Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008

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1 1 / 76 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 76 Wiederholung Glatte Flächen Wiederholung Vektorprodukt Definition Flächeninhalt glatter Fächen

3 Der Flächeninhalt 3 / 76

4 4 / 76 Der Flächeninhalt Taylorpolynom 1. Grades von x um (u i,v j ): x(u i + s,v j + t) x(u i,v j ) + s x u (u i,v j ) + t x v (u i,v j ) =: v(s,t) für kleine s und t wird x gut durch v approximiert gleichbedeutend damit ist das Fächenstück F ij eine gute Näherung an S ij... Der Flächeninhalt von F ij ist gegeben durch F ij = ( u i x u (u i,v j )) ( v j x v (u i,v j )) = x u (u i,v j ) x v (u i,v j ) u i v j

5 5 / 76 Der Flächeninhalt Die Summe aller dieser Flächeninhalte ist ein Näherungswert für den Flächeninhalt von S, wobei die Näherung mit wachsender Feinheit der Zerlegung immer besser wird. Falls der Grenzwert überhaupt existiert, so ist er lim x u (u i,v j ) x v (u i,v j ) u i v j = Z 1, Z 2 i,j x u (u,v) x v (u,v) d(u,v). D

6 Der Flächeninhalt Definition und Satz: Ist D R 2 ein regulärer Bereich und S = { x(u,v) (u,v) D} eine glatte Fläche, so existiert das Integral S ds := und heißt der Flächeninhalt von S. D x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) 6 / 76

7 Der Flächeninhalt Anmerkungen 1. ds = x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) nennen wir infinitesimales Flächenelement. 2. Mit den metrischen Fundamentalgrößen E := x u 2, F := x u x v und G := x v 2 lautet die Berechnungsformel für den Flächeninhalt ds := EG F 2 d(u,v) S D 3. Ist S eine stückweise glatte Fläche, die aus den glatten Flächenstücken S 1,S 2,...,S m zusammengesetzt ist, so definieren wir S ds := ds + ds ds S 1 S 2 S m 7 / 76

8 8 / 76 Beispiel: Oberfläche eines Graphen für (x,y) D x x = x(x,y) = 1 h x S x y h(x, y), x y = ds = D 1 h y, x x x y = 1 + h 2 x(x,y) + h 2 y(x,y)d(x,y) h x h y 1

9 Beispiel: Drehflächen Eine glatte Kurve ohne Doppelpunkte x(t) t z(t) mit t t t 1 und x(t) > in der x-z- Ebene wird um die z-achse gedreht. 9 / 76

10 1 / 76 Beispiel: Drehflächen x(t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t), x t (t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t) x ϕ (t,ϕ) = x(t)sin ϕ x(t)cos ϕ, x t x ϕ = xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ

11 11 / 76 Beispiel: Drehflächen Wegen x t x ϕ = x 2 (ẋ 2 + ż 2 ) = x ẋ 2 + ż 2 lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt S ds = t1 ϕ1 t ϕ x(t) ẋ 2 (t) + ż 2 (t)dϕdt = t1 (ϕ 1 ϕ ) x(t) ẋ 2 (t) + ż 2 (t)dt t für ϕ < ϕ 1 2π.

12 12 / 76 Beispiel: Kugeloberfläche x(ψ,ϕ) = r sin ψ cos ϕ r sin ψ sin ϕ r cos ψ, ψ π, ϕ 2π

13 13 / 76 Beispiel: Kugeloberfläche x ψ x ϕ = wobei xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ = r 2 sin 2 ψ cos ϕ r 2 sin 2 ψ sin ϕ r 2 sin ψ cos ψ = (r sin ψ) x(ψ,ϕ) (r sin ψ) x(ψ,ϕ) = r sin ψ x(ψ,ϕ) = r 2 sin ψ S ds = π 2π π r 2 sin ψ dϕdψ = 2πr 2 sin ψ dψ = 4πr 2

14 14 / 76 Beispiel: Oberfläche eines Torus x(ψ,ϕ) = (R + r sin ψ)cos ϕ (R + r sin ψ)sin ϕ r cos ψ S, ψ 2π, ϕ 2π ds = 4π 2 rr

15 15 / 76 Flächenintegral eines Skalarfelds Wie bei Kurvenintegralen unterscheiden wir wieder zwischen orientierten und nicht orientierten Flächenintegralen. Flächenintegrale eines Skalarfelds sind nicht orientiert. Mit ihnen berechnet man Massen, Schwerpunkte usw.

