Technische Universität München. 1-CAS-Parabel

Transkript

1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum 8-GeoGebra-CAS-1 1-CAS-Parabel Computer-Algebra-Systeme (CAS) wurden für Termumformungen mit Ganzzahlarithmetik entwickelt. Werte können natürlich approximativ als Gleitkommazahl ausgegeben werden, vgl. x = und x. GeoGebra verbindet (ab 4.4) den Vorteil der Eingabe über ein Grafikfenster bei DGS mit der formalen Darstellung bei CAS und enthält zumindest alle schulrelevanten CAS-Befehle. So kann man z.b. den Wert für die Variable a über einen Schieberegler im Grafikfenster steuern. Man kann die Befehle in der Werkzeugleiste nach Eingabe der Terme wählen oder direkt eingeben, vgl. Zeile 2: Faktorisiere[138]. Mit dem Ergebnis aus Zeile 3 kann man unter $3 ($ & Zeilennummer) weiterarbeiten. Aufgrund der Ganzzahlarithmetik faktorisiert GeoGebra z.b. x 2 - ¼ aber nicht x 2-2, da 2 irrational ist. Beachte Im CAS-Teil ist a=5+b eine Gleichung, a:=5 setzt den Wert von a auf 5. Im DGS-Teil werden bei Eingabe von (a+b)^2 in der Eingabezeile für a und b stets Werte verlangt. Zur Diskussion einer polynomialen Funktion z.b. f(x):=x^2+a*x-2 kann man alle reellen Nullstellen durch Lösen der Gleichung f(x)=0 bestimmen, auch die Nullstellen der Ableitung f (x) und diese in P := (x,f(x)) einsetzen. Dazu setzt man: A:=Ersetze[P,$13]. Den Scheitel erhält man direkt auch als B:=Extremum[f]. Alle definierten Objekte erscheinen im Grafikfenster. Bei nichtpolynomialen Funktionen ist zur Nullstellensuche ein geeigneter Bereich anzugeben 1 / 4

2 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum 8-GeoGebra-CAS-1 2-CAS-Gleichungsumformungen & 3-CAS-Schnittpunkt Mit dem CAS-Tool von GeoGebra kann man Gleichungsumformungen durchführen. Dies soll am Beispiel der quadratischen Ergänzung zur Lösung einer quadratischen Gleichung vorgeführt werden. Gebe die Gleichung x^2 + 2bx + c = 0 ein. Zu Gleichungsumformungen setzt man die Gleichung in Klammer ($1) und die gewünschte Umformung dahinter, vgl. Zeile 3 und Zeile 6. Mit dem Befehl LinkeSeite[<Gleichung>] bzw. RechteSeite[<Gleichung>] kann man Termumformungen auf einer Seite durchführen, vgl. Zeile 4 und 5. Um aus Zeile 6 beide Lösungen zu erhalten, muss man diese einzeln bestimmen. Löse[$6,x] reicht leider nicht. Der Befehl Löse[$1] liefert direkt beide Lösungen in x, vgl. 2-CAS-Gleichungen.ggb Leider kann GeoGebra (noch) keine kubischen Gleichungen mit Variablen lösen, z.b. Löse[x^3-3x-a=0,x] liefert { } Füge im Grafikfenster einen Schieberegler für die Variable a ein und versuche nochmals obige Gleichung zu lösen. Probiere auch KLöse oder NLöse. Betrachte auch: 3-CAS-Schnittpunkt.ggb. Gibt man im CAS- Fenster eine Gleichung der Form f(x,y) = 0 ein, so wird die dadurch implizit gegebene Kurve im Zeichenfenster ausgegeben. Probiere x^3-2xy+y^2 = 0. Beachte in Zeile 5 die Substitution von x =1 und y = 3 in P := (x,y). 2 / 4

