2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder

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1 6 2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder 2.1 Eulersche Polyederformel Formal besteht ein Graph aus einer Knotenmenge X und einer Kantenmenge U. Jede Kante u U ist eine zweielementige Teilmenge von X, also u = {x 1, x 2 }. Anschaulich besteht ein Graph aus Knoten, die durch die Kanten miteinander verbunden werden. Es gibt auch gerichtete Graphen, bei denen die Kanten zusätzlich orientiert sind. Diese betrachten wir hier aber nicht, sondern bleiben bei den oben eingeführten ungerichteten Graphen. G 1 G 2 G 3 In der Graphentheorie gibt es eine Vielzahl von Begriffen, die anschaulich klar sind, aber formal aufwendig definiert werden. Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn je zwei Punkte durch einen Kantenzug miteinander verbunden werden können. Der Graph links ist demnach zusammenhängen, der Graph in der Mitte besteht aus zwei zusammenhängenden Teilgraphen, er selber ist aber nicht zusammenhängend. G 2 zeigt noch eine weitere Besonderheit, nämlich eine Kante, die einen Knoten mit sich selbst verbindet, was durchaus erlaubt ist. Ein Graph G heißt planar, wenn er auf der Ebene so gezeichnet werden kann, daß seine Kanten sich nicht überkreuzen. Die Graphen G 1 und G 2 sind planar, der Graph G 3 aber nicht. Man beachte die Definition: gezeichnet werden kann, beim Graphen G 3 scheitern alle Versuche, ihn kreuzungsfrei unterzubringen G 4 G 4 6 Lassen wir eine beliebige Kante in G 3 weg, so erhalten wir beispielsweise den Graphen G 4, der auch nicht sonderlich planar aussieht, aber kreuzungsfei gezeichnet werden kann. G 4 ist also planar. Wir betrachten nun nur noch Graphen, die mindestens einen Knoten besitzen sowie zusammenhängend und planar sind. Wir setzen e=anzahl der Knoten (=Ecken), k=anzahl der Kanten, f =Anzahl der Flächen, wobei unter den Flächen diejenigen gemeint sind, die vom Graphen eingeschlossen werden plus eins für die äußere Fläche. Der Graph G 1 schließt demnach mit seinem Dreieck eine Fläche ein; für die Außenfläche zählen wir 1 dazu und erhalten f = 2. Für G 1 gilt ferner e = 4 und k = 3, daher e k + f = 2.

2 7 Dieses Ergebnis ist kein Zufall: Satz 2.1 (Eulersche Polyederformel) Sei G ein nichtleerer, zusammenhängender, planarer Graph mit e Knoten, k Kanten und f Flächen. Dann ist e k + f = 2.. Wie beweist man diese Formel? Dazu überlegt man sich, wie man einen nichtleeren und zusammenhängenden Graphen zeichnen kann. Zunächst zeichnet man einen Knoten. Anschließend kann man den Graphen Stück für Stück mit den beiden folgenden Operationen aufbauen: a) Man zeichnet einen neuen Knoten ein und verbindet diesen Knoten mit einem vorhandenen Knoten. b) Man verbindet zwei vorhandene Knoten. Die nichtleeren zusammenhängenden Graphen besitzen also eine induktive Struktur: Ausgehend vom Graphen, der nur aus einem Knoten besteht, kann man jeden solchen Graphen durch sukzessives Anwenden der Schritte a) und b) erzeugen. Ist der Graph zusätzlich planar, so lassen sich diese Schritte kreuzungsfrei durchführen. Damit läßt sich ( ) leicht durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang ist der Graph, der nur aus einem Knoten besteht. Für diesen ist e = 1, k = 0 und f = 1, also ist die Formel für diesen Graphen richtig. Sei G nun ein Graph, für den die Formel ebenfalls richtig ist. Wenden wir auf G den Schritt a) an, so erhöhen wir e und k um 1, f bleibt unverändert. Die Formel bleibt daher auch nach Anwendung dieses Schrittes richtig. Im Fall b) bleibt e unverändert, dagegen erhöhen sich k und f um 1. Also bleibt die Formel auch nach diesem Schritt richtig. Damit ist die Formel vollständig bewiesen. Tetraeder Würfel Oktaeder Wie der Name schon sagt, wurde die Eulersche Polyederformel zunächst auf Polyeder angewendet. Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch gerade Seitenflächen begrenzt ist. Diese Seitenflächen treffen sich in geraden Kanten und die Kanten wiederum treffen sich in Punkten. Einen solchen Polyeder können wir in Gedanken in einer Seitenfläche aufschneiden und dann auseinanderziehen. Die Ecken und Kanten entsprechen dann den Knoten und Kanten eines planaren Graphen. Jetzt ist auch klar, warum die Zahl der Knoten mit e bezeichnet wurde, weil sie nämlich die Zahl der Ecken des Polyeders ist. Ferner leuchtet nun ein, warum die Außenfläche des planaren Graphen mitgezählt wurde, weil nämlich diese der aufgeschnittenen Seitenfläche entspricht. Bei den oben angegebenen Beispielen von Tetraeder, Würfel und Oktaeder läßt sich die Polyederformel leicht noch einmal überprüfen. 2.2 Die platonischen Körper Ein regulärer Polyeder oder platonischer Körper ist ein Polyeder mit folgenden Eigenschaften: 1. Alle Seitenflächen sind kongruente, regelmäßige n Ecke. 2. In jeder Ecke münden m Kanten.

