GRUNDLAGEN MATHEMATIK

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 7. Lineare Algebra Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

2 G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/97 Motivation I zu Beginn des Semesters: R 2 und R 3 als Menge der Vektoren in der Ebene bzw. im Raum Rechenoperationen und Eigenschaften Vektor-Addition: kommutativ und assoziativ Nullvektor #» 0 mit #» v + #» 0 = #» v negativer Vektor #» v mit #» v + #» v = #» 0 Skalarmultiplikation λ #» v, λ R: distributiv Neutralität der Eins: 1 #» v = #» v ähnlich für Vektoren mit n reellen Einträgen Vektoren mit n komplexen Einträgen und komplexen Skalaren

3 G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/97 Motivation II Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b] R Rechenoperationen und Eigenschaften Addition: kommutativ und assoziativ Nullfunktion 0 mit f + 0 = f negative Funktion f mit f + f = 0 Skalarmultiplikation λf, λ R: distributiv Neutralität der Eins: 1f = f ähnlich für Polynome vom Grad kleiner oder gleich k und Nullpolynom

4 G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/97 Verallgemeinerung K: reelle Zahlen R oder komplexe Zahlen C nicht-leere Menge V Addition auf V definiere für alle u, v V das Ergebnis u v V Skalar-Multiplikation definiere für alle λ K und alle v V das Ergebnis λ v V

5 G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/97 Vektorraum Definition Wir nennen V einen K-Vektorraum, wenn die Bedingungen (V1) u (v w) = (u v) w (V2) u v = v u (Assoziativität) (Kommutativität) (V3) Es gibt ein neutrales Element 0 V mit v 0=v. (V4) Zu jedem Element v V gibt es ein inverses Element v V mit v ( v) = 0. (S1) (λµ)v = λ(µv) (S2) 1v = v (Neutralität der Eins) (S3) λ(u v) = (λu) (λv) (S4) (λ + µ)v = (λv) (µv) für alle u, v, w V und alle λ, µ K erfüllt sind.

6 G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/97 Beispiele Menge aller Vektoren mit n reellen Komponenten, n N v 1 R n :=. : v 1,..., v n R R-Vektorräume v n keine C-Vektorräume, da ie 1 R n Menge aller Vektoren mit n komplexen Komponenten, n N z 1 C n :=. : z 1,..., z n C C-Vektorräume auch R-Vektorräume z n

7 G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/97 Linearkombination, lineare Unabhängigkeit Definition Seien V ein K-Vektorraum, r N, v 1,..., v r V, λ 1,..., λ r K. 1. Der Ausdruck r λ i v i = λ 1 v λ r v r i=1 heißt Linearkombination von v 1,..., v r mit den Koeffizienten λ 1,..., λ r. 2. Die Elemente v 1,..., v r heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung r λ i v i = 0 i=1 nur durch λ 1 = = λ r = 0 erfüllt werden kann. Anderenfalls nennen wir die Elemente linear abhängig.

8 G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/97 Bemerkungen Die Elemente v 1,..., v r sind genau dann linear unabhängig, wenn sich das Nullelement nur durch die (triviale) Linearkombination mit λ 1 = = λ r = 0 ergibt. Ist eines der Elemente v 1,..., v r das Nullelement des Vektorrraumes V, dann sind die Vektoren linear abhängig. Die Elemente v 1,..., v r sind genau dann linear abhängig, wenn sich mindestens ein Element aus v 1,..., v r als Linearkombination der übrigen Elemente darstellen lässt. Zwei Vektoren des R 2 sind genau dann linear abhängig, wenn sie kollinear sind. Drei Vektoren des R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind.

9 G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/97 Beispiele Gegeben: v 1, v 2, v 3, v 4 R 3 mit v 1 = 0, v 2 = 1, v 3 = 1, v 4 = Die Vektoren v 1, v 2, v 3, v 4 sind linear abhängig, da v 1 2v 2 + 0v 3 + v 4 = 0 erfüllt ist und hierbei nicht alle Koeffizienten 0 sind. Die Vektoren v 1, v 2, v 3 sind linear unabhängig, da aus folgt, dass erfüllt sein muss. λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0

10 G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/97 Unterraum Definition Eine nicht-leere Teilmenge U V eines K-Vektorraumes V heißt Unterraum, wenn jede (endliche) Linearkombination von Elementen aus U wieder zu U gehört. Satz (Unterraum-Kriterium) Die Menge U V mit U ist genau dann ein Unterraum von V, wenn für alle a 1, a 2 U und alle λ K das Element a 1 + λa 2 zu U gehört. Folgerung Jeder Unterraum enthält das Nullelement. Der kleinste Unterraum ist {0}, der größte ist V selbst.

11 G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/97 Erzeugendensystem, Basis Definition Gegeben seien m Elemente a 1,..., a m V. Die Menge aller Linearkombinationen von a 1,..., a m gemäß { } m Span(a 1,..., a m ) := x V : x = λ i a i, λ i K Satz heißt Span der Elemente a 1,..., a m. Gilt Span(a 1,..., a m )=V, dann wird die Menge {a 1,..., a m } Erzeugendensystem von V genannt. Ein Erzeugendensystem, dessen Elemente linear unabhängig sind, nennen wir Basis. Span(a 1,..., a m ) ist ein Unterraum von V. i=1

12 G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/97 Eigenschaften, Dimension Satz Alle Basen eines Vektorraumes V haben die gleiche Anzahl von Elementen. Definition Die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraumes V wird als Dimension von V bezeichnet, kurz: dim V. Beispiel dim R n = n, dim C n = n Bemerkung Es gibt auch Vektorräume, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen. Diese werden dann unendlich dimensional genannt. Beispiel: Menge der stetigen Funktionen auf [a, b]

