Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008

Transkript

1 1 / 80 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 80 Technisches Vorlesungswebsite: Mittwochs gibt s ein Aufgabenblatt: Drei live in den Übungen, drei Hausaufgaben, davon zwei Pflicht. Abgabe der alten Hausaufgaben in kleinen ruppen ebenfalls am Mittwoch in der Vorlesung Schein: 60% der Punkte in den Pflichthausaufgaben.

3 3 / 80 Technisches Übungsgruppen: Beginn Mi nächste Woche Bitte bis spätestens per WebAnmeldeSystem. Reihenfolge angeben! Die ersten zwei ausgewählten Termine sollten auf jeden Fall gehen! Termine: Siehe auch Univis! Di 14:15 15:45 im E1.12 Mi 10:00 12:00 im R4.11 Do 10:00 12:00 im E1.12 Fr 10:15 11:45 im E1.12 Fr 10:15 11:45 im R4.15

4 4 / 80 Literatur Wie im letzten Semester Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure I IV, B..Teubner, Stuttgart, raf Finck v. Finckenstein, Lehn, Schellhaas, Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure I II, B..Teubner, Stuttgart Hoffmann, Marx, Vogt: Mathematik für Ingenieure 1 2, Pearson Studium Bronstein, Semendjajew, Musiol: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 6.Auflage: verschiedene Skripte im Web der Uni Erlangen...

5 Wiederholung Sommersemester 5 / 80

6 6 / 80 Wiederholung Folgen, Reihen, Potenzreihen, Taylorreihen (1d) Differentialrechnung (1d und n-d) Integralrechnung (1d) gewöhnliche Dln

7 7 / 80 Parameterintegrale I R sei ein Intervall und f : [a,b] I R sei eine Funktion f (t,x) von zwei Variablen. Wir untersuchen die Integralfunktion F : I R mit für x I F(x) = b a f (t,x)dt }{{} Parameterintegral

8 8 / 80 Eigentliche Parameterintegrale Beispiel: für x R 2 F(x) = 1 e tx t dt

9 9 / 80 Uneigentliche Parameterintegrale Beispiel: Die amma-funktion Γ(x) = e t t x 1 dt für x (0, ). Hier nicht mehr vgl. 2. Semester! 0

10 10 / 80 Eigenschaften eigentlicher Parameterintegrale Satz f : [a,b] I R sei eine gegebene Funktion, und F : I R bezeichne die zugehörge Integralfunktion. Dann gilt: a) Ist f auf [a,b] I stetig, so ist F auf I stetig. b) Ist f auf [a,b] I stetig, existiert auf [a,b] I die partielle Ableitung f x und ist diese dort stetig, so ist F auf I differenzierbar und es gilt: F (x) = df b dx (x) = a f (t,x) dt x

11 11 / 80 Beispiel 2 F(x) = 1 e tx t dt für x 0. (F läßt sich nicht analytisch integrieren!) F (x) = 2 1 e tx 2 x t dt = e tx dt 1 = 1 x etx t=2 t=1 = 1 x ( e 2x e x)

12 12 / 80 Satz von Fubini Hier nehmen wir speziell I = [c,d] an. Satz: Ist f : [a,b] [c,d] R eine stetige Funktion, so folgt für die zugehörige Integralfunktion F : [c, d] R: d c F(x)dx = d c b a f (t,x)dt dx = b a d c f (t,x)dx dt

13 13 / 80 Variable Integrationsgrenzen F(x) = ψ(x) ϕ(x) f (t,x)dt Satz: I R sei ein gegebenes Intervall, ϕ : I R und ψ : I R seien auf I stetig differenzierbare Funktionen, und f sei eine gegebene reellwertige Funktion, die auf der Menge M := {(t,x) R I t [ϕ(x),ψ(x)] oder t [ψ(x),ϕ(x)]} stetig ist und dort eine stetige partielle Ableitung f x besitzt.