3 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum 8-GeoGebra-CAS-1 Geometrische Bestimmung der Parabeltangenten Die beiden Files CAS-Parabeltangenten1.ggb und CAS-Parabeltangenten2.ggb zeigen die Möglichkeit, die Parabeltangenten durch einen Punkt P der Parabel oder parallel zu einer Geraden g samt Berührpunkt B geometrisch ohne den Ableitungsbegriff zu bestimmen. Analog zum Kreis schneiden (nicht vertikale) Geraden eine Parabel in zwei reellen Punkten (Sekante), genau einem Punkt (Tangente) oder zwei konjugiert komplexen Punkten (Passante). Suche daher (nicht vertikale) Geraden, welche die Parabel in genau einem Punkt treffen. Setze zunächst im Zeichenfenster einen Schieberegler für den Wert a, definiere dann im CAS-Fenster die Funktion f(x) := a x^2 und wähle einen Punkt P auf dem Graphen von f. Eine Gerade g durch P ist bestimmt durch die Funktion g(x) := m (x - x(p)) + y(p) mit variabler Steigung m. Bestimme nun m so, dass die beiden Schnittpunkte von g und der Parabel zusammenfallen. Löse dazu die Gleichung g = f (vgl. Zeile 3) und setze die Lösungen gleich (bzw. die Differenz gleich 0, vgl. Zeile 5). Da die beiden Lösungen in Zeile 3 in einer Liste ausgegeben werden, muss zur Definition von D auf die Elemente des Ergebnisses $3 mit dem Befehl Element[ <Liste>, <Position des Elements> ] zugegriffen werden. Löse[D=0, m] liefert den gesuchten Wert von m (vgl. Zeile 6) und damit die Tangente in P als g_t := Ersetze[g, $6] (vgl. Zeile 7). Verändere nun den Wert von a oder verschiebe den Punkt P auf der Parabel. Mit dem Schieberegler für den Wert m 0 im Zeichenfenster wird in Zeile 9 die Gerade g 0 durch P mit der Steigung m 0 definiert als: g_0(x):=ersetze[g, m=m_0]. Man kann dann m 0 so wählen, dass g 0 Tangente an die Parabel in P ist, vgl. CAS-Parabeltangenten1.ggb. Um das CAS-Protokoll zu kommentieren, sind in Zeile 4 und 8 Texte eingefügt. Dazu klickt man die Zeilennummer mit der rechten Maustaste an und wählt Text. Dort findet man auch Lösche Zeile. 3 / 4

4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum 8-GeoGebra-CAS-1 Statt dem Punkt P auf der Parabel wird im File CAS-Parabeltangenten2.ggb nach Definition von f(x) := a x^2 mit den Werten a und m der beiden Schieberegler im Zeichenfenster eine allgemeine Gerade g(x):=m*x + t mit variablem y-abschnitt t betrachtet. Bestimme nun t so, dass die beiden Schnittpunkte von g und der Parabel zusammenfallen. Löse dazu die Gleichung g = f (vgl. Zeile 3) und setze die Lösungen gleich (bzw. die Differenz gleich 0, vgl. Zeile 5). Löse[D=0, t] liefert den gesuchten Wert von t (vgl. Zeile 7) und damit die Parabel-Tangente als g_t := Ersetze[g, $7] (vgl. Zeile 8). Um den Berührpunkt B zu bestimmen, ersetze mit Ersetze[Element[$3,1],$7] in der ersten Lösung aus Zeile 3 die Variable t durch das Ergebnis der Zeile 7. Das liefert in Zeile 9 den x- Wert der zusammenfallenden Schnittpunkte, d.h. den Berührpunkt B := Ersetze[(x, f(x)),$9] (vgl. Zeile 10). Verändere nun die Werte von a oder m. Mit dem Schieberegler für den Wert t 0 im Zeichenfenster wird in Zeile 12 die Gerade g 0 durch P mit der Steigung m 0 definiert als: g_0(x):=ersetze[g, t=t_0]. Man kann dann t 0 so wählen, dass g 0 eine Parabeltangente ist, vgl. CAS-Parabeltangenten2.ggb. In beiden Files sieht man das Zusammenspiel der Dynamischer Geometrie Software (DGS) mit dem Computer-Algebra-System (CAS), d.h. Änderungen im Zeichenfenster werden im CAS-Teil übernommen und umgekehrt. Es können aber Probleme bei zeitaufwendigeren CAS-Routinen auftreten, da nach jeder kleinen Änderung im Zeichenfenster das Konstruktionsprotokoll und das CAS-Protokoll zum Neuaufbau der Figur durchlaufen werden muss. 4 / 4

