Vektorgeometrie. Roger Burkhardt FHNW / Hochschule für Technik Steinackerstrasse Windisch. 28. Dezember 2012

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1 Vektorgeometrie Roger Burkhardt FHNW / Hochschule für Technik Steinackerstrasse Windisch 8. Dezember Inhaltsverzeichnis Einführung. Vektoren und Translationen Addition von Pfeilen Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar Definition von Vektoren Ortsvektoren Verbindungsvektoren Betrag eines Vektors Rechenoperationen 8. Grundrechenarten Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Subtraktion von Vektoren Produkte Skalarprodukt Vektorprodukt Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie. Geraden und Ebenen Parametergleichungen Koordinatengleichungen Grundprobleme Schnittprobleme Abstandsprobleme Aufgaben 4 4. Lösungen der Aufgaben

2 Einführung. Vektoren und Translationen In einem zweidimensionalen (R bzw. -Ebene oder dreidimensionalen (R Raum können wir Punkte durch ihre Koordinaten beschreiben. Dies geschieht meistens durch die Angabe der Koordinaten in einem geordneten Paar ( p, p R bzw. eines Tripels ( p, p, z p R. Dabei bezeichnet die -Koordinate die Verschiebung des Punktes in Richtung der -Achse gegenüber dem Ursprung. Analoges gilt für die -Koordinate und die z-koordinate. p P p, p p Jedem Punkt in der -Ebene oder im R werden auf diese Weise eindeutig seine Koordinaten zugeordnet. Anstelle der Koordinaten könnte man den Punkt noch auf verschiedene andere Arten beschreiben. So ist auch die Beschreibung durch einen Pfeil der vom Ursprung zum Punkt führt eine eindeutige Beschreibung: Bevor wir diese Beschreibung weiter untersuchen wollen wir zwei einfache Rechenoperationen mit solchen Pfeilen untersuchen. Dies sind die Addition zweier Pfeile und die Multiplikation mit einem Skalar (reellen Zahl:

3 .. Addition von Pfeilen Einen Pfeil verstehen wir als eine Verschiebung. Verschieben wir ein Objekt geradlinig in eine Richtung um eine feste Distanz, so werden alle Punkte des Objektes auf diese Art verschoben. D.h. jeder Punkt wird entlang eines Pfeiles verschoben und für die verschiedenen Punkte sind die verschiedenen Pfeile bis auf den Ort gleich (die Pfeile stimmen in der Richtung und der Länge überein: v Eine geradlinige Verschiebung (nennt man auch Translation kann also durch einen Pfeil beschrieben werden. Wie sieht es nun aus, wenn mehrere solcher Verschiebungen nacheinander ausgeführt werden? Denken wir uns eine erste Verschiebung v und eine zweite Verschiebung w die nacheinander ausgeführt werden. Das Resultat dieser beiden Verschiebungen hätten wir auch durch eine einzige Verschiebung s = v + w erzielen können: v w s =v+w Unter der Summe zweier Pfeile (Translationen verstehen wir den Pfeil (die Translation, der vom Startpunkt des ersten Pfeils zum Endpunkt des zweiten Pfeils führt. Alternativ gilt auch folgendes: Zwei Pfeile definieren ein Parallelogramm. Unter der Summe der beiden Pfeilen versteht man die Diagonale in diesem Parallelogramm. v s =v+w w w s =v+w w v v

4 .. Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar Wir haben weiter vorne gesehen das ein Pfeil durch seine Richtung und seine Länge definiert ist. Wir definieren die Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar (reellen Zahl als Operation, welche die Richtung beibehält und nur die Länge des Pfeils verändert. Dabei gibt der Betrag des Skalars den Streckungsfaktor des Pfeils an. Zudem definieren wir, dass wenn der Skalar negativ ist die Richtung des Pfeils gerade umgekehrt wird: v v v v. Definition von Vektoren.. Ortsvektoren Mit diesen Vorkenntnissen führen wir nun die Ortsvektoren ein. Dazu denken wir uns zwei Pfeile e und e (im R noch den Pfeil e z. Diese beiden Pfeile sollen die Länge Eins haben und der Pfeil e soll die Richtung der positiven -Achse haben und der Pfeil e die Richtung der positiven -Achse. Nun lässt sich ein Pfeil der vom Ursprung zu einem Punkt P ( p, p führt, als Summe der beiden Pfeile p e und p e beschreiben. Diese Summe nennen wir Ortsvektor rp. 4