14 14 / 80 Variable Integrationsgrenzen Dann ist die Integralfunktion F : I R mit F(x) = differenzierbar auf I und es gilt F (x) = ψ(x) ϕ(x) ψ(x) ϕ(x) f (t,x)dt f (t,x) dt + ψ (x) f (ψ(x),x) ϕ (x) f (ϕ(x),x) x

15 15 / 80 Beispiel x2 F(x) = cos(t 2 x)dt 0 F (x) = x2 0 x cos(t2 x)dt + 2xcos(x 4 x) 0 x2 = t 2 sin(t 2 x)dt + 2xcos(x 5 ) 0

16 16 / 80 Integration von Funktionen mehrerer Variabler

17 17 / 80 Zweidimensionale Integrale Im R 2 betrachten wir ein Rechteck der Form I := { (x,y) R 2 a x b,c y d } f : I R sei eine beschränkte Funktion. Zur Integration von f auf I gehen wir wie folgt vor: 1. Wir bilden eine Zerlegung Z 1 von [a,b] in n + 1 Teilpunkte a = x 0 < x 1 <... < x n = b und eine Zerlegung Z 2 von [c,d] in m + 1 Teilpunkte c = y 0 < y 1 <... < y m = d. Wir bezeichnen wieder die rößen Z 1 := max 1 i n (x i x i 1 ) und Z 2 := max 1 j m (y j y j 1 ) als die Normen dieser Zerlegungen.

18 18 / 80 Zweidimensionale Integrale I ij := {(x,y) x i 1 x x i,y j 1 y y j } für i = 1,...,n und j = 1,...,m

19 19 / 80 Zweidimensionale Integrale 2. Wir wählen für jedes i und j ein x i [x i 1,x i ] und ein y j [y j 1,y j ] und bilden die Riemannsche Summe S Z1 Z 2 = n m i=1 j=1 f (x i,y j ) (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) f (x i,y j ) (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) beschreibt das Volumen des Quaders mit den rundseiten x i x i 1,y j y j 1 und der Höhe f (x i,y j )

20 20 / 80 Zweidimensionale Integrale Wir gehen zu immer feineren Zerlegungen über, d.h. Z 1 0 und Z 2 0 Definition: f sei eine auf I beschränkte reellwertige Funktion. Streben die Riemann schen Summen S Z1 Z 2 für alle Zerlegungen Z 1 von [a,b] mit Z 1 0 und alle Zerlegungen Z 2 von [c,d] mit Z 2 0 sowie jede Wahl der Zwischenstellen (x i,y j ) einem gemeinsamen renzwert S zu, so heißt f integrierbar auf I. Die Zahl S heißt bestimmtes Integral über f auf I. Wir schreiben S = lim n m Z 1 0 Z 2 0 i=1 j=1 = f (x,y)d(x,y) I f (x i,y j ) (x i x i 1 ) (y j y j 1 )

21 21 / 80 Zweidimensionale Integrale Eine nichtleere Teilmenge des R 2 heißt beschränkt, falls es ein Rechteck I := {(x,y) R 2 a x b,c y d} mit I gibt.

22 22 / 80 Zweidimensionale Integrale Definition: R 2 sei eine beschränkte Menge (mit I) und f : R sei eine beschränkte Funktion. Existiert für die Erweiterungsfunktion f I von f auf I mit { } f (x,y) falls (x,y) f I (x,y) := 0 falls (x,y) I \ das Integral S = I f I (x,y)d(x,y) so heißt f integrierbar auf und wir setzen S = f (x,y)d(x,y)

23 23 / 80 Zweidimensionale Integrale Ist die Funktion f : R nichtnegativ auf, f (x,y) 0 (x,y) so beschreibt das Integral f (x,y)d(x,y) das Volumen des Raumstücks über und unter der Fläche z = f (x,y). Weitere Schreibweise: S = f (x,y)d(x,y) = f (xy)d

24 24 / 80 Zweidimensionale Integrale Definition: Ist R 2 eine beschränkte Menge, und ist die Funktion f (x,y) 1 integrierbar auf, so heißt meßbar. Der Wert des Integrals µ() = d(x, y) heißt der zweidimensionale Inhalt oder das Maß von.