16 16 / 76 Flächenintegral eines Skalarfelds Definition: Ist D R 2 ein regulärer Bereich, S = { x(u,v) (u,v) D} eine glatte Fläche, und f : S R ein stetiges Skalarfeld, so existiert das Integral f ds := f ( x(u,v)) x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) S D und heißt das Flächenintegral bezüglich S und f. Ist S eine stückweise glatte Fläche, die aus den glatten Flächenstücken S 1,S 2,...,S m zusammengesetzt ist, so definieren wir S f ds := f ds + f ds S 1 S 2 S m f ds

17 Beispiel Coulombsches Gesetz Das elektrostatische Potential U( a) einer homogen mit der Dichte ρ geladenen Fläche S in einem Punkt a ist durch gegeben. U( a) = S ρ x a ds 17 / 76

18 18 / 76 Flächenintegral eines Vektorfeldes Flächenintegrale mit Orientierung sind solche über Vektorfelder. Definition: Ist D R 2 ein regulärer Bereich, S = { x(u,v) (u,v) D} eine glatte Fläche, n(u,v) = x u(u,v) x v (u,v) x u (u,v) x v (u,v) die Flächennormale und V : S R 3 ein stetiges Vektorfeld, so existiert das Integral V ds := V nds = V( x(u,v)) ( x u (u,v) x v (u,v))d(u,v) S S D und heißt der Fluss von V durch S.

19 19 / 76 Physikalische Deutung V( x) = V = const sei das Geschindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitsströmung.

20 2 / 76 Physikalische Deutung Das Flüssigkeitsvolumen, das in der Zeit t durch das von den Vektoren u x u (u,v) und v x v (u,v) aufgespannte Parallelogramm fließt, ist durch das Spatprodukt ( t V) ( u x u (u,v) v x v (u,v)) = V ( x u (u,v) x v (u,v))( u v)( t) gegeben.

21 21 / 76 Physikalische Deutung (Das Vorzeichen hängt von der Richtung von n bzw. V ab). Der Fluss pro Zeiteinheit durch das Parallelogramm ist damit V ( x u (u,v) x v (u,v))( u v) und V ( x u (u,v) x v (u,v))d(u,v) D der gesamte Fluss durch die Fläche S pro Zeiteinheit.

22 22 / 76 Volumenintegrale Volumenintegrale sind nichts anderes als die dreidimensionalen Integrale vom Semesteranfang. Wir passen hier lediglich Bezeichnungen an die von Kurven- und Flächenintegralen an. Definition: Eine Teilmenge G R 3 heißt ein regulärer Bereich, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt: 1. Der Rand G, d.h. die Oberfläche von G ist eine stückweise glatte geschlossene Fläche. 2. Das Innere G von G ist ein Gebiet, d.h. beschränkt, offen und zusammenhängend. 3. G ist abgeschlossen, d.h. G G. Beispiele: Projizierbare Mengen sind reguläre Bereiche.

23 23 / 76 Volumenintegrale Definition: Ist G ein regulärer Bereich und f : G R ein stetiges Skalarfeld, so existiert das Integral f dv := f (x,y,z)d(x,y,z) G und heißt das Volumenintegral von f über G. G

24 24 / 76 Integralsätze Abschliessend behandeln wir in diesem Kapitel noch einige sehr wichtige Sätze über die Beziehung zwischen Volumen und Oberflächenintegralen. Zur Formulierung der Beziehungen zwischen den verschiedenen Integraltypen, den Integralsätzen, führen wir einige Bezeichnungen ein, die vor allem in der Physik und den Ingenieurwissenschaften üblich sind.