5 p p e R P ( p, p z p z z p e z R P ( p, p, z p e e r P= p e+ p e p e p p e p e e z e r P = p e + p e +z p e z p e p Bemerkung: Wenn wir mit Vektoren arbeiten so kennzeichnen wir diese Grössen dadurch aus, indem wir über den Namen des Vektors einen Pfeil (von Links nach Rechts zeichnen. Den Ortsvektoren geben wir immer den Namen r mit dem Namen des Punktes den wir beschreiben als Inde. Die beiden Pfeile e und e lassen sich auch als Ortsvektoren schreiben (Ortsvektoren zu den Punkten (, und (,. Da dies jedoch ganz spezielle Vektoren (Basisvektoren sind geben wir ihnen die folgenden Namen: e und e. Es gilt somit: rp = p e + p e Für obige Summe wählt man meistens die folgende Kurzschreibweise: ( rp = pe + p pe = p Dabei bezeichnet die Zahlen in der Klammer die Komponenten des Vektors. Merke: Die Komponenten eines Vektors beschreiben die Teilverschiebungen in die entsprechenden Richtungen. Diese entsprechen bei einem Ortsvektor gerade den Koordinaten des Punktes, der durch den Ortsvektor beschrieben wird!.. Verbindungsvektoren Möchte man die gegenseitige Lage zweier Punkte beschreiben, so kann dies durch eine Translation geschehen, die den einen Punkt in den anderen überführt. Diesen Pfeil bezeichnen wir als Verbindungsvektor oder einfach nur als Vektor:

6 e e B( B, B v= AB A( A, A Bemerkung: Vektoren bezeichnet man meist mit Kleinbuchstaben mit einem Pfeil über dem Variablennamen. Möchte man einen Vektor speziell als Verbindungsvektor kennzeichnen, so wählt man als Variablennamen oft auch Startund Endpunkt des Vektors. Wir suchen nun eine Beschreibung für einen Verbindungsvektor. Wenn wir die beiden Punkte kennen so kennen wir auch ihre Ortsvektoren. Möchten wir also die Translation vom Punkt A zum Punkt B beschreiben, so können wir diese Translation auch als Summe der Translation A = ( r A und B = r B beschreiben. Es gilt also: AB = r B r A e r B B( B, B v= AB= r B r A A( A, A e r A.. Betrag eines Vektors Wir haben gesagt, dass Vektoren durch die Grössen Richtung und Länge beschrieben werden. Zur Richtung werden wir später kommen, hier in diesem Abschnitt wollen wir die Länge eines Vektors untersuchen. Denken wir uns zwei Punkte A und B der -Ebene. Diese beiden Punkte erzeugen den Vektor v = AB. Wir sagen nun, dass die Länge des Vektors der 6

7 Distanz zwischen den beiden Punkten entspricht. Die Distanz können wir mit Hilfe des Pthagoras berechnen: d = + = v e e Δ B( B, B d = v = Δ +Δ A( A, A Δ Üblicherweise nennt man die Länge eines Vektors den Betrag des Vektors. Wir definieren: Definition: Unter dem Betrag des Vektors ( v v = versteht man die reelle v Zahl: ( v := v = v + v Analog dazu können wir den Betrag eines Vektors w R definieren: z v d = w = d +Δ z = Δ +Δ +Δ z w Δ z Δ e z e e Δ d = Δ +Δ Definition: Unter dem Betrag des Vektors w = reelle Zahl: w := w w w z = w w w z w + w + w z versteht man die 7

8 Rechenoperationen. Grundrechenarten.. Addition von Vektoren Beispiel: An einer Masse m greifen zwei Kräfte F und F an. Bestimme die resultierende Kraft. Dabei sei ( F = und ( F =. Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass die Addition von Pfeilen (Translationen gerade den Pfeil ergibt, der die Summe der beiden einzelnen Translationen beschreibt. Die beiden gegebenen Kraftvektoren können wir ebenfalls als Summe von je zwei Translationen betrachten (Verschiebung in - bzw. -Richtung. Insgesamt haben wir also vier Translationen: F res = F }{{} + F }{{} ( e + e ( e e Nun können wir die Verschiebungen in - und -Richtung einzeln betrachten: F res = ( e + e + ( e e Wir finden somit: F res = e + ( e = F = ( F = e + e F res = F + F = ( F res = e + e m F = ( F = e e 8

9 Definition: Die Summe zweier Vektoren ( v v = und ( w w = ist v w der Vektor s = v + w welcher die Translation beschreibt, die man durch das nacheinander Ausführen der beiden einzelnen Translationen erhält. In Komponentenschreibweise gilt: s = v + w = ( v v + ( w = w Für die Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz v + w = w + v u + ( v + w = ( u + v + w ( v + w v + w.. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Beispiel: Auch in der Phsik werden Vektoren oft eingesetzt. Viele phsikalische Grössen haben neben der skalaren Eigenschaft (ihr Betrag, Grösse noch eine Richtung in der sie wirken. Daher eignen sich Vektoren sehr gut für ihre Beschreibung. Die phsikalischen Gesetze lassen sich mit den Vektoroperationen ausdrücken. Betrachten wir z.b. das Newtonsche Gesetz (die Beschleunigung, die eine Masse erfährt ist proportional zur einwirkenden Kraft F = ma. In dieser Formel sind die Kraft F und die Beschleunigung a gerichtete Grössen und die Masse m eine skalare Grösse. Die vektorielle Beschreibung lautet nun: F = m a Die vektorielle Beschreibung bringt nun neben dem skalaren Zusammenhang der Beträge auch zum Ausdruck, dass die Beschleunigung die gleiche Richtung wie die wirkende Kraft aufweist. Dabei hat der skalare Faktor vor der Beschleunigung nur eine Streckung/Stauchung zur Folge. a= m F F m 9

