GeoGebra dynamische Geometrie und Algebra

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1 GeoGebra dynamische Geometrie und Algebra von Markus Hohenwarter Dynamische Geometrie-Systeme Die synthetische Elementargeometrie der Ebene lässt sich mit Computerwerkzeugen, den so genannten dynamischen Geometrie-Systemen (DGS), sehr anschaulich und effektiv betreiben (vgl. [8], [9], [10]). Beispiele für solche Systeme sind Cabri géomètre II+ ( Cinderella ( DynaGeo ( The Geometer s Sketchpad ( Geonext ( und Zirkel und Lineal ( In diesen Werkzeugen können mittels Maus geometrische Figuren konstruiert und dynamisch verändert werden. Dabei bleiben die Lagebeziehungen der geometrischen Objekte (z.b. senkrecht oder parallel ) erhalten. Als Objekte sind Punkte, Geraden, Kreise und meistens die Kegelschnitte und auch Funktionsgraphen erzeugbar. Gewöhnlich ist in Dynamischen Geometrie-Systemen auch die analytische Betrachtung der Objekte möglich, indem Koordinaten oder Gleichungen bezüglich eines Koordinatensystems angezeigt werden können. Umgekehrt kann der Benutzer aber diese Koordinaten und Gleichungen nicht eingeben, um sie grafisch darzustellen und auch nicht direkt verändern, um die betreffende grafische Veränderung zu beobachten. Computeralgebra-Systeme Für die Behandlung der analytischen Geometrie bieten sich Computeralgebra-Systeme (CAS) an (vgl. [1], [2]). Prominente Vertreter sind Derive, Maple und Mathematica. In diesen Werkzeugen kann man die Koordinaten und Gleichungen der geometrischen Objekte (Punkte, Geraden, Kegelschnitte usw.) visualisieren, d.h. grafisch darstellen und die Auswirkung der Veränderung an den algebraischen Objekten an den betreffenden geometrischen Objekten beobachten. Diese grafischen Darstellungen, so genannte Plots, können leider nicht direkt mit der Maus verändert werden. Die Eingabe der algebraischen Objekte gestaltet sich jedoch nicht immer einfach, da die Syntax der Systeme oft nur wenig mit der Schulnotation gemeinsam hat. Computeralgebrasysteme können unter anderem algebraische Gleichungssysteme lösen und so beispielsweise die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte ermitteln. Die Darstellung impliziter Funktionen, etwa entsprechende Gleichungen von Geraden und Kegelschnitten ist prinzipiell möglich. Computeralgebrasysteme sind zwar sehr mächtige allgemeine Werkzeuge, die jedoch im Bereich der analytischen Geometrie keine direkte dynamische Variation zulassen. GeoGebra Es wäre vorteilhaft, ein Werkzeug zu haben, das synthetische und analytische Geometrie dynamisch miteinander verbindet. In [8] befindet sich ein erster Hinweis auf eine solche Kombination von DGS und CAS. Für Geraden und Ebenen wurde dies wohl erstmals in dem Werkzeug 3D-Geometer [6] durchgeführt. Diese Grundidee wird durch das im folgenden beschriebene Werkzeug GeoGebra [5] (von Geometrie und Algebra) auf Kegelschnitte ausgedehnt und adäquat softwaretechnisch realisiert. Geometrie und Algebra treten partnerschaftlich auf (vgl. [4]). 1