25 25 / 76 Divergenz und Rotation V : G R 3 sei ein Vektorfeld auf einer Teilmenge G R 3 V( x) = V 1 ( x) V 2 ( x) V 3 ( x) = V 1 (x 1,x 2,x 3 ) V 2 (x 1,x 2,x 3 ) V 3 (x 1,x 2,x 3 ) mit x = x 1 x 2 x 3

26 26 / 76 Divergenz und Rotation Besitzt V partiell differenzierbare Komponentenfunktionen V i, so heißt V := V 1 + V 2 + V 3 x 1 x 2 x 3 die Divergenz des Vektorfeldes V und rot V := die Rotation des Vektorfeldes V. V 3 V 2 x 2 x 3 V 1 V 3 x 3 x 1 V 2 V 1 x 1 x 2

27 27 / 76 Gradient und Laplaceoperator Ist f : G R ein (genügend oft) partiell differenzierbares Skalarfeld auf G R 3, so heißt gradf := x 1 f x 2 f x 3 f der Gradient von f und der Operator mit der Laplace-Operator. f := 2 x1 2 f + 2 x2 2 f + 2 x3 2 f

28 28 / 76 Hamiltonoperator und Merkregeln Der Operator = x 1 x 2 x 2 mit f = x 1 f x 2 f x 3 f heißt Hamilton-Operator.

29 29 / 76 Hamiltonoperator und Merkregeln Wenn man ihn formal wie einen normalen Vektor des R 3 behandelt, d.h. skalare Multiplikation, Skalarprodukt und Vektorprodukt anwendet, so gilt grad f = f (1) f = f (2) V = V (3) rot V = V (4) Bezeichnungen: V heißt Quelldichte und rot V die Wirbeldichte von V. Die physikalische Bedeutung hinter diesen Bezeichnungen ergibt sich im nächsten Kapitel.

30 3 / 76 Hamiltonoperator und Merkregeln Zusammenhang mit der Funktionalmatrix: Aus der Definition der Funktionalmatrix V 1 V 1 V 1 x 1 x 2 x 3 J V = V 2 V 2 V 2 x 1 x 2 x 3 V 3 V 3 V 3 x 1 x 2 x 3 ergibt sich rot V = J V = J V und V = Spur J V (5)

31 31 / 76 Hamiltonoperator und Merkregeln Aus dem 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale (4. VL, Folie 12) ergibt sich daraus: Satz: Ist V stetig partiell differenzierbar auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet G, so gilt: V ist ein Potentialfeld genau dann, wenn rot V =

32 32 / 76 Beispiel: Das zentrale Kraftfeld Eine Punktmasse M im Ursprung zieht nach Newton eine Punktmasse m im Punkt x mit der Gravitationskraft K( x) = an. Dabei ist c = γ mm mit γ >. c x 3 x Sitzen in und x elektrische Ladungen der Stärken Q und q, so gilt für die elektrische Anziehungskraft die gleiche Formel mit c = k qq,k >.

33 33 / 76 Beispiel: Das zentrale Kraftfeld Die partiellen Ableitungen von x 3 = ( x x2 2 + x2 3) 3 2 sind x 3 = 3 ( x 2 x j x2 2 + x3 2 ) 1 2 2x j = 3x j x Nach der Kettenregel erhält man daraus K i = ( ) c x j x j x 3 x i x i x j x 3 3x i x j x = c x 6 ( ) c xi = x 5 x 2 3x i x j x j

34 34 / 76 Beispiel: Das zentrale Kraftfeld und damit die Funktionalmatrix J K = = c x 5 x c { x 5 x xe 3 x x } 3 x 1 x 2 x 3 (x 1,x 2,x 3 ) oder J K = c x 5 x x2 3 2x2 1 3x 1 x 2 3x 1 x 3 3x 1 x 2 x x2 3 2x2 2 3x 2 x 3 3x 1 x 3 3x 2 x 3 x x2 2 2x2 3

35 35 / 76 Beispiel: Das zentrale Kraftfeld woraus sich ergibt. rot K = und K =

36 Beispiel: Der magnetische Wirbel Fließt ein konstanter Strom durch einen unendlich langen Leiter, so wird um diesen herum ein Magnetfeld H aufgebaut: H( x) = c x1 2 + x2 2 x 2 x 1 für x 2 1 +x 2 2 > Hier gilt ebenfalls rot H = und H =. 36 / 76

37 37 / 76 Beispiele Der Definitionsbereich G = R 3 \ { } des zentralen Kraftfelds ist einfach zusammenhängend. K ist also ein Potentialfeld mit dem Newton-Potential U( x) = c x für x als Potentialfunktion. Der Definitionsbereich G = R 3 \ {(,,x 3 ) x 3 R} des magnetischen Wirbels ist nicht einfach zusammenhängend. Auf ganz G gibt es kein Potential.

