Martin Aigner. Diskrete Mathematik

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1 Martin Aigner Diskrete Mathematik

2 vieweg studium... Autbaukurs Mathematik Herausgegeben von Martin Aigner, Michael Grüter, Rudolf Scharlau, Gisbert Wüstholz Martin Aigner Diskrete Mathematik Albrecht BeutelspacherjUte Rosenbaum Projektive Geometrie Manfredo P. do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Fliehen Gerd Fischer Ebene alpbralsche Kurven Wolfgang Fischer und Ingo Lieb Funktionentheorie Wolfgang Fischer und Ingo Lieb Au.,ewählte Kapitel aus der Funktionentheorie OUo Forster Analysis 3 Klaus Hulek Elementare Algebraische Geometrie Horst Knörrer Geometrie Ulrich Krengel Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatIstik Helmut Koch Zahlentheorie Wolfgang Kühnel Dlfferentlalpometrle Ernst Kunz Einführung in die alpbralsche Geometrie Reinhold Meise und Dietmar Vogt Einführung In die Funktionalanalysis Erich Ossa Topologie Jochen Werner Numerische Mathematik I und 11 Jürgen Wolfart Einführung In die Zahlentheorie und Alpbra Grundkurs Mathematik Gerd Fischer Lineare Algebra Hannes Stoppelj Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Alpbra Gerd Fischer Analytische Geometrie OUo Forster Analysis 1 OUo Forster / Rüdiger Wessoly Übungsbuch zur Analysis 1 Otto Forster Analysis 2 OUo Forster/Thomas Szymczak Übungsbuch zur Analysis 2 Gerhard Opfer Numerische Mathematik für Anfänger vieweg

3 Martin Aigner Diskrete Mathematik Mit über 500 Übungs aufgaben 4., durchgesehene Auflage 11 vleweg

4 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich Prof. Dr. Martin Aigner Freie Universität Berlin Institut für Mathematik II (WE 2) Arnimallee Berlin aigner math.fu-berlin.de 1. Auflage durchgesehene Auflage durchgesehene Auflage durchgesehene Auflage Mai 2001 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 2001 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort Vor 50 Jahren gab es den Begriff "Diskrete Mathematik" nicht, und er ist auch heute im deutschen Sprachraum keineswegs gebräuchlich. Vorlesungen dazu werden nicht überall und schon gar nicht mit einem einheitlichen Themenkatalog angeboten (im Gegensatz zum Beispiel zu den USA, wo sie seit langem einen festen Platz haben). Die Mathematiker verstehen unter Diskreter Mathematik meist Kombinatorik oder Graphentheorie, die Informatiker Diskrete Strukturen oder Boolesche Algebren. Das Hauptanliegen dieses Buches ist daher, solch einen Themenkatalog zu präsentieren, der alle Grundlagen für ein weiterführendes Studium enthält. Die Diskrete Mathematik beschäftigt sich vor allem mit endlichen Mengen. Was kann man in endlichen Mengen studieren? Als allererstes kann man sie abzählen, dies ist das klassische Thema der Kombinatorik - in Teil I werden wir die wichtigsten Ideen und Methoden zur Abzählung kennenlernen. Auf endlichen Mengen ist je nach AufgabensteIlung meist eine einfache Struktur in Form von Relationen gegeben, von denen die anwendungsreichsten die Graphen sind. Diese Aspekte fassen wir in Teil II unter dem Titel Graphen und Algorithmen zusammen. Und schließlich existiert auf endlichen Mengen oft eine algebraische Struktur (oder man kann eine solche auf natürliche Weise erklären). Algebraische Systeme sind der Inhalt von Teil III. Diese drei Gesichtspunkte bilden den roten Faden des Buches. Ein weiterer Aspekt, der die Darstellung durchgehend prägt, betrifft den Begriff der Optimierung. Die Entwicklung, welche die Kombinatorik in den letzten 50 Jahren vollkommen revolutionierte und sie erst zum heutigen Gebiet der Diskreten Mathematik machte, war die Frage nach schnellen Algorithmen. Es genügte nicht mehr, ein kombinatorisches Problem theoretisch zu lösen, man wollte eine Lösung explizit konstruieren, und dies wenn möglich anhand eines schnellen Algorithmus. Es ist sicher kein Zufall, daß dieser Optimierungsgesichtspunkt gerade Ende der 40'er Jahre an Bedeutung gewann, genau parallel zur Entwicklung der ersten schnellen Rechner. In diesem Buch wird dementsprechend großer Wert auf den algorithmischen Standpunkt gelegt, vor allem in Teil II, wie dies ja auch schon im Titel zum Ausdruck kommt. Die Diskrete Mathematik ist heute eine Grundlagenwissenschaft auch der Informatik, und das Buch sollte durch die Stoffauswahl für Mathematiker und Informatiker gleichermaßen interessant sein. Die drei Teile sind so organisiert, daß sie weitgehend unabhängig voneinander studiert werden können, mit Ausnahme der Kapitell und 5, welche die Grundlagen der Abzählung und Graphen behandeln - sie sollten in jedem Fall gelesen werden. Der gesamte Stoff kann in einer zweisemestrigen Vorlesung behandelt werden, die Kapitel 1-3, 5-7 und 12 waren Inhalt einer einsemestrigen Veranstaltung. Es ist üblich, in einem Vorwort auf den Nutzen der Übungen hinzuweisen. In einem Buch über Diskrete Mathematik kann der Wert der Übungen gar nicht hoch genug eingeschätzt werden, was man schon daraus erkennen kann, daß die Übungen (und