10 Definition: Das Produkt einer Zahl k R mit einem Vektor ( v v = v ist der Vektor p = k v welcher die Translation beschreibt, die man durch Streckung/Stauchung mit dem Faktor k der Translation v erhält. In Komponentenschreibweise gilt: Es gilt: p = k v = k ( v v Weiter gelten die Distributivgesetze:.. Subtraktion von Vektoren ( kv = kv p = k v = k v k ( v + w = k v + k w (k + s v = k v + s v Bevor wir die Subtraktion von Vektoren betrachten wollen wir zwei spezielle Arten von Vektoren kennenlernen: Der Nullvektor Wenn wir die Summe der drei Seitenvektoren eines Dreiecks bilden, bedeutet dies, dass wir die drei Translationen entlang der Seiten um das Dreieck ausführen um schlussendlich wieder beim Startpunkt zu sein. Die Summe von Vektoren ist nun die Translation welche die Summe der Translationen der einzelnen Vektoren beschreibt. In diesem Fall erhalten wir eine Translation um den Betrag Null (über die Richtung lässt sich nichts aussagen!. Einen Vektor mit dem Betrag Null nennen wir einen Nullvektor o. C b= CA a= BC a+ b+ c= BB= A c= AB B

11 Kehrvektor Jeder Vektor v besitzt einen Kehrvektor v. Dabei haben der gegebene Vektor und der dazugehörige Kehrvektor den gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung. Es gilt: v = ( v Wir können auch sagen, dass der Kehrvektor von v die Translation von diesem Vektor wieder umkehrt oder dass die Summe eines Vektors mit seinem Kehrvektor den Nullvektor ergibt: v + ( v = o Das dritte Newton sche Aiom (actio=reactio ist ein sehr wichtiges phsikalisches Gesetz. Dieses Gesetz besagt, wenn ein Gegenstand mit der Kraft F auf einen Gegenstand einwirkt, dass der Gegenstand mit der entgegengesetzten Kraft F = F auf den Gegenstand einwirkt. F = F F Definition: Unter der Subtraktion der Vektoren s und m versteht man den Vektor d = s m, welcher durch die Addition des Vektors s mit dem Kehrvektor m definiert ist. Formal: ( ( ( d = s s m s m m = = s m s m Wir wollen die Differenz zweier Vektoren graphisch darstellen:

12 b a a b a a b a b b b b a b a a Verbindungsvektor Weiter vorne haben wir Verbindungsvektoren mittels der Subtraktion definiert: AB = r B r A In komponentenschreibweise sehen wir, dass die Komponenten des Verbindungsvektors gerade die Differenz der Koordinaten der Punkte sind: AB = r B ( ( ( B A B r A = = A B A B A Merke: Die Komponenten des Verbindungsvektors erhält man durch die Subtraktion der entsprechenden Koordinaten des Endpunktes minus derjenigen des Startpunktes. Beispiel: Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (, 4. Wir wollen den Ortsvektor des Schwerpunktes bestimmen. Wir wissen, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden (Schwerelinien im Verhältnis : teilt. Somit können wir den Ortsvektor zum Schwerpunkt wie folgt beschreiben: r S = r B + BS = r B + BE Dabei ist E der Mittelpunkt auf der Strecke AC. Diesen Punkt können wir mit den gegebenen Ortsvektoren wie folgt beschreiben: r E = r A + AC = r A + ( r C r A = ( r A + r C

13 Somit gilt: r S = r B + ( r E r B = r B + ( ( r A + r C r B = ( r A + r B + r C = (( ( ( ( = = ( 9 r C C r A A E BE AD S r S r B B D. Produkte.. Skalarprodukt Definition und geometrische Interpretation Die Definition des Skalarprodukts lautet: Definition: Unter dem Skalarprodukt der beiden Vektoren a und b versteht man die reelle Zahl a b := a b cos (ϕ R, wobei ϕ der Zwischenwinkel zwischen den beiden Vektoren bezeichnet. Wir wollen diese Zahl einmal in untenstehender Skizze suchen. Wenn wir die Endpunkte der beiden Vektoren auf den jeweils anderen Vektor projezieren, enstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Länge der Projektionen können wir

14 mittels der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck einfach bestimmen: a b = a cos (ϕ Projektion von a auf b Merke: Das Skalarprodukt zweier normal zueinanderstehender Vektoren verschwindet! Gesetze Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Gesetze: Kommutativgesetz: a b = b a Distributivgesetz: ( b a + c = a b + a c (k ( a s ( b = ks a b Mit Hilfe dieser Gesetze können wir nun auch das Skalarprodukt für Vektoren in komponentenschreibweise herleiten: ( ( a b a b = a b = (a e + a e (b e + b e = (a e (b e + (a e (b e + (a e (b e + (a e (b e = a b ( e e +a b ( e e +a b ( e e +a b ( e e }{{}}{{}}{{}}{{} = = = = = a b + a b Winkel zwischen zwei Vektoren Wir können nun den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen: a b cos (ϕ = a b Beispiel: Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (, 4. Wir wollen die Innenwinkel dieses Dreiecks berechnen. Dazu benötigen wir die Seitenvektoren (Verbindungsvektoren der Eckpunkte: a = BC = rc ( r B = 4 b = CA = ra ( 4 r C = c = AB = rb ( r A = 4