38 38 / 76 Beispiel: Der magnetische Wirbel Auf Teilmengen mit x 1 gibt es aber eine Stammfunktion: Für ( ) x2 f (x 1,x 2,x 3 ) = carctan x 1 gilt gradf (x 1,x 2,x 3 ) = H(x 1,x 2,x 3 )

39 Eigenschaften von Rotation und Divergenz 1. Ist G R 3 einfach zusammenhängend und V : G R 3 stetig partiell differenzierbar, so ist V genau dann konservativ, wenn rot V = 2. Ist V zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist rot V = 3. Ist f ein zweimal stetig partiell differenzierbares Skalarfeld, so gilt rotgradf = 4. Ist G R 3 einfach zusammenhängend und V : G R 3 stetig partiell differenzierbar, so ist V = genau dann, wenn es ein Vektorfeld W gibt mit V = rot W W heißt in diesem Fall Vektorpotential zu V und V ein Rotorfeld. 39 / 76

40 4 / 76 Der Laplace-Operator f : D R sei ein Skalarfeld, das auf seinem Definitionsbereich D R 3 partielle Ableitungen 2. Ordnung besitzt. Den Laplace-Operator f = ( )f = f x1 x 1 + f x2 x 2 + f x3 x 3 kann man auch in der Form f = ( f ) = gradf = gradf darstellen.

41 41 / 76 Harmonische Funktionen Definition: Ein zweimal partiell differenzierbares Skalarfeld f : D R mit f = für alle inneren Punkte von D heißt eine harmonische Funktion. Die Differentialgleichung f = heißt auch Potentialgleichung. Beispiel: f (x,y,z) = 5 3 x3 + 2x 2 + 5xy 2 2z 2

42 42 / 76 Beispiel Beispiel: Das Newton-Potential U( x) = c x x ist eine harmonische Funktion, denn gradu( x) = c x 3 x =: K und U = gradu = K =

43 43 / 76 Rechenregeln Für ein Skalarfeld f und Vektorfelder V und W gilt unter den erforderlichen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ( V + W) = V + W (f V) = f V + V gradf ( V W) = W rot V V rot W rot( V + W) = rot V + rot W rot(f V) = f rot V V gradf

44 44 / 76 Rechenregeln rot( V W) = ( W ) V ( V ) W + ( W)V ( V) W) grad( V W) = W (rot V) + V (rot W) + ( W ) V + ( V ) W rot rot V = grad V V wobei V = V 1 V 2 V 3

45 45 / 76 Orientierung von Flächen Eine Fläche S R 3 heißt zweiseitig oder orientierbar, wenn man eindeutig von einer Ober- und Unterseite bzw. einer inneren und äußeren Seite sprechen kann. Für glatte Flächen legt man die Orientierung durch die Flächennormale fest: n := ± x u x v x u x v n heißt auch der Normaleneinheitsvektor.

46 46 / 76 Orientierung von Flächen Umlaufsinn einer geschlossenen doppelpunktfreien Kurve K S: Rechtsschraube oder Linksschraube bezüglich n. Eine stückweise glatte Fläche heißt zweiseitig oder orientierbar, wenn sich die Oberseiten der glatten Flächenstücke S i so festlegen lassen, dass sich der Umlaufsinn über die Kanten S i S j hinweg stetig fortsetzt.