25 25 / 80 Rechenregel Satz: f und g seien integrierbar auf R 2. Dann ist für alle α,β R die Funktion αf + βg ebenfalls integrierbar auf, und es gilt [αf (x,y) + βg(x,y)]d(x,y) = α f (x,y)d(x,y) + β g(x, y)d(x, y)

26 26 / 80 Projizierbare Mengen Berechnung zweidimensionaler Integrale Definition: Eine nichtleere Teilmenge R 2 a) heißt y-projizierbar, wenn es auf einem Intervall [a, b] der x-achse stetige Funktionen y(x) und y(x) mit so gibt, dass gilt y(x) y(x) x [a,b] = { (x,y) x [a,b],y(x) y y(x) }

27 27 / 80 Projizierbare Mengen b) heißt x-projizierbar, wenn es auf einem Intervall [c,d] der y-achse stetige Funktionen x(y) und x(y) mit x(y) x(y) y [x,d] so gibt, dass gilt = {(x,y) y [c,d],x(y) x x(y)}

28 28 / 80 Projizierbare Mengen c) heißt projizierbar, falls y-projizierbar oder x-projizierbar ist. d) heißt Standardmenge im R 2, falls sowohl y-projizierbar als auch x-projizierbar ist.

29 29 / 80 Projizierbare Mengen Man beachte, dass eine Menge R 2 weder y- noch x-projizierbar sein muss.

30 30 / 80 Integralberechnung Satz: R 2 sei eine projizierbare Menge und f : R sei eine stetige Funktion. Dann existiert das Integral f (x,y)d(x,y) und es gilt, a) falls y-projizierbar ist: f (x,y)d(x,y) = b y(x) a y(x) b) falls x-projizierbar ist: f (x,y)d(x,y) = d x(y) c x(y) f (x,y)dy dx f (x,y)dx dy

31 Beispiel 1 Man berechne (x 2 + y 2 )d(x,y) für := { (x,y) R 2 0 x 2,x 2 y 4 } ist y- und x-projizierbar. 31 / 80

32 32 / 80 Beispiel 1 (x 2 + y 2 )d(x,y) = = = = (x 2 + y 2 )dy dx x 2 [x 2 y + 13 ] y=4 y3 y=x 2 dx ( 4x x4 1 ) 3 x6 dx [ 4 3 x x 1 5 x x7 ] x=2 x=0 = =

33 33 / 80 Beispiel 1 (x 2 + y 2 )d(x,y) = = = y (x 2 + y 2 )dx dy 0 [ 1 3 x3 + y 2 x [ y y 7 2 ] x= y x=0 ] y=4 y=0 = = = dy = 4 0 ( ) 1 3 y y 2 dy

34 34 / 80 Beispiel 2 esucht ist das Volumen I, das durch das Paraboloid f (x,y) = 1 x 2 y 2 und durch die (x,y)-ebene begrenzt wird. ist der Einheitskreis in der (x,y)-ebene und kann wie folgt dargestellt werden: { } = (x,y) R 2 x [ 1,1], 1 x 2 y 1 x 2

35 35 / 80 Beispiel 2 I = = (1 x 2 y 2 )d(x,y) 1 1 = x 2 (1 x 2 y 2 )dy dx 1 x (1 x 2 ) 3 2 dx

36 36 / 80 Beispiel 2 Substitution mit x = sin(ϕ) (Integral Nr. 171, Bronstein, 19. Aufl. ergibt I = = (1 x 2 ) 3 2 dx [ x(1 x 2 ) x 1 x arcsinx ] x=1 = arcsin1 }{{} 3 2 arcsin( 1) }{{} = π 2 = π 2 = π 4 + π 4 = π 2 x= 1