13 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/97 Koordinatendarstellung eines Vektorraum-Elements Satz Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und {v 1,..., v n } eine Basis von V. Dann existieren für jeden Vektor a V eindeutig bestimmte Zahlen α 1,..., α n K derart, dass n a = α i v i i=1 erfüllt ist. Die Zahlen α 1,..., α n heißen Koordinaten des Elements a bezüglich des Basis {v 1,..., v n }. Bemerkung Wird im R n oder im C n jeweils die kanonische Basis {e 1,..., e n } der Einheitsvektoren verwendet, dann entsprechen die Koordinaten eines Vektors genau seinen Komponenten.

14 G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/97 Illustration zur Koordinatendarstellung I 1 e 2 a 0.5 a = ( ) 2 = 2 1 e ( ) ( ) 0 = 2e e 2

15 G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/97 Illustration zur Koordinatendarstellung II 5 a v 2 1 v 1 a = ( ) 4 = ( ) ( ) 1 = 1v v 2

16 G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/97 Tensorprodukt von Vektorräumen Definition Seien V, W zwei K-Vektorräume. Das Tensorprodukt V W = { (v, w) : v V, w W } ist die Menge aller geordneten Paare, wobei der erste Eintrag aus V und der zweite Eintrag aus W stammen. Satz Sind V, W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt: dim(v W ) = dim V + dim W. Definition Sei V ein K-Vektorraum. Dann beschreibt V n =V V V }{{} n mal das n-fache Tensorprodukt von V mit sich selbst. Die Elemente in V n sind geordnete n-tupel.

17 Matrizen Definition Seien m, n N. Die Anordnung von m n Zahlen aus K in ein rechteckiges Schema aus m Zeilen und n Spalten nennen wir m n- Matrix über K. Die Menge aller m n-matrizen über K wird mit K m n bezeichnet. Zur Bezeichnung von Matrizen werden meist Großbuchstaben verwendet. Die Komponenten oder Einträge der Matrix werden mit dem zugehörigen doppelt indizierten Kleinbuchstaben bezeichnet: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Der erste Index entspricht stets der Zeile, der zweite Index der Spalte. Zur Vermeidung von Missverständnissen kann ein Komma zwischen Zeilen- und Spaltenindex gesetzt werden. G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/97

18 G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/97 Gleichheit von Matrizen Ist A R m n, so sprechen wir von einer reellen Matrix. Im Fall B C m n liegt eine komplexe Matrix vor. Jede reelle Matrix kann auch als komplexe Matrix aufgefasst werden. Definition Zwei Matrizen A K m n und B K r s sind genau dann gleich, wenn ihre Formate übereinstimmen und korrespondierende Einträge gleich sind, d. h., wenn die Bedingungen 1. m = r, n = s, 2. a ij = b ij für i = 1,..., m, j = 1,..., n, erfüllt sind.

19 G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/97 Quadratische Matrizen Definition Eine Matrix vom Format n n heißt quadratische Matrix. Definition Sei A eine quadratische n n-matrix. Die Einträge a 11, a 22,..., a nn bilden die Hauptdiagonale der Matrix A. Sind nur die Hauptdiagonalelemente der Matrix A ungleich 0, dann heißt A Diagonalmatrix. Sind die Einträge von A rechts oberhalb der Hauptdiagonale sämtlich 0, dann heißt A (linke) untere Dreiecksmatrix. Sind die Einträge von A links unterhalb der Hauptdiagonale sämtlich 0, dann heißt A (rechte) obere Dreiecksmatrix.

20 G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/97 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen Definition Seien A, B zwei m n-matrizen über K und λ K ein Skalar. Dann setzen wir a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n A + B = Km n a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn als Summe der Matrizen A und B sowie λa 11 λa λa 1n λa 21 λa λa 2n λa = Km n λa m1 λa m2... λa mn als Produkt von λ mit A.

21 Matrizen als Vektorraum Satz Die Menge der m n-matrizen über K bildet mit der Addition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum der Dimension m n. Die Bedingungen an einen Vektorraum lassen sich nachrechnen. Das neutrale Element ist die Nullmatrix Die Menge {E kl : k = 1,..., m, l = 1,..., n} mit E kl K m n und eij kl = { 1, k = i und l = j, 0, sonst, i = 1,..., m, j = 1,..., n bildet eine Basis von K m n. G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/97

22 G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/97 Spalten- und Zeilenvektoren von Matrizen Definition Eine Matrix von Format m 1 heißt Spaltenvektor, eine Matrix vom Format 1 n wird Zeilenvektor genannt. Die m n-matrix A besteht in natürlicher Weise aus n Spaltenvektoren mit je m Komponenten a 1j a 2j A = ( ) a 1 a 2... a n, aj =., a mj und aus m Zeilenvektoren mit je n Komponenten a1 a2 a m j = 1,..., n A =., a i = ( ) a i1 a i2... a in, i = 1,..., m.

23 G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/97 Rang von Matrizen Definition Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix A heißt Rang der Matrix A, kurz Rang A. Satz Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix A entspricht genau Rang A. Satz Sei A K m n. Dann gilt Rang A min(m, n).