47 Der Gaußsche Integralsatz Satz: G R 3 sei ein regulärer Bereich mit der Oberfläche S. Die Parameterdarstellungen x(u, v) der Flächenstücke seien so gewählt, dass die Flächennormale n = ± x u x v x u x v bezüglich des Bereichs G nach außen weist. Ist V : G R 3 ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G G stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, so gilt ( V)dV = ( V n)ds G S 47 / 76

48 48 / 76 Beispiel 1 S sei die Oberfläche der Halbkugel. und G = x y z R 3 x 2 + y 2 + z 2 1,z V(x,y,z) = 3xz 2 + y 3 y 3 + xz 3x 2 z y

49 49 / 76 Beispiel 1 Zu berechnen ist das Flächenintegral ( V n)ds S Wegen V = 3z 2 + 3y 2 + 3x 2 folgt aus dem Gaußschen Integralsatz ( V n)ds = ( V)dV S = 3 G G (x 2 + y 2 + z 2 )d(x,y,z)

50 5 / 76 Beispiel 1 Mit Kugelkoordinaten x = r sinψ cosϕ y = r sinψ sinϕ z = r cosψ erhält man nach der Substitutionsregel r 1, ψ π 2, ϕ 2π

51 Beispiel 1 1 π 2 2π ( V n)ds = 3 r 2 r 2 sin ψ dϕdψdr S = 6π 1 π 2 1 = 6π r 4 dr r 4 sin ψdψdr = 6π 5 51 / 76

52 52 / 76 Beispiel 2 Für die Kugeloberfläche x S = y R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 z soll das Oberflächenintegral f ds mit dem Skalarfeld S f (x,y,z) = (x + y + z) 2 berechnet werden.

53 53 / 76 Beispiel 2 Den Gaußschen Integralsatz kann man anwenden, wenn man das Skalarfeld in der Form f = V n mit der Flächennormale der Kugeloberfläche darstellen kann. Wie bei der Parameterdarstellung der Sphäre schon früher berechnet, ist x u x v und damit n ein Vielfaches des Ortsvektors x so, dass n = 1. Da aber x auf der Oberfläche der Einheitskugel liegt, ist x = 1 und damit n = x.

54 Beispiel 2 Für das Vektorfeld V muss also gelten oder V n = V x = f ( x) V n = V 1 x + V 2 y + V 3 z = (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz = (x + 2y)x + (y + 2z)y + (z + 2x)z 54 / 76

55 55 / 76 Beispiel 2 Das Vektorfeld mit der Divergenz V(x,y,z) = x + 2y y + 2z z + 2x erfüllt diese Bedingung. V = = 3

56 Beispiel 2 Nach dem Gaußschen Integralsatz gilt daher f ds = V nds = 3dV = 3 dv S S G Das Volumen der Einheitskugel ist G dv = 4π 3 und damit fds = 4π. S G 56 / 76

57 Der Satz von Stokes Satz: (Stokesscher Integralsatz) S R 3 sei eine stückweise glatte zweiseitige Fläche. Der Rand S von S sei eine stückweise glatte geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte. Der Umlaufsinn sei so gewählt, dass beim Durchlaufen des Randes die Fläche S links liegt und dass er mit dem Normaleneinheitsvektor eine Rechtsschraube bildet. Ist V : G R 3 ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G R 3 mit S G stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzt, so gilt V dk = (rot V n)ds S S 57 / 76

58 58 / 76 Der Satz von Stokes S V dk = S (rot V n)ds

59 59 / 76 Der Satz von Stokes In der Strömungslehre heißt das Integral V dk eines Geschwindigkeitsfelds V längs einer geschlossenen Kurve K die Zirkulation des Feldes längs K. Physikalische Bedeutung: Wegen V dk = V TdK S S S wird die skalare Tangentialkomponente von V längs K aufintegriert.

60 Beispiel 1 Das Geschwindigkeitsfeld einer turbulenten Strömung auf dem Zylinder x 2 + y 2 = 1 sei V(x,y,z) = y 3 x 3 z 3 Zu berechnen ist die Zirkulation von V längs der Schnittkurve S des Zylinders mit der Ebene x + y + z = 1. 6 / 76

61 Beispiel 1 Die zugehörige Fläche S ist die Menge der Punkte (x,y,z) mit x 2 + y 2 1 und x + y + z = 1: S = { x y 1 x y (x,y) G} mit dem Einheitskreis G = {(x,y) x 2 + y 2 1}. 61 / 76

62 62 / 76 Beispiel 1 1. Methode: Direkte Berechnung des Kurvenintegrals. Der Rand S besitzt die Parameterdarstellung S = { k(t) = cost sint 1 cost sint t 1} Also ist S V 2π dk = V( k(t)) k(t)dt

