1 Platonische Körper 1

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1 1 Platonische Körper 1 1 Platonische Körper Das Oktaeder gehört zu den fünf platonischen Körpern die alle aus kongruenten Seiten- ächen aufgebaut sind. Es sollen daher in einem kurzen Abschnitt alle fünf regelmäÿigen, konvexen Polyeder vorgestellt werden, die aus kongruenten, regelmäÿigen Seitenächen aufgebaut sind und kongruente Eckenguren besitzen. Es soll auch bewiesen werden, dass es nur fünf davon geben kann. Die platonischen Körper, ihre Ecken, Kanten und Flächen sind in Tabelle (1) zusammengestellt. Polyeder Ecken Flächen Kanten Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Tab. 1: Platonische Körper Wir folgen in der Argumentation Euklid und zeigen die Konstruktion von regelmäÿigen Körpern, die aus lauter kongruenten regelmäÿigen Flächen aufgebaut sind und keine einspringenden Kanten oder Flächen haben dürfen. Unter diesen Voraussetzungen beobachtete Euklid als erstes, daÿ die Summe der Flächenwinkel, die an einer Polyederecke zusammenkommen, kleiner als 360 sein muÿ. Nehmen wir als Beispiel den Würfel: in einer Ecke eines Würfels stoÿen drei Quadrate zusammen, die Summe der Quadratwinkel bei dieser Ecke ist drei mal 90, also 270. Als nächstes bemerkte er, daÿ in einer Ecke eines regulären Polyeders mindestens drei Seitenächen zusammenstoÿen müssen. Mit diesen Vorbemerkungen können wir mit der gedanklichen Konstruktion der Körper beginnen. Als erstes nehmen wir dreieckige Flächen. Es gibt nur drei Möglichkeiten: Wir können drei, vier oder fünf Dreiecke nehmen und in einer Ecke zusammenstoÿen lassen. Die Abbildung (6) zeigt diese drei Möglichkeiten. Man kann nun die drei Dreiecke zu Fig. 1: Tetraeder Fig. 2: Würfel Fig. 3: Oktaeder

2 1 Platonische Körper 2 Fig. 4: Dodekaeder Fig. 5: Ikosaeder und hat das Tetraeder bekommen (Abb. 1). Vier Dreiecke können zu einer Pyramide mit einer quadratischen Basis gefaltet werden. Klebt man eine zweite vierseitige Pyramide an, so erhält man das Oktaeder (Abb. 3). Die fünf Dreiecke schlieÿlich können zu einer fünfseitigen Pyramide gefaltet werden. Um diese Pyramide in einem regelmäÿigen Körper zu integrieren, gehen wir folgendermaÿen vor: Wir konstruieren einen Streifen bestehend aus 10 gleichseitigen Dreiecken, von denen jeweils eines noch oben und eines nach unten zeigt (Abbildung 6 unten). Nun falten wir diese ebene Figur so, daÿ die oberen freien Seiten der Dreiecke auf ein Fünfeck zu liegen kommen. Automatisch ergibt sich, daÿ auch die anderen Seiten ein regelmäÿiges Fünfeck bilden. Den so entstandenen Körper nennt man ein fünfseitiges Antiprisma. Es ist leicht zu sehen, daÿ oben und unten auf dieses Antiprisma (Abbildung 7) die vorher konstruierte fünfseitige Pyramide aufgesetzt werden kann. Damit wurde das Ikosaeder erhalten (Abb. 5). Die Liste der regelmäÿigen Körper, die Dreiecke als Seitenäche haben, ist damit schon vollständig, denn wenn man sechs Dreiecke um einen Punkt der Ebene gruppiert, bleibt kein Spalt mehr frei zum Falten. Sechs Dreiecke füllen die Ebene rund um einen Punkt aus! Die nächste regelmäÿige ebene Figur ist das Quadrat. Wir brauchen nach der zweiten Feststellung Euklids mindestens drei Quadrate, die um einen Punkt gruppiert sein müssen. Fig. 6: Eckenkongurationen Vier Quadrate sind schon zu viel, denn vier Quadrate füllen die Ebene rund um den Punkt aus. Es gibt daher nur einen regelmäÿigen Körper mit Quadraten als Seitenächen, das ist der Würfel oder das Hexaeder (der Sechsächner) wie ihn die Griechen nannten. Die nächste regelmäÿige Figur ist das Fünfeck oder Pentagon. Gruppiert man drei davon um einen Punkt so bleibt gerade noch ein kleiner Spalt frei, dessen Önungswinkel 36 ist,