2 Einerseits ist GeoGebra ein dynamisches Geometrie-System. Direkt interaktiv können Punkte, Vektoren, Geraden und Kegelschnitte konstruiert und durch Ziehen dynamisch verändert werden. Neben Kreisen werden auch Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln und die uneigentlichen Kegelschnitte unterstützt. Die Konstruktionen von Polaren und Tangenten sind ebenfalls Grundfunktionen. Auf die geometrischen Konstruktionen in Geogebra gehen wir hier nicht näher ein, da sie im Prinzip wie in anderen DGS funktionieren. Andererseits kann man in GeoGebra algebraische Gleichungen und Koordinaten direkt eingeben. GeoGebra kennt implizite und explizite Geraden- und Kegelschnittsgleichungen, Parameterdarstellungen von Geraden sowie Polar- und kartesische Koordinaten von Punkten und Vektoren. Da mit Zahlen, Winkeln, Vektoren, Punkten, Geraden und Kegelschnitten gerechnet werden kann, funktioniert GeoGebra auch wie ein numerisches Computeralgebra-System. Darüber hinaus bietet GeoGebra eine Vielzahl an geometrischen Befehlen: So liefern etwa die Befehle, und den Mittelpunkt, die Brennpunkte und Scheitel eines Kegelschnitts c. Weitere Beispiele sind die Steigung, der Richtungsvektor und der Normalvektor einer Geraden g (,, ), die Hauptachsen und die Durchmessergerade eines Kegelschnitts (, ), oder die Leitlinie und der Parameter einer Parabel ( ). GeoGebra ist in der plattformunabhängigen Programmiersprache Java geschrieben. Damit ist die Software problemlos unter Windows, Linux, MacOS X und Unix lauffähig. Außerdem ist es möglich Geogebra direkt über einen Internet Browser (z.b. Internet Explorer, Netscape) zu starten. (Es ist geplant, die Java WebStart Technologie zu verwenden. Dabei wird das Programm bei der ersten Benutzung lokal installiert, danach immer vom eigenen Rechner gestartet und neue Versionen automatisch aus dem Internet geholt. Dies ist besonders für die Verwendung in Schulen von Vorteil, da neue Versionen nicht extra auf jedem Rechner installiert werden müssen.) GeoGebra basiert auf reeller projektiver und euklidischer Geometrie. Parser, Polynomvereinfachung und geometrische Algorithmen sind vom Autor selbst geschrieben und damit aus einem Guss. Um kontinuierliche Bewegungen zu erreichen und springende Objekte zu vermeiden, verwendet GeoGebra einen aufwendigen heuristischen Ansatz der Nähe-Beziehung [7, pp.163]. Die Möglichkeit der algebraischen Eingabe führt aber in natürlicher Weise zu nichtkontinuierlichem Verhalten. GeoGebra ist das Ergebnis der Diplomarbeit des Autors, die bei Prof. Karl Fuchs am Institut für Didaktik der Naturwissenschaften der Universität Salzburg verfasst wurde. Das Programm wurde mit dem renommierten European Academic Software Award (EASA 2002, Ronneby, Schweden) ausgezeichnet. GeoGebra ist übrigens mehrsprachig und unterstützt momentan Englisch und Deutsch. 2

3 Beispiel 1: Kreis und Gerade Bei der Entwicklung wurde großes Augenmerk auf die einfache Bedienbarkeit der Software gelegt, um bei Schülern die Lust am mathematischen Experimentieren zu wecken. Koordinaten und Gleichungen können daher sehr einfach in Schulnotation eingegeben werden. Ein Beispiel dazu: Die Gerade g und der Kreis k sollen geschnitten werden. Ihre Gleichungen sind im Schulbuch als!"#$% und &!'() &#!*'($*+ angegeben und genau so tippt man sie auch in die Eingabezeile von GeoGebra. Ein weiterer Klick genügt, um die Schnittpunkte zu ermitteln (Abb. 1). Abb. 1: Kreis und Gerade Durch Klicken und Ziehen kann die Gerade anschließend mit der Maus verschoben und aus der Sekante eine Tangente oder Passante gemacht werden. Dabei verändern sich auch die Koordinaten der Schnittpunkte und die Gleichung der Geraden dynamisch. Es drängt sich die Frage auf, was sich denn da an der Geradengleichung ändert. GeoGebra erlaubt es uns, Gleichungen auf verschiedene Arten darzustellen (Abb. 2). Abb. 2: Verschiedene Darstellungsarten von Gleichungen 3