37 37 / 80 Projizierbare Mengen Ist R 2 nicht projizierbar, aber zerlegbar in N projizierbare Mengen 1,..., N, so gilt f (x,y)d(x,y) = f (x,y)d(x,y) f (x,y)d(x,y) 1 N

38 38 / 80 Die Substitutionsregel Substitutionsregel für zweidimensionale Integrale f (x,y)d(x,y) x = x(u,v) und y = y(u,v) seien stetige Funktionen, die auf einer Menge H der (u, v)-ebene stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen. Die Funktionen seien umkehrbar eindeutig: Jedem (u 0,v 0 ) H ist genau ein (x(u 0,v 0 ),y(u 0,v 0 )) zugeordnet und umgekehrt. Für die Jacobische Funktionalmatrix gelte det x(u,v) (x,y) (u,v) = u y(u,v) u ( ) (x,y) (u,v) 0 für alle (u,v) H. x(u,v) v y(u,v) v

39 39 / 80 Die Substitutionsregel Dann gilt f (x,y)d(x,y) = H ( ) f (x(u,v),y(u,v)) (x,y) det d(u,v) (u,v)

40 40 / 80 Beispiel Berechne e x2 +y 2 d(x,y) für = { (x,y) R 2 1 x 2 + y 2 4,y 0 } Wir führen Polarkoordinaten ein, d.h. x = r cos(ϕ) und y = r sin(ϕ) mit 1 r 2 und 0 ϕ π.

41 41 / 80 Beispiel Dann ist H = { (r,ϕ) R 2 1 r 2,0 ϕ π } und es gilt det ( ) ( (x,y) cosϕ r sinϕ = det (r,ϕ) sinϕ r cosϕ ) = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r e x2 +y 2 d(x,y) = e r2 rd(r,ϕ) = H 2 π e r2 rdϕ dr = = π 2 er2 2 = π 1 2 (e4 e) e r2 rπdr

42 42 / 80 Dreidimensionale Integrale Integrale über Funktionen f (x, y, z) mit drei Variablen werden ähnlich wie im zweidimensionalen Fall definiert. Zur Berechnung von f (x,y,z)d(x,y,z) führen wir projizierbare Mengen im R 3 ein.

43 43 / 80 Projizierbare Mengen Definition: sei eine nichtleere Teilmenge des R 3. a) heißt z-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge z in der (x,y)-ebene und auf z stetige Funktionen z(x,y) und z(x,y) mit z(x,y) z(x,y) (x,y) z so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (x,y) z,z(x,y) z z(x,y) }

44 44 / 80 Projizierbare Mengen b) heißt y-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge y in der (x,z)-ebene und auf y stetige Funktionen y(x,z) und y(x,y) mit y(x,z) y(x,z) (x,z) y so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (x,z) y,y(x,z) y y(x,z) } c) heißt x-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge x in der (y,z)-ebene und auf x -stetige Funktionen x(y,z) und x(y,z) mit x(y,z) x(y,z) (y,z) x so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (y,z) x,x(y,z) x x(y,z) }

45 45 / 80 Projizierbare Mengen d) heißt projizierbar, wenn sie z-projizierbar oder y-projizierbar oder x-projizierbar ist. e) heißt Standardmenge im R 3, wenn sie sowohl z-projizierbar als auch y-projizierbar und x-projizierbar ist.

46 46 / 80 Projizierbare Mengen Satz: R 3 sei eine projizierbare Menge, und f : R sei eine stetige Funktion. Dann existiert das Integral f (x,y,z)d(x,y,z), und es gilt a) falls z-projizierbar ist: f (x,y,z)d(x,y,z) = z z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz d(x,y)

47 47 / 80 Projizierbare Mengen b) falls y-projizierbar ist: f (x,y,z)d(x,y,z) = c) falls x-projizierbar ist: y f (x,y,z)d(x,y,z) = x y(x,z) y(x,z) x(y,z) x(y,z) f (x,y,z)dy d(x,z) f (x,y,z)dx d(y,z)

48 48 / 80 Projizierbare Mengen f (x,y,z)d(x,y,z) = z z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz d(x,y) Man beachte, dass die Integrale in Klammern eindimensional und die äußeren Integrale zweidimensional sind. Ist z.b. z-projizierbar und z y-projizierbar, so folgt f (x,y,z)d(x,y,z) = b a y(x) y(x) z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz dy dx

49 49 / 80 Beispiel Man berechne xd(x,y,z) für = {(x,y,z) R 3 x 0,y 0,z 0, x a + y b + z } c 1 mit a,b,c > 0. beschreibt das nachstehend dargestellte Tetraeder.