24 G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/97 Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren Definition Seien u K 1 n ein Zeilenvektor und v K n 1 ein Spaltenvektor mit jeweils n Komponenten, d. h., u = ( u 1 u 2... ) u n, v 2 v =.. v n Dann wird das Produkt uv gemäß n uv = u i v i definiert. i=1 v 1

25 G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/97 Multiplikation von Matrizen Definition Seien A K m n eine Matrix mit den Zeilenvektoren a1,..., a m und B K n p eine Matrix mit den Spaltenvektoren b 1,..., b p. Dann setzen wir c 11 c c 1p c 21 c c 2p AB = C = Km p c m1 c m2... c mp mit c ij = a i b j, i = 1,..., m, j = 1,..., p, als das Produkt der Matrizen A und B.

26 G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/97 Falk-Schema zur Matrix-Multiplikation b 11 b 1j b 1p... b n1 b nj b np a 11 a 1n.. a i1 a in.. a mn a m1 c 11 c 1j c 1p... c i1 c ij c ip... c m1 c mj c mp n c ij = a ik b kj, k=1 i = 1,..., m, j = 1,..., p

27 G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/97 Bemerkungen zur Matrix-Multiplikation Das Produkt AB der Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmt. Die Zeilenanzahl im Produkt AB entspricht der Zeilenanzahl von A, die Spaltenanzahl im Produkt ist gleich der Spaltenanzahl in B. Auch wenn die Produkte AB und BA definiert sind, müssen die Produkte nicht gleich sein. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

28 G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/97 Rechengesetze für die Matrix-Multiplikation Satz Die Matrix-Multiplikation ist assoziativ: Sind für Matrizen A, B, C die Produkte AB und BC definiert, dann sind auch (AB)C und A(BC) definiert und es gilt: (AB)C = A(BC). Satz Es gelten die Distributivgesetze A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC, vorausgesetzt, dass alle auftretenden Produkte und Summen definiert sind.

29 G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/97 Produkt von Matrix und Vektor Folgerung Seien A K m n eine Matrix über K mit den Spaltenvektoren a 1,..., a n K m und v K n ein Vektor. Dann ist n Av = a j v j K m j=1 die Linearkombination der Spaltenvektoren a 1,..., a n von A mit den Koeffizienten v 1,..., v n aus dem Vektor v.

30 G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/97 Einheitsmatrizen Definition Die Matrix E n K n n mit { 1, für i = j, e ij = 0, sonst, i, j = 1,..., n, heißt Einheitsmatrix der Dimension n. Ist die Dimension n klar, wird meist statt E n nur kurz E geschrieben. Satz Für alle x K n und alle A K n n gelten: 1. E n x = x, 2. AE n = E n A = A.

31 G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/97 Transponieren Definition Beim Transponieren einer m n-matrix A entsteht eine n m- Matrix durch das Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten in A. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Matrix A, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Die transponierte Matrix zu A wird mit A T bezeichnet. a a 11 a a a m1 1n A =......, A T a a m2 =..... a m1 a m2... a mn a 1n... a mn Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an Diagonale a 11,..., a kk mit k = min(m, n). Die Koeffizienten von A T werden durch die Koeffizienten von A beschrieben.

32 G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/97 Eigenschaften von transponierten Matrizen Satz 1. Für jede Matrix A gilt: (A T ) T = A. 2. Seien A, B zwei Matrizen, für die AB definiert ist. Dann ist auch B T A T definiert und es gilt (AB) T = B T A T. 3. Eine Diagonalmatrix stimmt mit ihrer transponierten Matrix überein. 4. Die transponierte Matrix einer rechten oberen Dreiecksmatrix ist eine linke untere Dreiecksmatrix und umgekehrt. Definition Die n n-matrix A heißt symmetrisch, wenn A T = A gilt.

33 G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/97 Lineare Gleichungssysteme Definition Ein lineares Gleichungsystem (LGS) mit m Gleichungen und n Unbekannten hat die Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,.. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m mit den Koeffizienten a ij und den Absolutgliedern b i. Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, hat sie dort den Koeffizienten 0.

34 G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/97 Matrix-Vektor-Schreibweise Für ein LGS kann auch a a 1n x 1 b =. a m1... a mn oder kurz geschrieben werden. Dabei sind Ax = b x n b m A die Koeffizientenmatrix mit den Koeffizienten a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n, x der Vektor mit den Unbekannten x j, j = 1,..., n, b der Rechte-Seite-Vektor mit den Absolutgliedern b i, i = 1,..., m.

35 G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/97 Lösungsbegriff Definition Ein LGS heißt homogen, wenn b = 0 ist. Sonst nennen wir das LGS inhomogen. Definition Ein Vektor y mit n Komponenten heißt Lösung des LGS, wenn Ay = b erfüllt ist. Bemerkung Ein homogenes LGS besitzt stets mindestens eine Lösung, nämlich den Nullvektor. Diese Lösung bezeichnet man auch als triviale Lösung.

36 G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/97 Lineare Gleichungssysteme mit 2 oder 3 Unbekannten LGS mit 2 Unbekannten x und y jede Gleichung entspricht einer Geraden in der x-y-ebene mögliche Lösungsmenge 1. Gerade schneiden sich: eindeutige Lösung 2. Geraden sind parallel, aber nicht identisch: keine Lösung 3. Geraden sind identisch: unendlich viele Lösungen LGS mit 3 Unbekannten x, y und z jede Gleichung entspricht einer Ebene im Raum mögliche Lösungsmenge 1. die Ebenen schneiden sich in einem Punkt 2. die Ebenen schneiden sich in einer Geraden 3. die Ebenen sind identisch 4. es gibt keinen Punkt, der zu allen Ebenen gehört: parallele Ebenen oder je zwei Ebenen schneiden sich, wobei die Normalenvektoren linear abhängig sind

37 G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/97 Lösungsstruktur Satz Für ein lineares Gleichungssystem tritt stets genau einer der folgenden drei Fälle auf: Das LGS besitzt keine Lösung. Das LGS besitzt genau eine Lösung. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen. Definition Die Matrix, die durch das Zusammenfassen der Koeffizientenmatrix A und des Rechte-Seite-Vektors b entsteht, wird als erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) bezeichnet, wobei b als (n+1)-te Spalte auftritt.