4 So können wir von der impliziten zur expliziten Darstellung wechseln. In dieser erkennt man schnell, dass sich an der Gleichung y = k x + d nur d, also der Abschnitt auf der y- Achse, ändert und die Steigung k gleich bleibt. Diesem geometrischen Experiment könnte nun ein algebraisches folgen, indem die Schüler etwa die Steigung der Geraden durch direkte Veränderung ihrer Gleichung beeinflussen. Die geometrischen Auswirkungen der Änderung solcher Parameter zeigen sich sofort im Geometriefenster und ermöglichen einen spielerischen Zugang. Beispiel 2: Streckenteilung und Parameterdarstellung Dieses einfache Beispiel soll zeigen, wie man in GeoGebra mit Zahlen, Vektoren und Punkten rechnen kann. Eine Strecke AB sei im Verhältnis 7 : 3 zu teilen. Nach der Festlegung unserer Punkte $&,*-.' und $&-' gibt es zur Lösung dieser Aufgabe mehrere Möglichkeiten. Die direkteste ist /$)01.2&,'. Wir könnten aber auch zunächst den Verbindungsvektor von A und B einführen, $3 -, und dann /$)01.2 berechnen. Verallgemeinern wir nun die Aufgabe, indem wir das Teilungsverhältnis nicht mit 7/10 fix vorgeben, sondern eine Variable t dafür einführen, und fassen zusammen: $240 $3 - /$) Durch Markieren von t im Algebrafenster und Gedrückthalten der + oder Taste können wir die Werte von t schnell verändern und damit Animationen erzeugen. Der Punkt T wandert dabei auf einer Geraden durch A und B. Mit diesen Überlegungen kommt man unmittelbar zur Parameterdarstellung dieser Geraden (Abb. 3), deren Eingabe in GeoGebra denkbar einfach ist: 5$). Beim Ziehen von A oder B mit der Maus ändern sich der Teilungspunkt T, der Richtungsvektor v und die Gerade g dynamisch unter Beibehaltung der angegebenen Beziehungen. Abb. 3: Streckenteilung und Parameterdarstellung 4