63 Beispiel 1 2. Methode: Anwendung des Satzes von Stokes. Die Fläche S ist ein Graph mit h(x,y) = 1 x y und dem Normalenvektor x x x y = h x h y 1 = der in die richtige Richtung zeigt. Ferner ist rot V = V = 3 x 2 + y / 76

64 64 / 76 Beispiel 1 Folglich ist V dk = S = (rot V n)ds S G rot V ( x x x y )d(x,y) = 3 (x 2 + y 2 )d(x,y) G = 3 2 π

65 65 / 76 Beispiel 2 Zu berechnen ist (rot V n)ds, über die Oberfläche der S Halbkugel S = und das Vektorfeld x y z R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1,z V(x,y,z) = y 2z 3x wobei die Flächennormale n = x nach oben zeigt.

66 66 / 76 Beispiel 2 Der Rand besitzt die Parameterdarstellung cost S = k(t) = sint t 2π

67 67 / 76 Beispiel 2 Nach dem Stokesschen Integralsatz ist S (rot V n)ds = = = V 2π dk = V( k(t)) k(t)dt S 2π 2π = 1 2 = π sint 3cost ( sin 2 t)dt = 1 2 sint cost 2π dt (1 cos(2t))dt [t 12 ] 2π sin(2t) = 1 2 2π

68 68 / 76 Beispiel 2 Bei diesem speziellen Beispiel gibt es noch eine einfachere Berechnungsmethode. Der Stokessche Satz besagt nämlich, dass der Wert des Flächenintegrals nur vom Rand S und den Werten des Vektorfeldes auf dem Rand abhängt. Für zwei Flächen S 1 und S 2 mit gleichem Rand S und gleicher Orientierung gilt nämlich (rot V n)ds = S 1 S V dk = (rot V n)ds S 2

69 Beispiel 2 Anstelle des Flächenintegrals über die Halbkugeloberfläche kann man ersatzweise das Flächenintegral über die Einheitskreisscheibe in der x-y-ebene berechnen: S 2 = { x(x,y) = x y (x,y) G} mit Es ist x x = 1 G = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 1}, x y = 1, x x x y = 1 = n 69 / 76

70 7 / 76 Beispiel 2 und daher S 2 rot V nds = = G G V 2 x V 1 y 1 1 = 1 d(x,y) = π G 1 d(x,y) d(x,y) denn d(x, y) ist die Fläche der Einheitskreisscheibe. G

71 71 / 76 Der Greensche Integralsatz Der Greensche Integralsatz beinhaltet eine Aussage über zweidimensionale Bereiche und Kurven in der x-y-ebene. Für das Kurvenintegral im R 2 verwenden wir das für den R 3 definierte Kurvenintegral, wobei z = und dz = gesetzt wird.

72 Der Greensche Integralsatz Satz: (Greenscher Integralsatz) G R 2 sei ein regulärer Bereich, dessen Rand G R 2 eine stückweise glatte geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte ist. Die Kurve G werde so durchlaufen, dass das Innere von G zur Linken von K liegt. V(x,y) = V 1 (x,y) V 2 (x,y) sei ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G G stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzt. Dann gilt G ( V2 x V ) 1 d(x,y) = V dk y G 72 / 76

73 73 / 76 Der Greensche Integralsatz Beweis: Die Aussage lässt sich auf die des Stokesschen Integralsatzes zurückführen: rot V = x y z V 1 V 2 n = = 1 V 2 x V 1 y

74 74 / 76 Der Greensche Integralsatz Dem Bereich G R 2 entspricht die Fläche x S = y (x,y) G so dass G V dk = S rot V nds = G ( V2 x V ) 1 d(x, y) y

75 75 / 76 Beispiel Für das Vektorfeld 1 3 (y3 x 3 )x 2 V(x,y) = x 3 y 2 und die nebenstehend abgebildete Kurve berechne man V dk K

76 76 / 76 Beispiel Mit und ergibt sich G = {(x,y) R 2 1 x 1, 1 y 1} K V 2 x = 3x2 y 2, V 1 y = x2 y 2 V dk = = 2 2x 2 y 2 d(x,y) G 1 ( = [ x y x 2 y 2 dx 1 ] 1 dy 1 ) dy = y 2 dy = 8 9