Ross Honsberger. Mathematische Juwelen

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1 Ross Honsberger Mathematische Juwelen

2 Ross Honsberger Mathematische Juwelen Mit 147 Bildern Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweigIWiesbaden

3 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Honsberger, Ross: Mathematische Juwelen / Ross Honsberger. [Obers.: Jens Schwaiger). - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, Einheitssacht.: Mathematical gems <de.> Teilausg. Titel cler englischen Originalausgabe: Mathematical Gems II The Dolciani Mathematical Expositions by The Mathematical Association of America Obersetzung: Dr. Jens Schwaiger, Graz Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1982 Die VervieWiltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fur Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mub iiber die Zahlung einer Gebiihr fiir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fur die Vervielfaltigung durch alle Verfahren, einschlieblich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien. Dieser Vermerk umfabt nicht die in den 53 und 54 URG ausdriicklich erwahnten Ausnahmen. Satz: Vieweg, Braunschweig Umschlaggestaltung: Peter Neitzke, Koln ISBN-13: e-isbn-13: : /

4 Die Reibe der DOLCIANI MA THEMATICAL EXPOSITIONS der ~ematical Association of America entstand durch ein grobzllgiges Geschenk von Mary' P. Dolc:iani, Professor fiir Mathematik am Hunter College of the City University of New York, an die Association. Dabei wollte Frau Professor Dolciani, selbst cine erfolgreiche Autorin mathematischer Schriften, cine F6rderung des Ideals der ausgezeichneten Darste1lungsweise in mathematischen Arbeiten erreichen. Die Association ihrerseits nahm hocherfreut die Griindung des "Wanderfonds" fur diese Reihe an von jemandem, der der Association mit Auszeichnung sowohl als Mitglied des Herausgeberkomitees als auch als Vorstandsmitglied dient. Der Vorstand hat mit aufrichtiger Freude beschlossen, diese Reihe ihr zu Ehren zu benennen. Die BUcher dieser Reihe werden nach den Kriterien klarer, zwangloser Schreibweise und anregender mathematischer Inhalte ausgesucht. Oblicherweise enthalten sie cine grobe Anzahl von Obungen mit dazugeh6rigen Lasungen. Die einzelnen BUcher sollen fur Studenten in den ersten Semestern hinreichend elementar wirken, auberdem sollen sogar Gymnasiasten mit mathematischen Neigungen sie verstehen und genieben. Trotzdem besteht auch die Hoffnung, dab sie interessant und manchmal auch herausfordernd sind fur weiter fortgeschrittene Mathematiker. Bucher der Reihe DOLCIANI MA THEMA TICAL EXPOSITIONS in deutscher Ubersetzung: Band 1: MATHEMATISCHE EDELSTEINE von Ross Honsberger Band 2: MATHEMATISCHE JUWELEN von Ross Honsberger

5 Vorwort Dieses Buch enthalt vierzehn kurze, erklarende Essays iiber elementare Themen der Zahlentheorie, Kombinatorik und Geometrie. Die Mathematik steckt voller erstaunlicher Dinge. Diese Essays werden hier in der Hoffnung vorgestellt, dab der Leser die Spannung kennenlernen mage, die in den mathematischen Schatzen liegt. Auf welchem Niveau der Leser sich auch befindet: der geeignete Hintergrund mub da sein, urn leicht voranzukommen. DaB ein Thema elementar ist, bedeutet nicht notwendigerweise, dab es auch leicht und einfach ist. Fiir den GroBteil dieses Buches braucht man nur wenige technische Kenntnisse, die iiber den Rahmen der Schulmathematik hinausgehen. Diese Kenntnisse sind der Binomische Lehrsatz, die vollstandige Induktion und Kongruenzen. Man kann aber nicht erwarten, dab das Buch eine leichte Lektiire fiir Schulabganger darstellen wird. Es gewisses MaB an mathematischer Reife ist vorausgesetzt, gelegentlich wird auch ziemlich sorgfaltiges Oberlegen verlangt. Ich hoffe, dab das Buch fiir Gymnasiallehrer und kiinftige Lehrer von besonderem Interesse sein wird. Die Essays sind unabhangig voneinander, weswegen man sie in jeder Reihenfolge lesen kann. Dem Leser wird geraten, die Obungen sorgfaltig zu betrachten; unter ihnen befinden sich namlich einige herrliche Aufgaben. Ich machte gerne diese Gelegenheit ergreifen und den Professoren Ralph Boas, Henry Adler, David Roselle und Paul Erdal dafiir danken, dab sie grobziigigerweise verschiedene Teile des Manuskriptes kritisch durchgesehen und viele Verbesserungen vorgeschlagen haben. Ich danke auch Dr. Raoul Hailpern, der das Werk bis zur Herausgabe begleitet hat. Meine besondere Dankbarkeit gilt Professor E. F. Beckenbach, dem Leiter des Gesamtprojektes. University of Waterloo Ross Honsberger

6 Inhaltsverzeichnis 1 Drei iiberraschende kombinatorische und zahlentheoretische Ergebnisse Vier geometrische Edelsteine von kleinerer Bedeutung Ein Problem beim Damespiel Primzahlerzeugung Zwei kombinatorische Beweise Bizentrische Polygone, Steinersche Ketten und das Hexlet Ein Satz von Gabriel Lame Packungsprobleme Ein Satz von Bang und das gleichschenklige Tetraeder Eine interessante Reihe Chvatals Satz von der Kunstgalerie Die durch n Punkte der Ebene bestimmte Menge von Abstanden Eine Aufgabe aus dem Putnam Wettbewerb Der Lovaszsche Beweis eines Satzes von Tutte Losungen und Obungsaufgaben Namen- und Sachwortverzeichnis