50 50 / 80 Beispiel ist z-projizierbar mit z = { ( (x,y) R 2 x 0,y 0, x a + y b 1} z(x,y) = 0, z(x,y) = c 1 x a y ). b

51 51 / 80 Beispiel Die Menge z ist y-projizierbar, denn es ist z = {(x,y) R 2 x [0,a],0 y b(1 x } a )

52 52 / 80 Beispiel xd(x,y,z) = = z a 0 c(1 x a y b ) 0 b(1 a x ) 0 xdz d(x,y) c(1 x a y b ) xd(x,y,z) = 1 24 a2 bc 0 xdz dy dx

53 Volumen einer Menge Definition: Ist R 3 eine beschränkte Menge (d.h., ist Teilmenge eines Quaders im R 3 ), und ist die Funktion f (x,y,z) 1 integrierbar auf, so heißt messbar. Der Wert des Integrals µ() := d(x,y,z) heißt der dreidimensionale Inhalt oder das Maß von oder das Volumen von. 53 / 80

54 54 / 80 Beispiel esucht ist der dreidimensionale Inhalt (Volumen) von := { (x,y,z) R 3 0 x 1,0 y x, y 2 z x 2} µ() = = 1 0 d(x,y,z) = x 0 = 1 3 x x 0 [ x 2 + y 2] dy dx = 0 = 1 3 x2 y 2 dz 1 0 dy dx (x x3 )dx }{{} 4 3 x3

55 55 / 80 Die Substitutionsregel Substitutionsregel für dreidimensionale Integrale f (x,y,z)d(x,y,z) Man substituiert x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) und z = z(u,v,w). Dabei seien x,y und z stetige Funktionen, die auf einer Menge H R 3 stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen und die Menge H eineindeutig auf die Menge abbilden. Für die Jacobische Funktionalmatrix (x,y,z) (u,v,w) = x u y u z u x v y v z v ( ) sei det (x,y,z) (u,v,w) 0 für alle (u,v,w) H. x w y w z w

56 56 / 80 Zylinderkoordinaten x = r cosϕ y = r ϕ z = t 0 ϕ 2π, r 0, < t < det ( ) (x,y,z) (r,ϕ,t) = det cosϕ r sinϕ 0 sinϕ r cosϕ = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r

57 57 / 80 Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ z = r cosϕ 0 ϕ π, 0 ϑ 2π, r 0

58 58 / 80 Kugelkoordinaten ( ) (x,y,z) det = det (r,ϕ,ϑ) sinϕ cosϑ r cosϕ cosϑ r sinϕ sinϑ sinϕ sinϑ r cosϕ sinϑ r sinϕ cosϑ cosϕ r sinϕ 0 = cosϕ(r 2 cosϕ cos 2 ϑ sinϕ + r 2 cosϕ sin 2 ϑ sinϕ) + r sinϕ(r sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r sin 2 ϕ sin 2 ϑ) = r 2 cos 2 ϕ sinϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 sin 3 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) = r 2 cos 2 ϕ sinϕ + r 2 sin 3 ϕ = r 2 sinϕ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r 2 sinϕ

59 Beispiel für z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 1 x 2 + y 2 e 2, x 0, y 0, 0 z 4 } 59 / 80

60 60 / 80 Beispiel Führen wir Zylinderkoordinaten ein, d.h. x = r cosϕ,y = r sinϕ,z = t so entspricht der Menge die Menge H = {(r,ϕ,t) R 3 1 r e,0 ϕ π } 2,0 t 4 Dann folgt z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = H t ln(r2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ rd(r,ϕ,t)