3 8 Schon im Altertum kannte man 5 reguläre Polyeder: Bezeichnung Form der Seitenflächen (n) m f k e Tetraeder Dreiecke Würfel Quadrate Oktaeder Dreiecke Dodekaeder Fünfecke Ikosaeder Dreiecke Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Wir beweisen nun, daß es nur diese 5 regulären Polyeder gibt. An jeder Ecke grenzen genau m Kanten. Da jede Kante zwei Ecken besitzt, besteht zwischen Ecken und Kanten die Beziehung (1) em = 2k oder k = em 2 Jede Fläche hat n Begrenzungskanten. Da jede Kante zwei Flächen begrenzt, gilt (2) fn = 2k oder f = 2k n. In die Eulersche Polyederformel e k + f = 2

4 9 setzen wir nacheinander die Ausdrücke für f und k ein und erhalten 2 = e k + 2k n = e + k( 2 n 1) = e + em 2 ( 2 n 1) = e 2n (2n + mn( 2 n 1)) = e (2n + 2m nm) 2n Wegen 2n + 2m nm = 4 (n 2)(m 2) gilt (3) 2 = e (4 (n 2)(m 2)). 2n Da die linke Seite dieser Gleichung positiv ist, muß auch die rechte positiv sein, insbesondere (4 (n 2)(m 2)) > 0 oder (n 2)(m 2) < 4. Wir erhalten also die folgenden Möglichkeiten: (n, m) = (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3). Mit diesen Werten gehen wir zurück nach (3) und bestimmen daraus e. Mit e erhalten wir k aus (1) und schließlich f aus (2). Daher n m f k e Diese Daten entsprechen genau den bekannten 5 regulären Polyedern. Präsenzaufgaben 1. a) Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 sollen so den Kanten eines Tetraeders zugeordnet werden, sodaß in jeder Ecke gilt, daß die Summe der in die Ecke einlaufenden Kanten konstant ist. Ist dies überhaupt möglich? b) Die gleiche Aufgabe wie a), aber mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 7. c) (Bundeswettbewerb 2. Runde) Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 sollen so den Kanten eines Würfels zugeordnet werden, sodaß in jeder Ecke gilt, daß die Summe der in die Ecke einlaufenden Kanten konstant ist. Ist dies überhaupt möglich? d) Die gleiche Aufgabe wie c), aber mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, Die folgenden Fragen sollen in Abhängigkeit der Zahl der Knoten n eines Graphen beantwortet werden. Dabei sind keine Schleifen oder Mehrfachkanten erlaubt. a) Wie viele verschiedene Kanten kann ein Graph maximal haben? b) Ein Graph heißt kreisfrei, wenn er keinen geschlossenen Kantenzug enthält. Insbesondere darf ein kreisfreier Graph keine Kante haben, der einen Knoten mit sich selbst verbindet. Wie viele Kanten besitzt ein kreisfreier Graph?

5 10 c) Ein Graph heißt gut zusammenhängend, wenn er nach Entfernen einer beliebigen Kante immer noch zusammenhängend ist. Wie viele Kanten muß ein gut zusammenhängender Graph mindestens haben? A B D C 3. Die obige Abbildung zeigt die Brücken von Königsberg über den Fluß Pregel. Leonhard Euler löste die Frage, ob es möglich ist, in A beginnend eine Reise zu unternehmen, bei der man jede Brücke genau einmal überquert und sich am Ende wieder in A befindet. a) Formuliere dieses Problem als Rundreiseproblem in einem Graphen, bei dem ausnahmsweise auch Mehrfachkanten erlaubt sind. b) Ist die gesuchte Rundreise möglich? c) Welche Bedingung muß ein allgemeiner Graph erfüllen, damit eine solche Rundreise möglich ist?

6 11 Aufgaben 2.1 (Bundeswettbewerb 1. Runde) Die Oberfläche eines Fußballs setzt sich aus schwarzen Fünfecken und weißen Sechsecken zusammen. An die Seiten eines jeden Fünfecks grenzen lauter Sechsecke, während an die Seiten eines jeden Sechseck abwechselnd Fünfecke und Sechsecke grenzen. Man bestimme aus diesen Angaben über den Fußball die Anzahl seiner Fünfecke und seiner Sechsecke. 2.2 (Bundeswettbewerb 1. Runde) Zwischen 20 Städten bestehen 172 direkte Flugverbindungen, die jeweils in beide Richtungen benutzbar sind. Keine zwei von ihnen verbinden dieselben beiden Städte. Man weise nach, daß man von jeder Stadt in jede Stadt fliegen kann, ohne dabei mehr als einmal umzusteigen. Viel Spaß beim Lösen! Für die besten Löser gibt es am Ende der Veranstaltung im Februar 2006 Buchpreise zu gewinnen. Der nächste Mathe-Samstag findet am statt. 17. Dezember 2005, 9 12 Uhr Die Mathe-Samstage im Internet: dobro/sam.html