15 Nun können wir die Winkel berechnen (Achtung: Von einem Vektor müssen wir immer den Kehrvektor in der Formel einsetzen, damit der Zwischenwinkel mit dem Innenwinkel übereinstimmt!: α = arccos b ( c b = arccos c = 6. 4 ( a ( ( c β = arccos a = arccos = 9 c γ = arccos a ( b a = arccos = 6. 6 b BC r C γ C BC CA γ BC CA CA r A A α AB r B β B CA α AB β AB AB BC Richtung eines Vektors Um die Richtung eines Vektors zu beschreiben bestimmen wir die Winkel zwischen diesem Vektor und den Basisvektoren. Dazu denken wir uns einen beliebigen Vektor mit der Länge Eins ( v =. Nun finden wir: v e cos (α = v e = = v cos (β = cos (γ = v e v e = v ez v e z = v = v v v z v v v z v v v z cos (α cos (β cos (γ = v = v z

16 v v v z v cos v e v e v z cos v e z v e z v v z v v v z cos v e v e v Wenn wir uns unter der Richtung eines Vektors die Zwischenwinkel, welcher der Vektor mit den Basisvektoren einschliesst verstehen, so können wir z.b. einen Vektor des dreidimensionalen Raums durch seine drei Komponenten oder durch die Angabe des Betrags des Vektors und der drei Zwischenwinkel zu den Koordinatenachsen beschreiben. Es zeigt sich nun aber, dass die Angabe eines der drei Zwischenwinkel überflüssig ist. Wir sind von einem beliebigen Vektor der Länge Eins ausgegangen und somit gilt: v = v + v + v z = cos (α + cos (β + cos (γ = Bemerkung: Die Beschreibung mittels Betrag und nur zwei Zwischenwinkel ist jedoch nicht eindeutig (Lösung einer quadratischen Gleichung!. Betrag und Skalarprodukt Wir haben den Betrag weiter vorne schon eingeführt. Doch wir könnten den Betrag auch auf die folgende Art definieren (wird auch häufig gemacht: v = v v v = v v z = v + v + v z Beispiel: Als Anwendung dieses Sachverhalts beweisen wir den Cosinussatz aus der Trigonometrie: c = a + b ab cos (γ v v v z 6

17 Dazu definieren wir in einem beliebigen Dreieck ABC die Seite a als a = CB und die Seite b als b = CA. Nun lässt sich die Seite c wie folgt beschreiben: c = AB = a b Und nun gilt: ( c c = a ( b a b c = a a + b b a b c = a + b a b cos (γ = a + b ab cos (γ B a CB c a b C b CA A Projektionen und Zerlegungen In der Definition des Skalarproduktes sagten wir, dass das Skalarprodukt dem Produkt der Länge der Projektion des ersten Vektors auf den zweiten mit der Länge des zweiten Vektors entspricht: a b = b a cos (ϕ }{{}}{{} Länge des Länge der Projektion zweiten Vektors Dies machen wir uns nun zu Nutze, um Vektoren in eine Richtung zu Projezieren. Wir wollen die Projektion des Vektors b auf a als Vektor beschreiben. Für die Länge der Projektion erhalten wir: b a = a b b cos (ϕ = a Nun multiplizieren wir den Einheitsvektor e a mit der gefundenen Projektionslänge: a b a a b b a = a a = a a a 7

18 b a φ b a b a = b cos(φ= a b a b a = b a e a = a b a a Beispiel: Eine Masse m befindet sich auf einer um den Winkel α geneigten Ebene. Wir wollen die Gewichtskraft G so in zwei Summanden zerlegen, dass der eine Summand senkrecht und der zweite Summand tangential zur Oberfläche steht. Dazu projezieren wir den Vektor der Gewichtskraft einerseits in tangentiale und normale Richtung zur Oberfläche: G = G n = G = G t = G n n n = n G t t t = t ( mg ( mg ( sin (α cos (α ( cos (α sin (α ( sin (α = cos (α ( cos (α = sin (α ( mg cos (α sin (α mg cos (α ( mg cos (α sin (α mg sin (α 8

19 m n= ( cos(α sin(α G t t= cos(α ( sin(α α G= ( mg G n.. Vektorprodukt Definition und geometrische Interpretation Es gilt: Definition: Unter dem Vektorprodukt der beiden Vektoren a, b R versteht man den Vektor v = a b R, welcher die folgenden drei Bedingungen erfüllt: v steht senkrecht auf den beiden Faktoren, d.h. es gilt: v a = v b = v a b b der Betrag von v entspricht der Fläche des Parallelogramms das von den beiden Faktoren aufgespannt wird (ϕ ist der Zwischenwinkel zwischen a und b : v = a b sin (ϕ a 9

20 a b A a b a b sin b h b sin a a, b und v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssstem. Dabei bilden drei Vekteron ein Rechtssstem, wenn durch Drehung des ersten Vektors zum zweiten der dritte Vektor eingeschraubt wird (oder rechte Hand Regel: Daumen = erster Vektor, Zeigefinger = zweiter Vektor, Mittelfinger = dritter Vektor. Gesetze Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Gesetze: Antikommutativgesetz: a b = b a Assoziativgesetz: (n ( a m b = nm a b Distributivgesetz: ( b a + c = a b + a c