38 G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/97 Gaußsches Eliminationsverfahren Grundoperatoren des Gaußschen Eliminationsverfahrens Addition/Subtraktion eines Vielfachen einer Zeile von (A b) zu/von einer anderen Zeile Multiplikation einer Zeile von (A b) mit einer von 0 verschiedenen Zahl Vertauschen zweier Zeilen von (A b) Vertauschen zweier Spalten von A, wobei die entsprechenden Komponenten von x umnummeriert werden Die Grundoperationen ändern die Lösungsmenge des LGS nicht, d. h., es entstehen keine neue Lösungen, noch gehen Lösungen verloren. Zur Vermeidung von neuen Bezeichnungen wird die geänderte erweiterte Koeffizientenmatrix wieder mit (A b) bezeichnet.

39 G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/97 Eliminationsteil 1. Setze i = 1 und r = m. 2. Pivotsuche: 2.1 Gilt a ii 0, gehe zu Schritt Gibt es einen Index k mit i < k m und a ki 0, so vertausche die Zeilen i und k von (A b) und gehe zu Gibt es Indizes k und l mit i k m, i < l n und a kl 0, dann vertausche die Zeilen i und k von (A b), vertausche die Spalten i und l von A und merke die entsprechende Umnummerierung der Komponenten des Lösungsvektors. Gibt es solche Indizes k und l nicht, setze r = i 1 und gehe zum Lösbarkeitstest. 3. Elimination: subtrahiere für k = i + 1,..., m jeweils das a ki a ii - fache der i-ten Zeile von (A b) von der k-ten Zeile von (A b). 4. Falls i < m, erhöhe i um 1 und gehe zu Schritt 2.

40 G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/97 Struktur nach Eliminationsteil r m r r n Bedeutung der Symbole: : von 0 verschiedene Zahl : beliebige Zahl

41 G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/97 Lösbarkeitstest und Rücklöseteil Lösbarkeitstest Falls r < m und mindestens eine der transformierten Zahlen b r+1,..., b m von 0 verschieden ist, dann besitzt das LGS keine Lösung. Rücklöseteil 1. Falls r < n, setze für die Unbekannten x r+1,..., x n die frei wählbaren Parameter t 1,..., t n r ein 2. für i = r,..., 1 bestimme x i aus der i-ten Gleichung des LGS x i = 1 n b i a ij x j a ii j=i+1

42 G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/97 Rangkriterium Satz Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem. Dann gelten 1. Ist Rang A = Rang(A b), dann hat das lineare Gleichungssystem (mindestens) eine Lösung. 2. Ist Rang A < Rang(A b), dann ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar. 3. Sei A nun eine n n-matrix mit Rang A = n. Dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b für jeden Vektor b K n eindeutig lösbar.

43 Reguläre und inverse Matrizen Definition Sei A K n n. 1. Die Matrix A heißt regulär, wenn sie den maximalen Rang n hat. Sonst nennen wir A singulär. 2. Die Matrix A heißt invertierbar, wenn eine Matrix B K n n mit AB = E existiert. Die Matrix B heißt inverse Matrix zu A und wird mit A 1 bezeichnet. Bemerkung Gilt AA 1 = E, dann ist auch A 1 A = E erfüllt, d. h., die inverse Matrix der inversen Matrix ist wieder die Ausgangsmatrix A. G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/97

44 G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/97 Eigenschaften regulärer Matrizen Satz Eine quadratische Matrix A ist genau dann regulär, wenn sie invertierbar ist. Satz Die Inverse A 1 einer regulären Matrix A ist eindeutig bestimmt. Satz Seien A, B K n n zwei quadratische Matrizen. Das Produkt AB ist genau dann regulär, wenn A und B regulär sind. Weiterhin gilt in diesem Fall: (AB) 1 = B 1 A 1.

45 G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/97 Lineare Gleichungssysteme und inverse Matrizen Satz Seien A K n n regulär, B K n n beliebig und b K n. Dann gelten: 1. Das lineare Gleichungsystem Ax = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = A 1 b. 2. Die Matrixgleichungen AX = B und YA = B haben die eindeutig bestimmten Lösungen X = A 1 B und Y = BA 1. Ist B zudem regulär, dann sind auch X und Y regulär.

46 G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/97 Skalarprodukt und Betrag im R n Definition Auf dem Vektorraum R n werden durch x, y = x y := x T y = n x i y i i=1 das Skalarprodukt der Vektoren x, y R n und durch x = x, x = n der Betrag des Vektors x R n definiert. Ein Vektor x R n mit x = 1 heißt Einheitsvektor. i=1 x 2 i Bemerkung Der Betrag eines Vektors entspricht seiner euklidischen Länge.

