Fraktale: Eine Einführung
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- Nadja Hafner
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1 Fraktale: Eine Einführung Fraktale Geometrie und ihre Anwendungen Seminar im WS 06/07 Florian Daikeler
2 Übersicht: I. Einführung: Die Cantor-Drittelmenge II. Fraktale in 2D: Selbstähnlichkeit III. Beispiele: Fraktale höherer Dimension IV. Selbstähnlichkeit im weiteren Sinn V. Selbstaffinität
3 Kapitel I - Einführung: Die Cantor-Drittelmenge
4 Die Cantor-Drittelmenge [0,1] 2 [, 1] 3 1 [0, ] 3 1 Nach n Schritten haben wir 2 Intervalle der Länge n 3 Man spricht deshalb auch vom Cantor-Drittelstaub / Cantor-Diskontinuum. n
5 Die Ternärschreibweise - Darstellung einer Zahl zur Basis 3 Wir betrachten nur die Darstellung der Zahlen im Intervall [0, 1] Damit lassen sich die Ternärzahlen in drei Klassen einteilen: Klasse I Abbrechend oder periodisch mit Periode 2 0,0 2 3 = = = 0, Jede Zahl dieser Klasse hat jene zwei äquivalente Darstellungen -
6 Klasse II Periodisch mit Periode von 2 verschieden 0,12 3 Jede solche Zahl gestattet nur eine Darstellung Klasse III Weder abbrechend noch periodisch 0, Jede solche Zahl gestattet nur eine Darstellung
7 Eigenschaften der Cantor-Drittelmenge Die Menge aller Ternärzahlen in [0,1] welche die Ziffer 1 nicht enthalten lässt sich dem Cantor-Drittelstaub bijektiv zuordnen. Die Cantor-Drittelmenge ist überabzählbar Die Wahrscheinlichkeit beim Werfen eines Pfeiles auf das Intervall [0,1] einen Punkt der Cantor-Drittelmenge zu treffen ist 0 n Zahl der günstigen Fälle 2 relative Häufigkeit = = n 0 Zahl der möglichen Fälle 3
8 Kapitel II - Fraktale in 2D Selbstähnlichkeit
9 Definition (Selbstähnlichkeit im strengen Sinn) Gegeben sei eine kompakte Punktmenge G in einem metrischen Raum. Sie werde in N 1, bis auf Randelemente paarweise disjunkte, kongruente Teilmengen G i,i {1, 2,..., N } N zerlegt, also G= G i. Wenn es dann für alle i eine i=1 Ähnlichkeitsabbildung mit G i =G gibt, dann heisst G selbstähnlich im strengen Sinn. Der zugeordnete Vergrößerungsfaktor wird mit p bezeichnet, p 1.
10 Einfache Beispiele für selbstähnliche Mengen im strengen Sinn
11 Die Selbstähnlichkeitsdimension d S Beobachtung: Es gilt p d = N Dabei ist d die anschauliche, uns vertraute Dimension. Definition Punktmengen G die im strengen Sinne selbstähnlich sind, mit N Zerlegungsmengen und dem Vergrößerungsfaktor p besitzen die Dimension log N d S G = log p Man spricht von der Selbstähnlichkeitsdimension (Index S)
12 Der Begriff des Fraktals Wegen N =2 und p=3 hat die Cantor-Drittelmenge, selbst bei einer Verfeinerung mit p=3n und N =2n die Selbstähnlichkeitsdimension n log 2 n log 2 log 2 d S= = = 0,6309 n log 3 n log 3 log 3 Diese 'krumme' Dimension ist eine Überraschung aber zu erwarten, denn diese Monstermenge ist weder ein Punkt mit d=0 noch eine Strecke mit d=1. Irgendwie liegt sie dazwischen. Als Dimension ergibt sich also in vielen Fällen eine nicht-ganze Zahl, weshalb man von fraktaler Geometrie spricht und die betrachteten Punktmengen auch Fraktale nennt.