21 Mit Hilfe der Gesetze können wir das Vektorprodukt auch in komponentschreibweise berechnen: a b a b = (a e + a e + a zez (b e + b e + b zez a z b z = a e b e +a }{{} e b e + a zez b e + = a e b e + a e b e +a zez b e + }{{} = a e b z ez + a e b z ez + a z ez b z ez }{{} = = a b e e +a z b ez e +a }{{}}{{} b e e }{{} e z e a z b ez e }{{} e +a b z e e z }{{} e e z + +a b z e e z }{{} e = (a b z a z b e + (a z b a b z e + (a b a b e z a b z a z b = a z b a b z a b a b Beispiel: Wir wollen das Vektorprodukt der beiden Vektoren a =, b = bestimmen: a b = = = Beispiel: Bestimme einen Vektor der normal zu den beiden Vektoren a =, b = steht und die Länge Eins hat. Wir bestimmen zuerst einen Vektor der normal steht (mit dem Vektorprodukt: n = a b = =

22 Dieser Vektor hat die Länge: n = + ( + = 6 Nun multiplizieren wir den gefundenen Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge: n n = Der Kehrvektor des obigen Resultates ist eine zweite mögliche Lösung: n n = Flächenberechnung Die Flächenberechnung ist eine wichtige Anwendung des Vektorproduktes. Der Betrag des Flächenproduktes entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des durch die Faktorvektoren aufgespannte Parallelogramm. Somit lassen sich z.b. auch gut Dreiecksflächen berechnen: Beispiel: Wir suchen den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (, 4. Da das Vektorprodukt nur im R definiert ist, fügen wir bei den drei Punkten noch die z-koordinate hinzu. Es gilt nun: F = AB AC = ( r B r A ( r C r A = = 4 = = = 4

23 Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie Im Rahmen dieser Einführung in die Vektoralgebra und Vektorgeometrie betrachten wir eemplarisch die Objekte Gerade und Ebene. Diese Objekte lassen sich mit Vektoren sehr einfach beschreiben. Im weiteren werden einige weiterführende Anwendungen gezeigt (Schnitt- und Abstandsprobleme. Damit ist dieses Gebiet natürlich längst nicht abgehandelt. Neben den Objekten Gerade und Ebene findet man noch viele weitere Objekte (Kreis, Kugel, Ellipse, usw. welche ebenfalls in der Vektorgeometrie ihren festen Platz haben.. Geraden und Ebenen.. Parametergleichungen Unter einer Geraden versteht man die Menge aller Punkte, die die Gleichung r = r + t a erfüllen. Dabei bezeichnet r einen variablen Ortsvektor auf die Gerade, r einen festen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, a einen Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. Wenn für den Parameter ein Wert eingesetzt wird, erhält man einen bestimmten Ortsvektor, der zu einem Punkt auf der Geraden zeigt. Im dreidimensionalen Raum gibt es (eigentlich nur diese Möglichkeit eine Gerade zu beschreiben. Wir werden sehen, dass im zweidimensionalen Raum auch eine parameterfreie Beschreibung eistiert. Die Beschreibung von Raumkurven mit Parametern findet man häufig in der Phsik mit der Zeit als Parameter.

24 z a r r ta P r Beispiel: Wir suchen die Gerade durch die beiden Punkte A(,, und B(4,,. Den Richtungsvektor entspricht dem Verbindungsvektor der beiden Punkte: a = rb r A = 4 = Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält somit: g : r = z = + t Beispiel: Bestimme die Punkte auf der Geraden für die Parameterwerte, und : r = = + = r = r = z z z = = + + = = Eine Ebene lässt sich ähnlich wie eine Gerade beschreiben. Es braucht jedoch zwei Richtungen und somit zwei Parameter: r = r + t a + s b 4

25 z ta r a r sb r ta sb b Beispiel: Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(,,, B(4,, und C(,,. Die Richtungsvektoren entsprechen den Verbindungsvektoren: a = AB =, b = AC = Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält somit: ε : r = = + t + s z Beispiel: Bestimme den Punkt auf der Ebene für die Parameterwerte t = und s = 4: r = = + + ( 4 = z.. Koordinatengleichungen Sei n ein Vektor der normal zur Geraden (im R bzw. Ebene (im R steht. Nun steht dieser Vektor natürlich auch normal zu jedem Vektor der parallel zur Geraden bzw. Ebene liegt. Sei weiter ein Ortsvektor r zu einem Punkt auf der Geraden bzw. Ebene und ein (variabler Ortsvektor r auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden bzw. Ebene gegeben, so ist der Verbindungsvektor ( r r dieser beiden Punkte sicher parallel zur Geraden bzw. Ebene. Dies führt nun auf die Normalengleichung: n ( r r =