47 G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/97 Skalarprodukt und Betrag im C n Definition Auf dem Vektorraum C n werden durch x n 1 x, y = x y := x T y = x i y i, x =., i=1 das Skalarprodukt der Vektoren x, y C n und durch x = x, x = n x i x i = n x i 2 i=1 der Betrag des Vektors x C n definiert. Ein Vektor x C n mit x = 1 heißt Einheitsvektor. i=1 x n

48 G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/97 Cauchy Schwarz-Ungleichung Satz Für das reelle und das komplexe Skalarprodukt gilt zusammen mit dem zugehörigen Betrag die Cauchy Schwarz-Ungleichung u, v u v für alle u, v R n bzw. u, v C n. Beispiel Für x, y R n führt die Cauchy Schwarz-Ungleichung auf ( n n ) 1/2 ( n ) 1/2 x i y i xi 2 yi 2. i=1 i=1 i=1

49 Winkel zwischen reellen Vektoren Verallgemeinerung von R 2 und R 3 auf R n Definition Für beliebige x, y R n \ {0} ist der Winkel (x, y) zwischen x und y durch x, y (x, y) = arccos x y = arccos x T y x y definiert. Nach der Cauchy Schwarz-Ungleichung gilt: x, y [ 1, 1]. x y Da arccos von [ 1, 1] nach [0, π] abbildet, gilt (x, y) [0, π]. G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/97

50 G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/97 Orthogonal- und Orthonormalsysteme Definition Zwei Vektoren x, y R n heißen orthogonal, wenn x y = x T y = 0 gilt. In diesem Fall sagen wir auch, dass x und y senkrecht aufeinander stehen. Definition Die k Vektoren v 1,..., v k R n \{0} bilden ein Orthogonalsystem, wenn sie paarweise orthogonal sind, d. h., wenn v i v j = v T i v j = 0 für i j gilt. Gilt zusätzlich v i = 1, i = 1,..., k, dann sprechen wir von einem Orthonormalsystem.

51 Orthogonalisierungsverfahren benannt nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt Gegeben: R n oder C n mit Skalarprodukt, und Betrag k linear unabhängige Vektoren v 1,..., v n Algorithmus: 1. setze e 1 = v 1 v 1 2. für r = 2,..., k setze r 1 ẽ r = v r v r, e i e i und normiere e r = i=1 ẽr ẽ r G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/97

52 G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/97 Eigenschaften des Orthogonalisierungsverfahrens Satz Die Vektoren e 1,..., e k, die sich aus dem Orthogonalisierungsverfahren ergeben, bilden ein Orthonormalsystem. Weiterhin gilt Span(v 1,..., v k ) = Span(e 1,..., e k ). Bemerkung Wird das Orthogonalisierungsverfahren auf k linear abhängige Vektoren angewendet, dann ergibt sich ẽ r = 0 für ein r und der Vektor v r ist als Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r 1 darstellbar. Lässt man alle Vektoren v i weg, bei denen sich ẽ i = 0 ergibt, dann bilden die s entstehenden Vektoren w 1,..., w s eine Orthogonalsystem mit Span(v 1,..., v k ) = Span(w 1,..., w s ).

53 G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/97 Spezielle Matrizen Definition Eine reelle Matrix A R n n mit A T A = E n heißt orthogonal. Satz Seien Q eine orthogonale n n-matrix und x, y R n. Dann gilt: 1. Q 1 = Q T. 2. Je zwei verschiedene Spalten von Q sind orthogonal. 3. Der Betrag jedes Spaltenvektors von Q ist Qx = x (Längentreue) 5. (Qx, Qy) = (x, y) (Winkeltreue)

54 G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/97 Affine Abbildung Definition Seien A R n n eine Matrix und b R n ein Vektor. Die Abbildung F : R n R n, x Ax + b wird affine Abbildung auf R n genannt. Ist b = 0, dann heißt die Abbildung F linear. Bemerkung Ist die Matrix A einer affinen Abbildung F invertierbar, dann existiert die Umkehrabbildung F 1 : R n R n. Die Abbildungsvorschrift ist durch F 1 (x) = A 1 (x b) = A 1 x A 1 b gegeben. Somit ist auch die Umkehrabbildung affin. Im Falle einer linearen Abbildung, ist auch die Umkehrabbildung linear.

55 G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/97 Anwendung von affinen Abbildungen Voraussetzung: A R n n ist regulär Folgerung: Spalten von A bilden eine Basis des R n Abbildung F rechnet die Koordinaten x bezüglich der Spaltenvektoren von A im Koordinatensystem mit Ursprung b in die Koordinaten a bezüglich der kanonischen Basis e 1,..., e n um 6 4 v 2 a ( ) ( ) 1 1 x =, b = 2 1 A = ( ) v 1 v 2 2 b v a = F (x) = Ax + b = ( ) ( ) 1 v 1 v ( ) 1 1

56 G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/97 Drehmatrizen Definition Sei ϕ R ein Winkel. Dann heißt die Matrix ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) D ϕ = sin(ϕ) cos(ϕ) Drehmatrix mit Drehwinkel ϕ. Eigenschaften Die Spalten von D ϕ sind orthogonal. Es gilt D 1 ϕ = D ϕ.

57 G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/97 Determinante I Ziel Ordne jeder quadratischen Matrix A K n n so eine Zahl aus K zu, dass sich genau dann 0 ergibt, wenn die Matrix nicht regulär ist. Definition Sei A K 2 2 eine Matrix. Dann definieren wir det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 als Determinante von A. Bemerkung Ist A K 2 2 nicht regulär, dann ist eine Spalte von A das Vielfache der anderen. Somit ergibt sich det A = 0.