13 Ein weiteres Beispiel aus der Dimension 1 N =3 d S= p=5 log 3 0,6828 log 5 Im Vergleich zur Drittel-Menge wird nun mehr entfernt: Die Dimension wird aber größer Die Staubdimension ist kein Maß für das 'Gesamtgewicht' des Staubes sondern ein Maß für seine gleichmäßige Verteilung. d S =lim n log n 1 2n 1 =lim =1 log 2n 1 n 2 n 1
14 Das Sierpinksi Dreieck (Waclaw Sierpinski )
15 Eigenschaften des Sierpinski-Dreiecks N =3, p=2 d S = log 3 1,5850 log 2
16 Die Koch-Kurve (Helge von Koch )
17 Eigenschaften der Koch-Kurve Die Koch-Kurve ist überall stetig und nirgends differentierbar. Die Koch-Kurve ist selbstähnlich im strengen Sinn mit N=4, p=3 log 4 log 2 Die Dimension der Koch-Kurve: d S = =2 1,2618 log 3 log 3 Die Länge der Koch-Kurve ist
18 Die Koch-Kurve ist in ein gleichschenkliges Dreieck eingebettet, füllt dieses aber nicht aus. DE =a 1 Höhe= a 3 6
19 Die Schneeflockenkurve
20 Eigenschaften der Schneeflockenkurve Die Schneeflockenkurve ist nicht selbstähnlich. Die Schneeflockenkurve hat die selbe Dimension wie die Koch-Kurve. Die Länge der Schneeflockenkurve (Umfang) ist Die ausgefüllte Schneeflocke ist in ein reguläres 6-Eck eingebettet, füllt dieses aber nicht aus.
21 Weitere Beispiele für Koch-Kurven
22 Kapitel III - Beispiele Fraktale höherer Dimension
23 Einfache Beispiele für selbstähnliche Mengen N =20, p=3 d S = log 20 2,7268 log 3
24 Der Menger-Schwamm (Karl Menger )
25
26 Der Tetraederkäse
27 Definition (physiologische Flächen) Motivation: Forscher aus der Anatomie suchen nach Modellen zur mathematischen Beschreibung von Lungen oder Nieren. Dabei stellen sie 4 Forderungen: 1. Die Flächenmaßzahl F soll unendlich groß sein. 2. Die Fläche soll in eine Grenzfläche (geschlossen & endlich) eingebettet sein. Diese Grenze wird erreicht aber nicht überschritten. 3. Der Grenzkörper und das Flächenfraktal besitzen die selbe Volumenmaßzahl. 4. Die Fläche soll fraktal sein. (Ungerade Dimension) Flächen, die obige 4 Bedingungen erfüllen heissen physiologisch
28 Unser erstes Würfelfraktal
29 Eigenschaften Der Flächeninhalt F des W-Fraktals ist 10 3 Das Volumen V des W-Fraktals beträgt a 7 Das W-Fraktal ist in ein Rhombendodekaeder eingebettet mit dem Inhalt V =a a 2 1 a =2a3 G 3 2 Das W-Fraktal ist selbstähnlich mit N = 13 und p = 3 d S= log 13 2,3347 log 3
30 Ein weiteres Würfelfraktal
31 Eigenschaften Der Flächeninhalt F des neuen W-Fraktals ist 71 3 Das Volumen V des neuen W-Fraktals beträgt a 44 Das W-Fraktal ist in ein gestutztes Rhombendodekaeder eingebettet mit dem Inhalt 15 3 V G= a 8 Das W-Fraktal ist selbstähnlich mit N = 37 und p = 5 d S= log 37 2,243 log 5
32 Das SG-Fraktal (Alan St. George - Bildhauer) Bisher haben wir zwei Würfelfraktale betrachtet. 1. Würfelfraktal füllt den Grenzkörper zu 71 % aus. 2. Würfelfraktal füllt den Grenzkörper zu 86 % aus. Beide Würfelfraktale waren also nicht physiologisch.
33 Eigenschaften Es gibt 5 Typen von Quadratkonfigurationen in einer Generation Typ A: Single Typ B: Treppe
34 Typ C: Ecke Typ D: Höhle Typ E: Kaverne Wachstum nach innen
35 Zwei Würfel einer Generation sind entweder disjunkt oder fallen zusammen oder schneiden sich längs einer Würfelkante bzw. Würfelfläche. Würfel verschiedener Generation sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich längs einer Seitenfläche. Jeder Quadrattyp der Generation n erzeugt in Generation n+1 folgende neue Typen:
36 Rekursionsformeln für die Anzahl der Typen: Explizite Lösung der Differenzengleichung:
37 Der Flächeninhalt F des SG-Fraktals ist Das Volumen V a des SG-Fraktals beträgt 134 Das SG-Fraktal ist in ein Oktaeder eingebettet mit dem Inhalt 9 3 V G= a 2 Das SG-Fraktal ist nicht selbstähnlich im strengen Sinn. Das SG-Fraktal hat die Dimension 1 log d= 2,16359 log 3 Das SG-Fraktal füllt das Grenzoktaeder zu 97 % aus.