5 Beispiel 3: Gleichungen von Kegelschnitten und Geraden Jeder Kegelschnitt lässt sich durch eine quadratische Gleichung der Form ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 beschreiben. GeoGebra kann beliebige quadratische Polynome in x und y verarbeiten. Ob eine Ellipse als 6 ().7#($.""- (1.7)#(16$.8 & '($."",&"#'( eingegeben wird, ist völlig unerheblich. Alle diese Eingaben werden intern durch symbolische Polynomvereinfachung auf die Normalform 9x² + 16y² = 0 gebracht. Danach wird der Kegelschnitt klassifiziert und als Ellipse erkannt. Nicht jede quadratische Gleichung ist aber ein echter Kegelschnitt. Der vermeintliche Kegelschnitt &,'($ (,7,#).* entpuppt sich nach Vereinfachung zur Normalform als die Gerade #$.. Dieses Erkennen von Kegelschnitten und Geraden unterscheidet GeoGebra wesentlich von Systemen, die Gleichungen oder Funktionen nur plotten können (z.b. Computeralgebrasysteme oder Geonext). GeoGebra weiß nämlich, um welches geometrische Objekt es sich bei einer Gleichung handelt. Damit ist dieses Objekt natürlich auch für alle geometrischen Befehle und Konstruktionen verwendbar, also etwa um die Tangenten an eine Ellipse zu erzeugen. Beispiel 4: Die Gleichung a x² + b y² = c Besonders interessant ist die Untersuchung von Gleichungen mit veränderbaren Koeffizienten. Betrachten wir dazu folgende Aufgabe: Gegeben ist die Gleichung a x² + b y² = c, wobei a, b, c reelle Zahlen sind. Gib Bedingungen für a, b und c an, sodass die Gleichung eine Ellipse mit horizontaler bzw. vertikaler Hauptachse (in 1. und 2. Hauptlage) beschreibt. Anhand dieses Beispiels lassen sich die Experimentiermöglichkeiten mit GeoGebra sehr gut illustrieren. Ein Schüler, der die Ellipsengleichung in Hauptlage noch nicht kennt, wird diesem Beispiel zunächst ziemlich hoffnungslos gegenüber stehen. Mit Hilfe von GeoGebra kann er durch Ausprobieren ein Gefühl für die Koeffizienten bekommen. Dabei braucht er nur zu wissen, wie eine Ellipse in 1. und 2. Hauptlage aussehen soll, um zu entscheiden, welche Koeffizienten das gewünschte Resultat liefern. Aufgrund von Experimenten kann er zunächst Vermutungen anstellen und diese sofort grafisch überprüfen. Dadurch ist es leichter möglich, zu einer allgemeinen Aussage zu kommen. Wie könnte so ein Experiment in GeoGebra aussehen? Legen wir zunächst irgendwelche Werte für die Koeffizienten a, b und c fest. Seien etwa $., 9$. und $.. Nun geben wir die zu untersuchende Gleichung ()9#($ ein. Es erscheint der Kreis ()#($. am Bildschirm. Bei Bewegung des Mauszeigers über den Kreis oder seine Gleichung erhalten wir von GeoGebra die Auskunft, dass es sich tatsächlich um einen Kreis handelt. Nun verändern wir durch Eingabe von beispielsweise 9$* einen der Koeffizienten und der Kreis wird zu einer Ellipse (Abb. 4). Durch Markieren eines Koeffizienten im Algebrafenster und Gedrückthalten der + oder Taste können wir die Werte schnell verändern und damit Animationen erzeugen. Auf diese Art und Weise kann man eine Menge über diese einfache Gleichung herausfinden: Für a, b, c > 0 oder a, b, c < 0 erhält man Ellipsen. Die Ellipsen in erster Hauptlage haben a < b und jene in zweiter Hauptlage a > b. Im Fall a = b entstehen Kreise. Genauso könnte man sich nun fragen, wann Hyperbeln in erster und zweiter Hauptlage entstehen. 5

6 In GeoGebra kommen die in der Schule eher vernachlässigten uneigentlichen Kegelschnitte natürlich und selbstverständlich ins Spiel. Für a = 0 und b = 0 entsteht jeweils ein paralleles Geradenpaar (Abb. 5). Abb. 4: Ellipse x² + 2.6y² = 2.9 Der Koeffizient c hängt mit der Größe des Kegelschnitts zusammen. Macht man ihn immer kleiner, so schrumpft eine Ellipse schließlich für c = 0 zu einem Punkt und aus einer Hyperbel wird ein schneidendes Geradenpaar (Abb. 6, vgl. [3]). Wenn neben c = 0 auch noch a = 0 oder b = 0 ist, dann erhält man die Doppelgerade x² = 0 bzw. y² = 0. In unserem einfachen Experiment kommen damit sämtliche uneigentlichen Kegelschnitte vor: Punkt, paralleles und schneidendes Geradenpaar sowie die Doppelgerade. Auch die leere Lösungsmenge der Gleichung, wenn c ein anderes Vorzeichen wie a und b hat, wird zum Thema. Abb. 5: Paralleles Geradenpaar x² =