5 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zu GeoGebra CAS Fortbildung 2016 Gegeben: Scheitel A und B zweier Parabeln Gesucht: Tangentenstetiger Übergang in xp Gegeben: Polynom f(x,y) Gesucht: Stationäre Stellen (Extrema) Siehe File: Skisprungschanze.ggb Wähle B = (5,5) oder xp = 2 oder 4

6 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zu GeoGebra CAS Fortbildung 2016 CAS-Teil von Ebene-PR-Form.ggb Gegeben: Vektoren a,u,v,p Frage: Liegt P in der von u und v aufgespannten Ebene mit Aufpunkt A Nach Eingabe der Vektoren a, u und v und der Punkt-Richtungsform der Ebene im CAS-Teil von GeoGebra kann die Ebene d im 3D-Garfik-Fenster geometrisch definiert werden, vgl. Schritte 7-10: Siehe File: Ebene-PR-Form.ggb Klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die Konstruktion/Berechnung. Für p_z 8 liefert Zeile 9 die leere Menge und die Berechnung bricht ab. Der Schieberegler für p_z muss (derzeit) in einem separatem 2D-Grafik-Fenster eingegeben werden. Beachte: In der aktuellen Version erhält man die Ebene d in Parameterform C(λ,µ) :=a + λ u + µ v. Zur Ausgabe von d im 3D-Fenster wurde die Verbindungsebene der Geraden b und c eingetragen. Das Gleichungssystem a + λ u + µ v = p löst man mit dem Befehl Löse[ C = p, {λ, µ} ]. Um den Punkt U auf der Geraden b zu erhalten, setzt man in C für λ das Ergebnis aus $9 und µ = 0 ein. $9 ist als Liste { } einer Liste { } mit zwei Einträgen ausgegeben. Den Eintrag λ = 2 erhält man (dynamisch) als Element[Element[$9,1],1]. Endsprechendes gilt für V. Element[$9,1] liefert die Liste {λ = 2, µ = 1}.

7 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zu GeoGebra CAS Fortbildung 2016 Gegeben: Graph einer Funktion f und ein Punkt P. Gesucht: Tangenten von P an den Graphen von f. Lösungsweg mit Ableitung von f und Tangente in einem Punkt Q von f. Siehe File: Tangenten-von-P-an-f-1.ggb Klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die Konstruktion/Berechnung. Verschiebe x0 so, dass P auf t0 liegt. Verschiebe den Punkt P. Wähle f(x):=1/3 x^3-x oder f(x):=1/3*exp(x), wähle dann statt Löse den Befehl NLöse Beachte: Bei Polynomen bestimmt GeoGebra alle Nullstellen (siehe auch KLöse)

8 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zu GeoGebra CAS Fortbildung 2016 Gegeben: Graph einer Funktion f und ein Punkt P. Gesucht: Tangenten von P an den Graphen von f. Lösungsweg mit Ableitung von f und einer Geraden von P zu einem Punkt Q auf f. Siehe File: Tangenten-von-P-an-f-2.ggb Klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die Konstruktion/Berechnung. Verschiebe den Punkt x0 so, dass g0 Tangente von f ist. Verschiebe den Punkt P. Ein Bug tritt derzeit (noch) auf, wenn P auf der x-achse liegt, da dann die Konstante 0 nicht als Nullfunktion g(x) = 0 interpretiert wird. Die Verbindungsgeraden von P zu den Punkten der Liste 1 erhält man mit Folge[Gerade[P,Element[$8,k]],k,1,Länge[$8]].