38 Tetraeder-Fraktal Oktaeder-Fraktal
39 Weitere Fraktale und höhere Dimensionen Die bisherigen Verfahren klappen nicht mit Ikosaeder-Fraktalen Dodekaeder-Fraktalen Fraktale in Dimension 4 und höher: Würfel-Fraktale lassen sich völlig analog zu den bisherigen Verfahren konstruieren und berechnen. Andere Polyeder scheitern daran, dass sie sich nicht mehr in kongruente Teilflächen zerlegen lassen. (Man muss neue Verfahren konstruieren)
40 Kapitel IV Selbstähnlichkeit im weiteren Sinn
41 Definition (Selbstähnlichkeit im weiteren Sinn) Gegeben sei eine kompakte Punktmenge G in einem metrischen Raum. Sie werde in N 1, bis auf Randelemente paarweise disjunkte, Kongruente Teilmengen G i,i {1, 2,..., N } N zerlegt, also G= G i. Wenn es dann für alle i eine i=1 Ähnlichkeitsabbildung i mit i Gi =G gibt, dann heisst G selbstähnlich im weiteren Sinn. Die Ähnlichkeitsfaktoren seien pi und es gelte p i 1. Worin besteht der Unterschied zur Definition im strengen Sinn?
42 Sierpinski-Dreieck mit Variationen
43 Und wieder ein neuer Dimensionsbegriff Bisherige Dimension galt nur für Punktmengen die selbstähnlich im strengen Sinn waren. Wir benötigen also eine Erweiterung. log N Wir definierten: d S = log p 1 q= 1 oder N = p also N q =1 mit p ds ds Beobachtungen: N 2=1, p 2 =, q 2 = 2 3 N =N 1 N 2=6 N 1=5, p1 =3, q 1= N 1 q1 N 2 q 2=5 1 = N 1 q N 2 q =56 1 =
44 Definition d S Punktmengen G, die im weiteren Sinne selbstähnlich sind mit N i und pi 1, sowie N = N i besitzen die Dimension d S, d wobei N i qi S =1 Existenz von d S N N i q i = q i q i... qi = q i x x x N i Summanden x i=1 x
45 N Betrachte die Funktion F :ℝ 0 ℝ 0 x qix i=1 mit den Eigenschaften x F x ist stetig, weil qi stetig ist. F x 0 weil x ℝ 0 und qi 0 lim F x =0 weil 0 q i 1 also lim qix =0 x x 0 q F 0 = N 1 weil i =1 F x = q i log qi 0 denn qix 0 und log q i 0 wegen 0 q i 1 ' N x i=1 F ist streng monoton fallend und mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass der Wert 1 genau einmal angenommen wird. d S lässt sich oft nur numerisch bestimmen.
46 Kapitel V Selbstaffinität
47 Die Barnsley-Maschine (Michael Barnsley) 3 Arbeitsgänge: Verkleinern, Kopieren & Anordnen, Iterieren Realisierung mit Hilfe des Computers : x' =Ax t affine Abbildung IFS-Code (iteriertes Funktionen System)
48 Definition (Selbstaffinität) Gegeben sei eine kompakte Punktmenge G in einem metrischen Raum. Sie werde in N 1, bis auf Randelemente paarweise disjunkte, Kongruente Teilmengen G i,i {1, 2,..., N } N zerlegt, also G= G i. Wenn es dann für alle i affine i=1 Abbildungen i mit i Gi =G gibt, dann heisst G selbstaffin.
49 Das Farnblatt (Michael Barnsley)
50 Die Verwendung von IFS-Codes Verwendung als Bildkompression Neue, naturähnliche Gebilde durch probieren Erschaffen von Kulissen in Hollywood. Schaffung von ästhetischen Kunstwerken durch Künstler Sehr wirtschaftlich, da kleiner Speicherbedarf im Vergleich zum Fernsehbild mit etwa Pixeln. Barnsley: Interesse am codieren von beliebigen Bildern mit Hilfe von affinen Transformationen. Ließ sich solche Verfahren patentieren und nutzt sie kommerziell (Folge: kaum wissenschaftliche Publikationen) Wird man künftig neue Sätze & Beweise patentieren?
51 Zusammenfassung & Ausblick Wir haben gesehen: 3 Definitionen für den Begriff der Selbstabbildung 3 Definitionen für den Begriff der Dimension 2 Verfahren für die Konstruktion von Fraktalen Was erwartet uns in den folgenden Vorträgen? Vertiefung der angesprochenen Sachverhalte Bessere Definition für die 'Dimension' & 'Selbstabbildung' Konkrete Anwendungen von Fraktalen Fraktale und der Zufall
52 Das Allerletzte
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