58 G. Matthies Grundlagen Mathematik 58/97 Determinante II Definition Sei A K 3 3. Dann setzen wir a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = [a 1, a 2, a 3 ] als die Determinante von A, wobei [a 1, a 2, a 3 ] = (a 1 a 2 ) a 3 das Spatprodukt der Spaltenvektoren a 1, a 2 und a 3 von A ist.

59 G. Matthies Grundlagen Mathematik 59/97 Regel von Sarrus Bemerkung Die Determinante von A K 3 3 kann mittels a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 berechnet werden. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ( a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

60 G. Matthies Grundlagen Mathematik 60/97 Entwicklungssatz Satz Sei A K 3 3. Dann gilt a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( ) ( ) a22 a = a 11 det 23 a12 a a a 32 a 21 det a 32 a 33 ( ) a12 a + a 31 det 13 a 22 a 23

61 G. Matthies Grundlagen Mathematik 61/97 Streichungsmatrix Definition Sei A K n n eine n n-matrix. Die Matrix vom Format (n 1) (n 1), die durch das Streichen der i-ten Zeile und der j-spalte von A entsteht, wird als Streichungsmatrix A ij bezeichnet. A ij = a 11 a 1j a 1n... a i1 a ij a in... a n1 a nj a nn

62 G. Matthies Grundlagen Mathematik 62/97 Determinante III Definition Sei A K n n, n 2, eine quadratische Matrix. Dann wird durch n det A = ( 1) i+1 a i1 det A i1 i=1 und die Definitionen für 2 2- und 3 3-Matrizen die Determinante von A erklärt. Bemerkung Die obige Berechnungsvorschrift wird Entwickeln nach der ersten Spalte genannt.

63 G. Matthies Grundlagen Mathematik 63/97 Entwicklungssatz nach Laplace Satz Sei A eine n n-matrix. Dann liefern die Entwicklung nach der k-spalte gemäß n ( 1) i+k a ik det A ik i=1 die Entwicklung nach der l-ten Zeile gemäß n ( 1) l+j a lj det A lj j=1 jeweils die Determinante von A.

64 G. Matthies Grundlagen Mathematik 64/97 Eigenschaften von Determinanten Satz Für jede quadratische Matrix A ist det A T = det A erfüllt. Satz Die Determinanten von oberen und unteren Dreiecksmatrizen ergeben sich als Produkt der Hauptdiagonalelemente.

65 G. Matthies Grundlagen Mathematik 65/97 Rechenregeln für Determinanten Seien A K n n mit den Spaltenvektoren a 1,..., a n und λ K gegeben. Dann gelten Ausklammern eines Skalars det ( a 1 λa k a n ) = λ det ( a1 a k a n ) Nullspalte 2 gleiche Spalten det ( a 1 a i 1 0 a i+1 a n ) = 0 det ( a a ) = 0 Vertauschen von Spalten det ( a 1 a k a l a n ) = det ( a1 a l a k a n ) Addition/Subtraktion von Vielfachen det ( a k a l + λa k ) det ( a k a l ) Analoge Rechenregeln gelten für Zeilen.

66 G. Matthies Grundlagen Mathematik 66/97 Weitere Eigenschaften von Determinanten Satz Sei A eine n n-matrix. Dann gelten: Satz Alle n Spalten von A sind genau dann linear unabhängig, wenn det A 0 gilt. Die Matrix A ist genau dann regulär, wenn det A 0 erfüllt ist. Seien A, B zwei n n-matrizen. Dann gilt: Ist A regulär, dann ist erfüllt. det(ab) = det A det B. det A 1 = 1 det A

67 G. Matthies Grundlagen Mathematik 67/97 Berechnung von inversen Matrizen I Satz Sei A eine reguläre n n-matrix. Dann lässt sich die inverse Matrix A 1 von A in der Form ( 1) 1+1 det A 11 ( 1) 1+n T det A 1n A 1 = 1. det A.... ( 1) n+1 det A n1 ( 1) n+n det A nn darstellen, was aber nur für kleine n praktikabel ist. Folgerung Für eine reguläre 2 2-Matrix ergibt sich A 1 = 1 ( ) ( ) a22 a 12 1 a22 a = 12. det A a 21 a 11 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11

68 G. Matthies Grundlagen Mathematik 68/97 Berechnung von inversen Matrizen II gegeben: Gesucht: reguläre Matrix A R n n inverse Matrix A 1 Idee: Bestimme die Lösungen der linearen Gleichungssysteme Ax i = e i, i = 1,..., n, mit den kanonischen Einheitsvektoren e 1,..., e n R n. Die Matrix, die aus Spaltenvektoren x 1,..., x n gebildet wird, ist die gesuchte inverse Matrix zu A. Praxis: Wende die Grundoperationen des Gaußschen Eliminationsverfahrens auf die erweiterte Matrix (A E) so an, dass (E X ) entsteht, wobei E die n n-einheitsmatrix ist. Die Matrix X ist dann gerade A 1.

69 G. Matthies Grundlagen Mathematik 69/97 Motivation lineare Abbildung F : R n R n mit F (x) = Ax Welche Vektoren x R n werden auf Vielfache von sich angebildet, d. h., für welche Vektoren x R n gibt es ein λ R derart, dass gilt? Ax = λx offensichtlich: F (0) = A0 = λ0 für alle λ R Für die Matrix ( ) 0 1 A = 1 0 gibt es außer dem Nullvektor keinen weiteren Vektor, der Ax = λx mit λ R erfüllt.