26 n r r r r Sei nun (für eine Ebene: n n = n n z, r = z, r = z Wir finden somit: n }{{} A + n }{{} B n ( r r = n n n z z z = n ( + n ( + n z (z z = + n z }{{} C z + ( n n n z z }{{} D = A + B + Cz + D = Beispiel: Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(,,, B(,, 4 und C(,,. Wir bestimmen die beiden Verbindungsvektoren: a = AB =, b = AC = 4 Das Vektorprodukt dieser beiden Verbindungsvektoren liefert den Normalenvektor der Ebene (steht normal auf der Ebene: 4 n = a b = = 7 4 6

27 Die Ebenengleichung lautet somit: 4 7 n ( r r = = z =. Grundprobleme.. Schnittprobleme In diesem Abschnitt wollen wir die im letzten Abschnitt beschriebenen Objekte miteinander schneiden. Wir suchen also die Menge der Punkte die auf allen zu schneidenden Objekten liegen. Da es verschiedene Möglichkeiten gibt die Objekte zu beschreiben, gibt es auch verschieden Möglichkeiten das Schnittobjekt zu bestimmen. Wir betrachten drei mögliche Fälle: Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen e: g : r = = + t ε : r = z z = + u + v Schnittprobleme löst man dadurch, dass ein gesuchter Schnittpunkt auf allen zu schneidenden Objekten liegen muss, d.h. die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes erfüllen alle gegebenen Gleichungen. Da hier also die Koordinaten gleich sein müssen, können wir sie gleichsetzen: + t + t t + t = = + u u + 4v + u u + v 4 + v Die beiden Vektoren sind genau dann gleich, wenn die jeweiligen Komponenten übereinstimmen: t + u 4v = t u = t u v = 4 7

28 In diesem linearen Gleichungssstem kann man nun nach den Parametern auflösen, welche in den gegebenen Gleichungen eingesetzt den gesuchten Schnittpunkt ergeben: r S = 7 4 t = 7 4 ; u = ; v = 4 = 4 Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden r = = + t mit der Ebene z ε : + z + = 4 4 = Hier haben wir nun für das eine Objekt eine Beschreibung mittels Parameter und für das zweite Objekt eine Beschreibung mittels Koordinatengleichung. Hier bestimmen wir das Schnittobjekt durch einsetzen der Parameterform in der Koordinatengleichung: z + = ( + 4t ( + t + ( + t + = 7t + 8 = t = 8 7 Mit dem berchneten Parameter erhalten wir nun den Schnittpunkt: r = = 8 4 = z Beispiel: Wir suchen die Schnittgerade der beiden Ebenen ε : + + z + = ε : + z = Hier sind beide Objekte mittels Koordinatengleichung gegeben. Wir erhalten somit ein (lineares Gleichungssstem: + + z + = + z = Die Lösungsmenge dieses Gleichungssstem beschreibt nun das Schnittobjekt: { ( z L = (,, z R :, z 4 }, z 8

29 Dies entspricht der Geraden: z = z z 4 z = + z.. Abstandsprobleme Nun betrachten wir Abstandsprobleme. Bei einem Abstandsproblem sucht man in der Regel die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten (Punkte, Geraden und Ebenen. Denken wir uns als Beispiel eine Gerade und einen Punkt der nicht auf dieser Geraden liegt. Verbinden wir nun einzelne Punkte der Geraden mit dem festen Punkt so haben diese Verbindungsvektoren eine bestimmte Länge. Wir suchen nun einerseits den Punkt auf der Geraden so, dass der so entstehende Verbindungsvektor minimale Länge aufweist. Diesen Punkt mit kürzester Entfernung bezeichnet man meist als Fusspunkt. Neben dem Fusspunkt intressiert oft auch nur die kürzeste Entfernung. Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen um solche Abstandsprobleme zu lösen. Anhand von drei Beispielen betrachten wir die drei häufigsten Ansätze: Beispiel: Gegeben sei die Gerade g und der Punkt P (,,. Wir suchen den Fusspunkt und die kürzeste Entfernung der beiden Objekte. g : r = + t F d P g 9

30 Da der gesuchte Punkt auf der Geraden liegt machen wir folgenden Ansatz: r F = + t F Nun finden wir den folgenden Verbindungsvektor: F P = r P r F = t F + t F t F Damit der Verbindungsvektor minimale Länge aufweist, muss er senkrecht zur Geraden stehen. Wenden wir das Skalarprodukt an: t F + t F t F F P a = = t F + = t F = Und somit lautet der gesuchte Fusspunkt: r F = Und für die Distanz: + = d = ( F P = + ( 4 + ( 8 = = Beispiel: Bestimme die kürzeste Entfernung zwischen der Geraden g und dem Punkt P (,,. g : r = = + t z 4 Dieses Problem könnte man analog lösen wie die vorherige Aufgabe. Wir verwenden nun jedoch zwei verschiedene Möglichkeiten die Fläche des Dreiecks P QS zu berechnen:

31 P h=d Q S F Die Fläche des Dreiecks lässt sich einerseits mit dem Vektorprodukt berechnen: A = QS QP Andererseits lässt sich die Fläche mit der Formel Grundlinie mal Höhe durch bestimmen: A = QS h Durch das Gleichsetzen der beiden Formeln finden wir eine Gleichung in der wir nach der Distanz d auflösen können: QS QP d = = a ( r P r QS a