6 VI Vorwort Lösungen) fast ein Viertel des Textes ausmachen. Diskrete Mathematik behandelt vor allem konkrete Probleme, und ohne Praxis wird man sie trotz aller theoretischer Kenntnisse nicht lösen können. Zusätzlich wird in den Übungen des öfteren auf weiterführende Fragen hingewiesen. Die Übungen jedes Kapitels sind (durch einen Strich) zweigeteilt. Der erste Teil sollte ohne große Mühe zu lösen sein, der zweite Teil ist etwas schwieriger. Viele Übungen enthalten Hinweise, und für Übungen, die mit * bezeichnet sind, findet man im Anhang eine Lösung. Jeder Teil endet mit einer knappen Literaturliste mit Hinweisen für ein weiterführendes Studium. An Vorkenntnissen wird nur Vertrautheit mit den mathematischen Grundbegriffen vorausgesetzt und an manchen Stellen Kenntnisse aus der Linearen Algebra und Analysis, wie sie üblicherweise im 1. Semester erworben werden. Die verwendeten Bezeichnungen entsprechen durchwegs dem Standard, vielleicht mit den folgenden Ausnahmen: A = l:ai A = TI Ai (t) Menge A ist disjunkte Vereinigung der Ai Menge A ist kartesisches Produkt der Ai Familie aller k-untermengen von A. Der Vorteil ist, daß sich die Bezeichnungen unmittelbar auf die Mengengrößen übertragen: Sind die Mengen Ai nicht notwendig disjunkt, so setzen wir wie üblich A = U Ai. Die Elemente von TI Ai = Al X.. x An sind wie gewohnt alle n-tupel (al,..., an), ai E Ai. Eine k-menge besteht aus k Elementen. B(8) ist die Familie aller Untermengen von 8. Die Bezeichnungen r xl, lx J für x E IR bedeuten x aufgerundet auf die nächste ganze Zahl bzw. x abgerundet. 181 bezeichnet die Anzahl der Elemente in 8. Das Buch ist aus einer Reihe von Vorlesungen für Mathematik- und Informatikstudenten hervorgegangen. Der Mitarbeit (und der Kritik) dieser Hörer gebührt daher mein erster Dank. Besonderen Dank schulde ich meinem Kollegen G. Stroth und meinen Studenten T. Biedl, A. Lawrenz und H. Mielke, die den gesamten Text durchgesehen und an vielen Stellen verbessert haben. T. Thiele hat wesentlich zur graphischen Gestaltung beigetragen. E. Greene, S. Hoemke und M. Barrett danke ich herzlich für die kompetente Abfassung in lb\tex, und dem Vieweg - Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Berlin, Ostern 1993 Martin Aigner

7 VII Inhaltsverzeichnis Teil I: Abzählung 1 Grundlagen 1.1 Elementare Zählprinzipien Die fundamentalen Zählkoeffizienten 1.3 Permutationen Rekursionen Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.6 Existenzaussagen Übungen. 2 Summation 2.1 Direkte Methoden 2.2 Differenzenrechnung 2.3 Inversion Inklusion-Exklusion. Übungen Erzeugende Funktionen 3.1 Definition und Beispiele Lösung von Rekursionen Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp. Übungen Asymptotische Analyse 4.1 Wachstum von Funktionen. 4.2 Größenordnung von Rekursionen 4.3 Laufzeit von Algorithmen Übungen.... Literatur zu Teil I Teil 11: Graphen und Algorithmen 5 Graphen 5.1 Definition und Beispiele 5.2 Darstellung von Graphen 5.3 Wege und Kreise Gerichtete Graphen. Übungen

8 VIII Inhaltsverzeichnis 6 Bäume Begriff und Charakterisierung Breadth-First und Depth-First Suche Minimale aufspannende Bäume Kürzeste Wege in Graphen 113 Übungen Matchings und Netzwerke Matchings in bipartiten Graphen Konstruktion von optimalen Matchings Flüsse in Netzwerken Eulersche Graphen, das Traveling Salesman Problem Die Komplexitätsklassen P und NP. 144 Übungen Suchen und Sortieren Suchprobleme und Entscheidungsbäume Der Hauptsatz der Suchtheorie Sortieren von Listen Binäre Suchbäume 167 Übungen Allgemeine Optimierungsmethoden Backtrack Dynamisches Programmieren Der Greedy Algorithmus. 188 Übungen Literatur zu Teil Teil 111: Algebraische Systeme Boolesche Algebren Definition und Eigenschaften Aussagenlogik und Boolesche Funktionen Logische Netze Boolesche Verbände, Ordnungen, Hypergraphen. 207 Übungen Modulare Arithmetik Rechnen mit Kongruenzen Endliche Körper Lateinische Quadrate Kombinatorische Designs 225 Übungen

9 IX 12 Codes und Kryptographie 12.1 Problemstellung Quellencodierung Entdecken und Korrigieren von Fehlern 12.4 Lineare Codes Kryptographie Übungen Lineare Optimierung 13.1 Beispiele und Definitionen 13.2 Dualität Der Hauptsatz der linearen Optimierung Zulässige Lösungen und optimale Lösungen 13.5 Der Simplexalgorithmus Ganzzahlige lineare Optimierung Übungen.... Literatur zu Teil 111 Lösungen zu ausgewählten Übungen Sachwortverzeichnis