70 G. Matthies Grundlagen Mathematik 70/97 Eigenwert Definition Sei A K n n eine reelle oder komplexe Matrix. Eine komplexe Zahl λ heißt Eigenwert der Matrix A, wenn es einen reellen oder komplexen Vektor x 0 mit Ax = λx gibt. In diesem Fall wird x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ genannt. Satz Sei A eine n n-matrix. Die Zahl λ C ist genau dann Eigenwert von A, wenn det(a λe n ) = 0 gilt.

71 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/97 Charakteristisches Polynom Definition Sei A K n n. Die Funktion χ A : K K mit χ A (λ) = det(a λe n ) heißt charakteristisches Polynom von A. Satz Das charakteristische Polynom χ A der Matrix A K n n besitzt stets den Grad n. Bemerkung Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ A sind die Eigenwerte von A.

72 G. Matthies Grundlagen Mathematik 72/97 Vielfachheit von Eigenwerten Bemerkung Da reelle Polynome auch komplexe Nullstellen haben können, betrachten wir ab jetzt K = C. Definition Die Vielfachheit der Nullstelle wird als algebraische Vielfachheit des Eigenwerts bezeichnet. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für einen Eigenwert nennen wir geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Satz Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer größer oder gleich der geometrischen Vielfachheit.

73 G. Matthies Grundlagen Mathematik 73/97 Eigenschaften Bemerkung Unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit hat jede reellen oder komplexe n n-matrix genau n komplexe Eigenwerte. Satz Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig. Satz Die Matrix A ist genau dann singulär, wenn λ = 0 Eigenwert von A ist.

74 G. Matthies Grundlagen Mathematik 74/97 Eigenschaften der Eigenwerte Definition Sei A eine n n-matrix. Die Summe der Hauptdiagonalelemente wird Spur der Matrix A genannt. Wir schreiben kurz n Spur A = k=1 a kk Satz Sei A eine n n-matrix. Die Summe alle Eigenwerte unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit ist gleich der Spur der Matrix A. Das Produkt aller Eigenwerte unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit entspricht der Determinante von A.

75 G. Matthies Grundlagen Mathematik 75/97 Eigenwerte spezieller Matrizen Bei Dreiecksmatrizen entsprechen die Hauptdiagonalelemente den Eigenwerten. Ist λ ein Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit m, so ist λ+µ ein Eigenwert von A+µE mit der algebraischen Vielfachheit m, wobei E die Einheitsmatrix ist. Ist λ Eigenwert von A, so ist λ m Eigenwert von A m, wobei ist. A m = A A }{{} m-mal Die Matrizen A und A T besitzen das gleiche charakteristische Polynom und damit gleiche Eigenwerte. Seien A eine reguläre Matrix und λ ein Eigenwert von A. Dann ist 1/λ Eigenwert von A 1.

76 G. Matthies Grundlagen Mathematik 76/97 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Gegeben: n n-matrix A 1. charakteristisches Polynom χ aufstellen 2. Nullstellen von χ bestimmen 3. algebraische Vielfachheit der Eigenwerte ablesen 4. Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösung von ermitteln (A λe)x = 0 5. geometrische Vielfachheit ablesen

77 G. Matthies Grundlagen Mathematik 77/97 Ähnlichkeit Definition Seien A K n n eine beliebige Matrix und C K n n eine reguläre Matrix. Dann heißen die Matrizen C 1 AC und A zueinander ähnlich oder durch eine Ähnlichkeitstransformation auseinander hervorgegangen. Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Satz Seien A und B = C 1 AC zwei zueinander ähnliche Matrizen. Dann stimmen die charakteristischen Polynome χ A und χ B überein. Ist v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann ist C 1 v Eigenvektor von B = C 1 AC zum Eigenwert λ.

78 G. Matthies Grundlagen Mathematik 78/97 Eigenschaften symmetrischer Matrizen reelle symmetrische Matrix A R n n A hat nur reelle Eigenwerte. Für jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Es gibt eine orthogonale Matrix Q mit Q T AQ = diag(λ 1,..., λ n ), wobei λ 1,..., λ n die Eigenwerte von A sind und die i-te Spalte von Q einem normierten Eigenvektor zu λ i entspricht. Damit ist jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar.

79 G. Matthies Grundlagen Mathematik 79/97 Definitheit von symmetrischen Matrizen Definition Die reelle symmetrische n n-matrix A heißt positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind, positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte positiv oder 0 sind, negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind, negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte negativ oder 0 sind, indefinit, wenn A positive und negative Eigenwerte hat.

80 G. Matthies Grundlagen Mathematik 80/97 Kegelschnitte gegeben: Doppelkegel z 2 = x 2 + y 2 Ebene ax + by + cz = d Gesucht: Schnittkurve von Doppelkegel und Ebene

81 Ellipse als Kegelschnitt G. Matthies Grundlagen Mathematik 81/97

82 Parabel als Kegelschnitt G. Matthies Grundlagen Mathematik 82/97

83 Hyperbel als Kegelschnitt G. Matthies Grundlagen Mathematik 83/97

84 G. Matthies Grundlagen Mathematik 84/97 Ellipse Definition Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F 1 und F 2 konstant ist. P F 1 F 2

85 G. Matthies Grundlagen Mathematik 85/97 Parabel Definition Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, deren Abstand zum Brennpunkt F gleich dem Abstand zur Leitlinie g ist. g F

86 G. Matthies Grundlagen Mathematik 86/97 Hyperbel Definition Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten F 1 und F 2 konstant ist. P F 1 F 2

87 G. Matthies Grundlagen Mathematik 87/97 Normalformen der Kegelschnitte Ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Parabel x 2 = 2py oder y 2 = 2px Hyperbel x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 oder y 2 b 2 x 2 a 2 = 1

88 G. Matthies Grundlagen Mathematik 88/97 Quadratische Form Definition Ein Ausdruck der Form n q(x) = α ij x i x j i,j=1 mit x R n und α ij R, i, j = 1,..., n, heißt quadratische Form. Bemerkung Wenn die Matrix A = (a ij ) gemäß a ij = α ij + α ji, i, j = 1,..., n, 2 definiert wird, dann lässt sich die quadratische Form als q(x) = x T Ax schreiben, wobei A symmetrisch ist.