32 Nun müssen wir nur noch einsetzen: d = a ( r P r = a = 4 = = 4 4 = 4 In einem dritten Beispiel zu den Abstandsproblemen werden wir die Hesse sche Normalform betrachten: Beispiel: Wir suchen die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt Q und der Ebene n ( r r P =. Da die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt Q und der Ebene normal zur Ebene steht, ist der Verbindungsvektor QF parallel zum Normalenvektor n. Sei die Distanz gleich d, so gilt: QF = n ±d n r F = n r Q ± d n Der Punkt F beschreibt dabei den Fusspunkt auf der Ebene. Da dieser Punkt auf der Ebene liegt können wir ihn in der Ebenengleichung einsetzen. Wir erhalten so: n ( rf r P = ( n rq n ± d n r P = n ( rq r P ± d n n n = n ( rq r P = d n n d = n ( rq r P ± n Der Zähler des letzten Ausdrucks ist nun nichts anderes als die Normalform der Ebene mit dem Punkt Q eingesetzt. Es gilt somit: Hesse sche Normalform: Dividiert man die Normalengleichung einer Ebene bzw. einer Geraden durch den Betrag des Normalenvektors, so

33 erhält man die Hesse sche Normalform der Ebenen- bzw. der Geradengleichung: n ( r rp = n Diese Gleichung hat nun die Eigenschaft die kürzeste Entfernung eines Punktes zu der Ebene bzw. der Geraden anzugeben. Dazu muss der Punkt in der Ebenen- bzw. Geradengleichung eingesetzt werden. Durch das Einsetzen des Punktes erhalten wir: n ( rq r P d = ± n Man erhält ein positives Resultat, wenn der Punkt auf der Seite des Objektes liegt, auf die der Normalenvektor zeigt. Angernfalls wird das Resultat negativ. - + n Nun suchen wir die kürzeste Entfernung des Ursprungs von der Geraden mit der Koordinatengleichung: + = Als erstes bestimmen wir die Hessesche Normalform. Dazu benötigen wir den Normalenvektor. Aus der Koordinatengleichung lassen sich die Komponenten des Normalenvektors direkt ablesen (Koeffizienten vor den Variablen: ( n =

34 Wir erhalten somit: + + = + 7 = Den Abstand des Ursprungs erhalten wir durch einsetzen des Punktes (, : + 7 = ±d d = 7 =. 9 4 Aufgaben. Aufgabe Gegeben sei der Ortsvektor r = 4 Spiegle diesen Ortsvektor der Reihe nach an der -Ebene, der z- Ebene, der z-ebene, der -Achse, der -Achse, der z-achse und dem Ursprung.. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, 7 b = 4, c = 8, d =, e = Berechne: (a (b (c a + b ( c d 4 e ( b ( a + a + c b Löse die Gleichungen: 4

35 (a (b. Aufgabe + ( d a b + + = Gegeben seien die Vektoren a =, b = ( a b + ( e ( ( a + = b 7 7, c = 4, d = (a Berechne: a, b, c, d, a + b, a b + 4 c (b Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor. 4. Aufgabe Bestimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (,, und Q (,,, Q (,,, Q (,, definierten beiden Ebenen.. Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r = und der Punkt P (,,. Bestimme: + 4t 7t 7t (a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. (b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird. 6. Aufgabe Im Dreieck A (,,, B (, 7,, C (,, sind die Längen der Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen. 7. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 8, b = 7

36 (a Bestimme k so, dass a + k b normal auf b steht. (b Bestimme einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen Vektoren steht. 8. Aufgabe Weise nach, das die beiden Parametergleichungen: r = + t 8 + t t r = 4 s 6s + 4s dieselbe Gerade darstellen. 9. Aufgabe Bestimme den (kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden t g : r = + 8t + t g : r = + s + s 4 + 4s. Aufgabe Es seien die beiden Geraden gegeben. Bestimme: g : + = g : + 8 = (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. (b Die Gleichung der Winkelhalbierenden.. Aufgabe Im Punkt Q (,, sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimme die Richtung die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel s : + z + = den Punkt P (,, anzustrahlen. Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!. Spiegle den Punkt P an der Ebene. 6

37 . Aufgabe (a Gegeben sind die Geraden g : h : r = + t + t t r = + s + s 4 + s Bestimme die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist. (b Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : z =. Die Projektion des Dreiecks in die -Ebene habe den Flächeninhalt A =. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. 4. Lösungen der Aufgaben. Aufgabe Gegeben sei der Ortsvektor r = 4 Spiegle diesen Ortsvektor der Reihe nach an der -Ebene, der z- Ebene, der z-ebene, der -Achse, der -Achse, der z-achse und dem Ursprung. Lösung: r = r = ro = 4, r z = 4, r z = 4, 4 r =, r z = Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, 7 b = 4, c = 8, d =, e = 7

38 Berechne: (a a + b Lösung: a + b = = 6 (b ( c d 4 e Lösung: ( c d 4 e = 8 4 = 4 6 (c ( b ( a + a + c b Lösung: ( b ( a + a + c b = Löse die Gleichungen: (a + ( d a b + + = ( a b + ( e = 8 = c Lösung: + a b + ( d + = ( a b + ( e = e d ( = e d = = 8

