs Mathematik für Ingenieure. Aufgaben und Lösungsvorschläge
Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg herausgegeben von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mathematik für Ingenieure Aufgaben und Lösungsvorschläge Wintersemester 0/03 von Wolfgang
Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle
Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Diplomverteidigung Universität Rostock Institut für Mathematik 20.01.2011 Agenda 1 Das Ornstein-Uhlenbeck Volatilitätsmodell 2 in L 2 (R 2 ) 3 4 Problem
Die Black-Scholes-Gleichung
Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt
Kybernetik Laplace Transformation
Kybernetik Laplace Transformation Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Tel.: (+49) 73 / 50 2453 mohamed.oubbati@uni-ulm.de 08. 05. 202 Laplace Transformation Was ist eine Transformation? Was ist
6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
Mathematische Methoden für das Lehramt (Lehramt an Gymnasien & Lehramt an Regionalen Schulen)
Mathematische Methoden für das Lehramt (Lehramt an Gymnasien & Lehramt an Regionalen Schulen) Priv.-Doz. Dr. Reinhard Mahnke Institut für Physik Lehrveranstaltung Nr. 12557 (Wintersemester 2013/14: 1 SWS
Mathematische Methoden für das Lehramt (Lehramt an Gymnasien & Lehramt an Regionalen Schulen)
Mathematische Methoden für das Lehramt (Lehramt an Gymnasien & Lehramt an Regionalen Schulen) Priv.-Doz. Dr. Reinhard Mahnke Institut für Physik Lehrveranstaltung Nr. 12557 (Wintersemester 2012/13: 1 SWS
22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen
22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens
Aufgaben zur Klausur. Aerodynamik 17. 02. 2009
AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Aufgaben zur Klausur Aerodynamik 17. 02. 2009 Matr.-Nr. :... Name :... Unterschrift
Charakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik
Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung gehalten im Sommersemester 6 am Mathematischen Seminar der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Alexander Ullmann Kiel 6 INHALTSVERZEICHNIS
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Notizen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen G Sweers Wintersemester 08/09 ii Inhaltsverzeichnis Einführung Modelle 2 Explizite Lösungen 4 2 Trennbar 5 22 Linear erster Ordnung 6 23 Homogen
11.1 Kinetische Energie
75 Energiemethoden Energiemethoden beinhalten keine neuen Prinzipe, sondern sind ereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Durch Projektion
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
Signale und ihre Spektren
Einleitung Signale und ihre Spektren Fourier zeigte, dass man jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Cosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden
Klausur Analysis II (SS 2005)
Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die
HOCHSCHULE KONSTANZ TECHNIK, WIRTSCHAFT UND GESTALTUNG. Das Luzifer-Rätsel. Prof. Dr. Hartmut Plesske Wintersemester 2008/09. von.
HOCHSCHULE KONSTANZ TECHNIK, WIRTSCHAFT UND GESTALTUNG Fakultät Informatik Das Luzifer-Rätsel Prof. Dr. Hartmut Plesske Wintersemester 2008/09 von Max Nagl nagl@fh-konstanz.de Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis
Wave-Datei-Analyse via FFT
Wave-Datei-Analyse via FFT Wave-Dateien enthalten gesampelte Daten, die in bestimmten Zeitabständen gespeichert wurden. Eine Fourier-Transformation über diesen Daten verrät das Frequenz-Spektrum der zugrunde
Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,
Angewandte Stochastik
Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 14 Lehren für s Management & das tägliche Leben III: Zins und exponentielles Wachstum Zur Erinnerung: mit grossen n gilt: n! > c n > n c > log n. Aus der Analysis
Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:
Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsches Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de
Zinseszins- und Rentenrechnung
Zinseszins- und Rentenrechnung 1 Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem sich das Einlagekapital K bei a) jährlicher b) monatlicher c) stetiger Verzinsung verdoppelt hat, wobei i der jährliche nominelle Zinssatz
Monte Carlo Simulationen
Monte Carlo Simulationen Erkenntnisse durch die Erschaffung einer virtuellen Welt Stefan Wunsch 31. Mai 2014 INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK (IEKP) KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und
Monte Carlo Simulationen Erkenntnisse durch die Erschaffung einer virtuellen Welt
Monte Carlo Simulationen Erkenntnisse durch die Erschaffung einer virtuellen Welt Stefan Wunsch 31. Mai 014 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Was sind Monte Carlo Simulationen? 3 Zufallszahlen 3
Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)
Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss
u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
2.1 Berechnung gleichverteilter Zufallszahlen. (Linearer Kongruenz-Generator)
Seydel: Skript umerische Finanzmathematik, Kap. 2 (Version 20) 33 ¾º Ö ÒÙÒ ÚÓÒ Ù ÐÐ Þ Ð Ò Definition (Stichprobe einer Verteilung) Eine Folge von Zahlen heißt Stichprobe (sample) von einer Verteilungsfunktion
Über den Autor 9 Einleitung 21
Inhaltsverzeichnis Über den Autor 9 Einleitung 21 Zu diesem Buch 21 Konventionen in diesem Buch 22 Wie Sie dieses Buch einsetzen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die
Grundlagen der Mathematik II
Wintersemester 204/205 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Donnerstag, den 6. November 204, 9:00 Uhr Aufgabe : Untersuchen Sie, für welche 2 C die folgende Matrix c diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie für
3. Modelle in stetiger Zeit, Black Scholes
3. Modelle in stetiger Zeit, Black Scholes Nach einführenden Bemerkungen werden kurz die Brownsche Bewegung und Martingale in stetiger Zeit besprochen. Dann folgen die Entwicklung des stochastischen Integrals
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Beispiele, Graken, Beweise. c Uwe Jensen
Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Beispiele, Grake, Beweise c Uwe Jese 8. Oktober 2007 Ihaltsverzeichis 4 Folge, Reihe, Grezwerte, Stetigkeit 47 4. Folge ud Reihe............................ 47
12. Bivariate Datenanalyse. In den Kapiteln 4-11 wurden univariate Daten betrachtet:
12. Bivariate Datenanalyse Während einer nur Zahlen im Kopf hat, kann er nicht auf den Kausalzusammenhang kommen Anonymus In den Kapiteln 4-11 wurden univariate Daten betrachtet: Von univariaten Daten
Die Eulersche Zahl. Halbjährliche Verzinsung: (50%=0,5)... n- malige Verzinsung:
1 Die Eulersche Zahl Euler war als Mathematiker ein großer Experimentator. Er spielte mit Formeln so, wie ein Kind mit seinem Spielzeug und führte alle möglichen Substitutionen durch, bis er etwas Interessantes
Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008
Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)
HAMBURG BANKVERBINDUNG PANTAENIUS ONLINE
! "#$% &'()&'*+,&,++-.! % ! &'/'*+,0*+()12,&+3&+&''+*+,&+ "#$##%&&##' ()*+&&#,#*# ()*,#- "./-0#"/./0#-12./ +##1.##2 -.& &*3 "##4 5-6# 7& (898&&#$ +&%#0 3:#*"*$0$& &#$#3 4&++&+&+&'3&',&+++5&+&''+*+,&+&3&+23&',&55&+)&+