89 G. Matthies Grundlagen Mathematik 89/97 Hauptachsentransformation Seien A R n n eine symmetrische Matrix und q(x) = x T Ax die zugehörige quadratische Form. Da A reell und symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix Q mit Q T AQ = D = diag(λ 1,..., λ n ), wobei λ 1,..., λ n die Eigenwerte von A sind und die i-te Spalte von Q aus dem normierten Eigenvektor von A zum Eigenwert λ i besteht. Mit der Substitution x = Qy lässt sich eine neue quadratische Form ˆq durch n ˆq(y)=q(Qy)=(Qy) T A(Qy)=y T Q T AQy =y T Dy = λ i yi 2 definieren. i=1

90 G. Matthies Grundlagen Mathematik 90/97 Hauptachsen Definition Seien A eine reelle symmetrische Matrix und Q eine orthogonale Matrix mit Q T AQ = diag(λ 1,..., λ n ). Die orthonormalen Spalten von Q werden als Hauptachsen der quadratischen Form q(x) = x T Ax bezeichnet. Bemerkung Die Hauptachsentransformation transformiert die kanonischen Einheitsvektoren e 1,..., e n auf die Hauptachsen der quadratischen Form. Bemerkung Bis auf Reihenfolge und Orientierung sind die Hauptachsen einer quadratischen Form eindeutig bestimmt.

91 G. Matthies Grundlagen Mathematik 91/97 Quadrik Definition Seien A R n n eine reelle symmetrische Matrix, b R n ein reeller Vektor und c R eine reelle Zahl. Dann wird { x R n : q(x) = x T Ax + b T x + c = 0 } als Quadrik im R n bezeichnet. Die Normalformen der Kegelschnitte lassen sich als Quadriken im R 2 auffassen. Für die Ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 gilt 1 ( ) x y a b 2 ( ) x + ( 0 0 ) ( ) x + ( 1) = 0. y y

92 G. Matthies Grundlagen Mathematik 92/97 Transformation einer Quadrik auf Normalform I 1. Hauptachsentransformation Bestimme eine orthogonale Matrix Q mit Q T AQ = D = diag(λ 1,..., λ n ). Setze Substitution x = Qy in die Quadrik q ein. Es entsteht die neue Quadrik mit ˆq(y) = q(qy) = y T Dy + d T y + c = 0 d = Q T b oder d T = b T Q. Im Folgenden seien die Eigenwerte von A stets so nummeriert, dass λ 1,..., λ r von 0 verschieden sind und λ r+1 = = λ n = 0 gilt. Dann hat ˆq die ausführliche Form ˆq(y) = r i=1 λ i y 2 i + n d i y i + c i=1

93 G. Matthies Grundlagen Mathematik 93/97 Transformation einer Quadrik auf Normalform II 2. Quadratische Ergänzung neue Variablen z 1,..., z n gemäß y j, falls λ j = 0, z j = y j + d j, falls λ j 0, 2λ j festlegen. Einsetzen in Quadrik ˆq liefert r n λ i zi 2 + d i z i + e = 0, i=1 i=r+1 j = 1,..., n, e = c r i=1 d 2 i 4λ i

94 G. Matthies Grundlagen Mathematik 94/97 Transformation einer Quadrik auf Normalform III 3. Behandlung des Absolutterms Ist einer der Koeffizienten d r+1,..., d n von 0 verschieden, sagen wir d s, dann führt die Substitution auf die Form w s = z s + e d s, w j = z j, j s r i=1 λ i w 2 i + n i=r+1 d i w i = 0 Gilt d r+1 = = d n = 0, dann verbleibt r λ i zi 2 + e = 0 Bemerkung i=1 Die Transformation einer Quadrik auf Normalform entspricht einer affinen Koordinatentransformation von x auf z bzw w.

95 G. Matthies Grundlagen Mathematik 95/97 Quadriken im R 2 : Normalformen I beide Eigenwerte λ 1, λ 2 von A sind von 0 verschieden: λ 1, λ 2 haben gleiches Vorzeichen Ellipse mit den Halbachsen a und b x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 leere Menge x 2 a 2 + y 2 b = 0 Punkt (0, 0) x 2 + a 2 y 2 = 0

96 G. Matthies Grundlagen Mathematik 96/97 Quadriken im R 2 : Normalformen II beide Eigenwerte λ 1, λ 2 von A sind von 0 verschieden: λ 1, λ 2 haben unterschiedliches Vorzeichen Hyperbel Geradenpaar y = ± x a x 2 a 2 y 2 b 2 1 = 0 x 2 a 2 y 2 = 0

97 G. Matthies Grundlagen Mathematik 97/97 Quadriken im R 2 : Normalformen III ein Eigenwert von A ist ungleich 0, der andere ist 0 Parabel x 2 2py = 0, p 0, Paar paralleler Geraden x = ±a x 2 a 2 = 0, a 0, leere Menge x 2 + a 2 = 0, a 0, Gerade x = 0 x 2 = 0