Höhere Mathematik Vorlesung 5

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1 Höhere Mathematik Vorlesung 5 März 2017

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3 Gibt es etwa eine bessere Motivation als den rfolg?. Ion Tiriac 5 Das Dreifachintegral Ähnlich wie im zweindimensionalen Fall definieren wir das Dreifachintegral für eine Funktion f mit drei Variablen. Sei f definiert auf dem Quader: B = [a, b] [c, d] [r, s] = {(x, y, z) R 3 : a x b, c y d, r z s} Wir zerlegen B durch achsenparallele Strecken in viele kleine Teilquader. Um eine solche Zerlegung zu schaffen, betrachtet man eine Zerlegung des Intervalls [a, b] in l Teilintervalle [x i 1, x i ] mit Breite x, eine Zerlegung des Intervalls [c, d] in m Teilintervalle [y j 1, y j ] mit Breite y, und eine Zerlegung des Intervalls [r, s] in n Teilintervalle [z k 1, z k ] mit Breite z. B ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ] = {(x, y, z) : x i 1 x x i, y j 1 y y j, z k 1 z z k }, jeder mit dem selben Volumen V = x y z. 1

4 Zunächst bilden wir die Riemann-Summe: l m n f(x * ijk, y ijk, * z ijk) * V i=1 j=1 k=1 wobei der beliebigen Punkt (x * ijk, y* ijk, z* ijk ) in B ijk liegt. Definition: Das Dreifachintegral Wir definieren das Dreifachintegral einer Funktion f über einen Quader B als: B ob dieser Grenzwert existiert. lim l m n f(x * ijk, y ijk, * x * ijk) V l,m,n i=1 j=1 k=1 Bemerkungen: Das mathematische Objekt dv heisst das Volumenelement. Satz von Fubini für Dreifachintegrale: Sei f stetig auf dem Quader B = [a, b] [c, d] [r, s], dann gilt: [a,b] [c,d] [r,s] b d s a c r f(x, y, z)dzdydx Wir verallgemeinern den obigen Fall und zunächst integrieren wir über allgemeinere Mengen. Vergleichen Sie mit dem Fall des Doppelintegrals. Solide Regionen 1. Art: ine solide Region heisst von erster Art wenn: = {(x, y, z) : (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} wobei D die Projektion von auf die xy-bene ist. und dann: D [ ] u2(x,y) f(x, y, z)dz da u 1(x,y) 2

5 Speziell wenn D ein Normalgebiet bezüglich x ist: D = {(x, y) : a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} Dann: b g2(x) u2(x,y) a g 1(x) u 1(x,y) Wenn D ein Normalgebiet bezüglich y ist: f(x, y, z)dzdydx D = {(x, y) : c y d, h 1 (x) x h 2 (x)} Dann: d h2(x) u2(x,y) c h 1(x) u 1(x,y) Die anderen Möglichleiten sind änlich definiert: f(x, y, z)dzdxdy 3

6 Solide Regionen 2. Art: ine solide Region heisst von zweiter Art wenn: = {(x, y, z) : (y, z) D, u 1 (y, z) x u 2 (y, z)} wobei D die Projektion von auf die yz-bene ist. und dann: D [ ] u2(y,z) f(x, y, z)dx da u 1(y,z) Solide Regionen 3. Art: ine solide Region heisst von dritter Art wenn: = {(x, y, z) : (x, z) D, u 1 (x, z) y u 2 (x, z)} wobei D die Projektion von auf die xz-bene ist. und dann: D [ ] u2(x,z) f(x, y, z)dy da u 1(x,z) 4

7 Grundeigenschaften von Dreifachintegralen: (i) das Dreifachintegral ist eine lineare Abbildung: αf + βg dv = α f dv + β g dv (ii) 1 dv = V(), R 3 beschränkt, wobei V() das Volumen von ist. (iii) für f g gilt: f dv g dv. Additivität des Dreifachintegrals: Man kann den Integrationsbereich in kleinere, nicht überlappende bereiche 1, 2 aufteilen. Da f auf stetig ist, ist f auch auf allen 1, 2 stetig. s ist dann: f(x, y, z)dv + f(x, y, z)dv 2 Bemerkungen: Im Allgemeinen: eine Verallgemeinerung der soliden Regionen sind die regulären Menge R 3 : die Menge ist selbst abgeschlossen und beschränkt ihr Inneres int() nicht leer ist ihr Rand aus endlich vielen stückweise glatten Kurven besteht. 5

8 Integration durch Substitution: ntsteht der reguläre Bereich R 3 unter der Koordinaten-transformation x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) aus B, dann gilt für jede auf stetige Funktion f die Transformationsformel: f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) dudvdw B wobei: (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w. Anwendungen der Dreifachintegrale Gegeben sei ein Körper B R 3 und seine Massendichte ρ(x, y, z). Die Gesamtmasse des Körpers ist: M = B ρ(x, y, z) dxdydz Der Schwerpunkt G(x G, y G, z G ) des Körpers hat die Koordinaten: x G = 1 M B y G = 1 M B z G = 1 M B x ρ(x, y, z) dv, y ρ(x, y, z) dv, z ρ(x, y, z) dv 6

9 Übungen mit Lösungen Aufgabe 1. Mit Hilfe eines Dreifachintegrals berechnen Sie das Volumen des Tetraeders, das durch die benen x + 2y + z = 2, x = 0 und z = 0 begrenzt ist. Lösung: Das Tetraeder T und seine Projektion auf die xy-bene sind im folgenden Bild dargestellt. Die untere Grenze von T ist die bene z = 0 und die obene Grenze ist die bene x + 2y + z = 2, also z = 2 2y x. Das Tetraeder ist eine solide Region erster Art: T = {(x, y, z) : (x, y) D, 0 z 2 2y x} Die Projektion D auf die xy-bene ist ein Normalgebiet bezüglich x: Diese zieht nach sich: D = {(x, y) : 0 x 1, Vol (T ) = 1dV = = = T x 2 x 2 1 x 2 x 2 0 D 2 2y x 0 x 2 y 1 x 2 } [ 2 2y x 1 dzdydx 2 2y x dydx = 1 3. ] 1dz da 7

10 Übungsblatt 5 Aufgabe 1. Werten Sie die iterierten Integrale aus: i) ii) 2 z 2 y z y x+y 0 y 0 (2x y) dxdydz 6xy dzdxdy Aufgabe 2. Sei der Körper, der durch die benen x + y + z = 1, x = 0, y = 0 und z = 0 begrenzt ist. Berechnen Sie das Integral: xyzdv. Aufgabe 3. Berechnen Sie das Dreifachintegral: (x + y + z)dv wobei der Würfel mit Seite 1 ist. Aufgabe 4. Sei der Körper, der durch die Flächen x 2 + y 2 + z 2 = 1, x = 0, y = 0 und z = 0 begrenzt ist. Berechnen Sie das Integral: xyzdv. Aufgabe 5. Brechnen Sie das Integral: x2 + y 2 + z 2 dv wobei die Kugel x 2 + y 2 + z 2 = z ist. 8

11 Literaturverzeichnis [1] J. Stewart. Calculus, Thompson Brooks/Cole, [2] D. Ferus. Analysis II für Ingenieure, Technische Universität Berlin, [3] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale, [4] O. Lipovan. Analiza matematica: Calcul Integral, ditura Politehnica,

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