7 Abb. 6: Schneidendes Geradenpaar x² - 2.1y² = 0 Auf ähnliche Art und Weise können natürlich auch die Koeffizienten anderer Gleichungen untersucht werden, wie z.b.: implizite und explizite Geradengleichung: a x + b y = c und y = k x + d Kreisgleichung: (x m)² + (y n)² = r² Ellipsen- und Hyperbelgleichung in Hauptlage: b² x² ± a² y² = a² b² Parabelgleichungen y² = 2px und x² = 2py Beispiel 5: Ortsliniendefinition der Parabel Die eigentlichen Kegelschnitte lassen sich in GeoGebra auch über ihre Ortsliniendefinitionen angeben. Beispielsweise ist eine Parabel die Menge aller Punkte, welche vom Brennpunkt F und der Leitlinie l den gleichen Abstand haben. Wir geben zunächst den Brennpunkt :$&.-2' und die Leitlinie #$,. an. Nach Eingabe des Befehls par = 9:-erscheint die Parabel par : #(," $2 am Bildschirm. Mit der Maus können wir den Brennpunkt F und die Leitlinie l verschieben und dabei die Veränderung der Parabel beobachten. Je näher der Brennpunkt der Leitlinie kommt, desto schmaler wird die Parabel. Kommt der Brennpunkt auf der Parabel zu liegen, wird die Parabel zu einer Doppelgeraden. Brennpunkt und Leitlinie lassen sich auch algebraisch durch Eingabe der Koordinaten bzw. Geradengleichung verändern. Bei allen diesen Veränderungen beobachten wir die Gleichung der Parabel. Diese Gleichung können wir aber nicht verändern, da sie vom Brennpunkt und der Leitlinie abhängt. Es gibt aber eine einfache Möglichkeit, um auch mit dieser Gleichung zu experimentieren: man erstellt eine Kopie der Parabel, indem man sie einer neuen Variable zuweist: * $. Die Parabel par2 können wir nun mit der Maus verschieben und ihre Gleichung direkt abändern. Durch solche Experimente lässt sich auch hier ein Gefühl für die Koeffizienten der Parabelgleichung bekommen (Abb. 7). 7

8 GeoGebra bietet auch entsprechende Befehle für die Ortsliniendefinition von Ellipse und Hyperbel. Abb. 7: Parabel par mit Brennpunkt F und Leitlinie l Weiterentwicklung und Verfügbarkeit Die Weiterentwicklung von GeoGebra ist im Rahmen eines Forschungsprojekts an der Universität Salzburg geplant. GeoGebra ist zur Zeit für jedermann frei verfügbar und kostenlos nutzbar. Weitere Informationen und die aktuelle Version von GeoGebra unter: 8

9 Literatur [1] Davenport, J. H. (1994). Computer algebra - past, present and future. In: Euromath Bulletin Vol. 1, No. 2, S [2] Fuchs, Karl (1995). Computeralgebrasysteme im Unterricht - Einige konkrete Beispiele. In: Didaktik der Mathematik, H3, S [3] Fuchs, Karl (1995). Conic sections escape R². In: DERIVE-News-Letter, H19, S [4] Fuchs, Karl und Vasarhelyi, Eva (1998). Algebra und Geometrie Zwei gleichwertige Partner. Beiträge zum Mathematikunterricht, S [5] Hohenwarter, Markus (2002). GeoGebra ein Softwaresystem für dynamische Geometrie und Algebra der Ebene. Diplomarbeit, Universität Salzburg [6] Klemenz, Heinz (1994). 3D-Geometer ein interaktives Programm für computerunterstützte Raumgeometrie mit dem Macintosh. Wetzikon/Schweiz [7] [8] Kortenkamp, Ulrich (1999). Foundations of Dynamic Geometry. Dissertation, Swiss Federal Institute of Technology Zurich Schumann, Heinz (1991). Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer. Stuttgart: Teubner u. Metzler (Im Archiv von verfügbar.) [9] Sträßer, Rudolf (2002). Research on Dynamic Geometry Software (DGS) - an introduction. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(3), 65 [10] Sträßer, Rudolf (2001). Cabri-géomètre: Does a Dynamic Geometry Software (DGS) Change Geometry and its Teaching and Learning? International Journal for Computers in Mathematics Learning, 6(3), S