39 (b. Aufgabe Lösung: ( a + ( ( a + = b 7 7 = ( b 7 7 a + = b 7 Gegeben seien die Vektoren a =, b = 8 = b a ( = b a 84 = = , c = 4, d = (a Berechne: a, b, c, d, a + b, a b + 4 c Lösung: a = a a = b = + + = c = = d = = a + b = ( + + ( + + ( + = 4 = = a b + 4 c = = 9 = 6 9

40 (b Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor. Lösung: 4. Aufgabe ea = a = a eb = ec = 4 ed = = Bestimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (,, und Q (,,, Q (,,, Q (,, definierten beiden Ebenen. Lösung: Normalenvektoren bestimmen: n p = P P P P = ( r P r P ( r P r P = = 9 n Q = Q Q Q Q = = Ebenengleichungen: p : n p ( r r p = 4

41 + 9 + z = 9 q : n Q ( r r Q = + z = Schnittgerade: z = 9 + z = z = 8 7z = 9 bzw. L = {(,, z : (z 8, 7z 9, z} r = t Schnittwinkel (Winkel zwischen den Normalenvektoren: ( np n Q α = a cos n p n Q ( = a cos 6 = Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r = + 4t 7t 7t und der Punkt P (,,. Bestimme: (a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. Lösung: Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor 4

42 der Geraden: P F a = ( r F r P a = ( r + t a r P a = r F = t a a = ( r P r a t = a ( r P r a 4 = = Und noch die Distanz: d = P F = = = (b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird. Lösung: Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge des Dreiecks: s = h = d = =. 49 Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt: r A = r F + s 9 ea = = r B = r F s ea = = Aufgabe Im Dreieck A (,,, B (, 7,, C (,, sind die Längen der Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen. 4

43 Lösung: Seitenlängen: a = rb r C = 7 a = a = = 74 b = rc r A = b = b = = 6 c = ra r B = c = c = = 97 Seitenhalbierende: sa = a + c = s a = = 4 sb = 4 b + a = + s b = = 8 sc = c + b = 9 s c = = Winkel: b c α = a cos b = a cos c ( a c β = a cos a = a cos c a b γ = a cos a = a cos b 7 = = = = = = = = =

44 7. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 8, b = 7 (a Bestimme k so, dass a + k b normal auf b steht. Lösung: 8 + k ( a + k b b = 7 7 = + 7k 8 + k + k 7 = 9k + 49 = k = 49 9 (b Bestimme einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen Vektoren steht. Lösung: 8. Aufgabe Einen Normalenvektor: n = a b = Länge anpassen: 8 7 n = ± 9 9 n = ± n 86 = Weise nach, das die beiden Parametergleichungen: r = + t 8 + t t 4 s r = 6s + 4s 44

45 dieselbe Gerade darstellen. Lösung: Parallele Richtungsvektoren: = k 6 4 k = Der Punkt (, 8, liegt auch auf der unteren Geraden: 4 s 6s = 8 s = + 4s 9. Aufgabe Bestimme den (kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden g : r = Lösung: g : r = t + 8t + t + s + s 4 + 4s Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden: F F = + s t + s + t + s + 8t = s 8t 4 + 4s + t 7 + 4s t F F 8 = 79s 98t = 4 F F = 4 s 79t = 88 s = 79 4, t =

46 Fusspunkte: Distanz:. Aufgabe r F = r F = F F = d = 4. 6 Es seien die beiden Geraden gegeben. Bestimme: 8 4 = = g : + = g : + 8 = = (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. Lösung: Schnittpunkt: ( ( = ( 8 = 6, = 8 Schnittwinkel (zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden: ( n =, ( n = ( n n α = a cos n = a cos n (b Die Gleichung der Winkelhalbierenden. Lösung: Hesse sche Normalformen: HNF (g : = = HNF (g : + 8 = Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!. 46

47 Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hesse schen Normalformen: ω : ω : = =. Aufgabe Im Punkt Q (,, sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimme die Richtung die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel s : + z + = den Punkt P (,, anzustrahlen. 4 Lösung: s P P' Wir spiegeln zuerst den Punkt P am Spiegel: r P = r P d n = = = n Spiegle den Punkt P an der Ebene. 47

48 Die Richtung des Lichtstrahls: QP = = 9 4. Aufgabe (a Gegeben sind die Geraden g : h : r = r = + t + t t + s + s 4 + s Bestimme die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist. Lösung: Punkt der Ebene: Normalenvektor: Ebene: n = r P = = 4 7 n ( r rp = z = 4 7 z + 44 = (b Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : z =. Die Projektion des Dreiecks in die -Ebene habe den Flächeninhalt A =. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: 48

49 Winkel zwischen Ebene und Projektion: 6 α = arccos ( 6 = arccos = Jede Seite (oder jede Distanz wird durch die Projektion um den gleichen Faktor gekürzt. Dieser Faktor ist gleich: cos (α = Daher wird die Fläche bei der Projektion um diesen Faktor im Quadrat verkleinert. Es gilt daher: A = ( A A = 9 4 A = 4 49