61 61 / 80 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

62 62 / 80 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ erhalten wir e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

63 Beispiel für z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 1 x 2 + y 2 e 2, x 0, y 0, 0 z 4 } 63 / 80

64 64 / 80 Beispiel Führen wir Zylinderkoordinaten ein, d.h. x = r cosϕ,y = r sinϕ,z = t so entspricht der Menge die Menge H = {(r,ϕ,t) R 3 1 r e,0 ϕ π } 2,0 t 4 Dann folgt z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = H t ln(r2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ rd(r,ϕ,t)

65 65 / 80 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

66 66 / 80 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ erhalten wir e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

67 67 / 80 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

68 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } 68 / 80

69 69 / 80 Beispiel Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ erhalten wir = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

70 70 / 80 Beispiel = H e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ) = 4 π(e 1) 3

71 Masse eines Körpers R 3 sei eine messbare Menge ( Körper ). Dann berechnet sich das Volumen V von als V = d(x,y,z) Ist in eine Dichteverteilung ρ = ρ(x,y,z) gegeben, so wird M := als Masse von bezeichnet. Bei konstanter Dichte ρ ist M = ρ V. ρ(x,y,z)d(x,y,z) 71 / 80

72 72 / 80 Schwerpunkt eines Körpers Unter dem Schwerpunkt von bezüglich der Dichteverteilung ρ(x,y,z) versteht man einen Punkt (x s,y s,z s ) R 3 mit den Koordinaten x s = 1 M y s = M z s = M xρ(x,y,z)d(x,y,z) yρ(x,y,z)d(x,y,z) zρ(x,y,z)d(x,y,z)

73 73 / 80 Beispiel Schwerpunkt des Kugeloktanten := {(x,y,z) R 3 x 0,y 0,z 0,x 2 + y 2 + z 2 R 2} vom Radius R > 0 bezüglich der konstanten Dichteverteilung ρ.

74 74 / 80 Beispiel Kugelkoordinaten: x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ z = r cosϕ 0 ϕ π 2 0 ϑ π 2 0 r R

75 75 / 80 Beispiel Masse M von : M = ρ d(x,y,z) = ρ π 2 0 R 0 M = ρπr3 6 π 2 0 r 2 sinϕ dϑ dr dϕ

76 76 / 80 Beispiel x-koordinate des Schwerpunkts xρ d(x,y,z) = ρ π 2 R π r sinϕ cosϑ r 2 sinϕ dϑ dr dϕ xρ d(x,y,z) = ρr4 π 16

77 77 / 80 Beispiel x s = 1 M xρ d(x,y,z) = 6 ρπr 3 ρr4 π 16 = 3 8 R y s = 3 8 R z s = 3 8 R

78 78 / 80 Trägheitsmomente Sei R 3 wieder eine messbare Menge mit einer Dichteverteilung ρ(x, y, z). Die Trägheitsmomente T x bezüglich der x-achse, T y bezüglich der y-achse und T z bezüglich der z-achse sind definiert als T x = T y = T z = (y 2 + z 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) (x 2 + z 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) (x 2 + y 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z)

79 79 / 80 Beispiel Trägheitsmoment T z bezüglich der z-achse einer Kugel := { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2} vom Radius R > 0 mit konstanter Dichteverteilung ρ(x,y,z) = 1. Wir verwenden Kugelkoordinaten: x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ 0 ϕ π,0 ϑ 2π,0 r R z = r cosϕ x 2 + y 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ = r 2 sin 2 ϕ

80 80 / 80 Beispiel x 2 + y 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ = r 2 sin 2 ϕ T z = = = (x 2 + y 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) π (x 2 + y 2 )d(x,y,z) R π r 2 sin 2 ϕ r 2 sinϕ dϑ dr dϕ T z = 8 15 πr5