3 1 Platonische Körper 3 Fig. 7: Antiprisma wie man sich leicht überlegen kann. Da die Eckenwinkel eines Pentagons gröÿer sind als die eines Quadrates, (nämlich genau 108 ) können wir keine vier Fünfecke ohne Überlappung um einen Punkt in der Ebene gruppieren. Es gibt daher nur einen regelmäÿigen Körper mit nur Fünfecken als Seitenächen nämlich das Dodekaeder (Abb. 4). Die nächste regelmäÿige Figur in der Ebene wäre das Sechseck. Die Eckenwinkel bei einem Sechseck sind aber 120, womit drei Sechsecke bereits die Ebene rund um einen Punkt ausfüllen. Man kann die drei Sechsecke nicht mehr falten, weil kein Spalt mehr freibleibt. Es gibt daher keinen regelmäÿigen Körper mit Sechsecken als Seitenächen. Bei den nun folgenden regelmäÿigen Figuren werden die Eckenwinkel immer gröÿer, sodaÿ z.b. drei Siebenecke rund um einen Punkt bereits Überlappungen haben und daher auf keinen Fall mehr zu einer räumlichen Ecke gefaltet werden können. Damit sind wir mit dem Beweis fertig. Es gibt also (unter der Voraussetzung, dass keine einspringenden (konkaven) Kanten erlaubt sind) genau fünf Körper mit deckungsgleichen regelmäÿigen Seitenächen. Wie man sich leicht überlegen kann liegen die Eckpunkte eines Platonischen Körpers vom Mittelpunkt gleich weit entfernt. Jeder Platonische Körper besitzt daher eine Umkugel. Ebenso liegen alle Kantenmittelpunkte auf einer Kugel, der Kantenmittenkugel. Die Flächen eines Platonischen Körpers berühren eine Kugel, die Inkugel. 1.1 Polarität und Dualität Bedeuten x, y, z kartesische Koordinaten, dann stellt die Gleichung u 0 + u 1 x + u 2 y + u 3 z = 0 (1) eine Ebene dar, wenn u 1, u 2, u 3 nicht alle gleichzeitig verschwinden. Die Koezienten u i können daher als homogene Ebenenkoordinaten verwendet werden (u 0 : u 1 : u 2 : u 3 ) (0 : 0 : 0 : 0). Führt man durch x = x 1 x 0, y = x 2 x 0, z = x 3 x 0 (2) homogene Koordinaten ein, dann nimmt die Bedingung für die vereinte Lage von Punkten und Ebenen (1) die symmetrische Form an:

4 1 Platonische Körper 4 Jedem Quadrupel von Zahlen x i bzw. u i entspricht ein Punkt bzw. eine Ebene. Insbesonders stellen die Quadrupel 0 : x 1 : x 2 : x 3 die Fernpunkte und u 0 : 0 : 0 : 0 die Fernebene dar. Eine lineare Transformation a jk y k (4) x j = k bei der die Determinante der Koezienten a jk nicht verschwindet ordnet jedem Punkt X einen Punkt Y zu. Gleichzeitig wird jede Ebene in eine Ebene transformiert. Eine solche Abbildung heiÿt Kollineation. Durch y k = k a jk u j (5) wird eine lineare Transformation der Ebenen in Punkte und umgekehrt deniert. Eine derartige Abbildung heiÿt Korrelation. Eine Korrelation vermittelt das Dualitätsprinzip, das jede Figur in die zu ihr duale verwandelt. Es ist leicht nachzurechnen, dass eine Korrelation auch durch die bilineare Gleichung ajk x j y k = 0 (6) gegeben ist. Legt man nämlich einen Punkt X(x i ) fest, dann stellt (6) die Gleichung der Bildebene von X bei der Transformation dar. Man kann nun fragen wann ist eine Korrelation involutorisch? d.h. wie müssen die Koezienten a jk beschaen sein, dass die zweimalige Anwendung die Identität ergibt. Aus (5) folgt für das Bild von X und für das Bild von Y ergibt sich v k = a jk x j (7) u j = a jk y k (8) Daraus folgt für x j = y j muss u j = cv j, c = konst. gelten. Das ergibt a jk = ca kj a jk = c 2 a jk c = ±1. Damit gilt entweder a jk = a kj oder a jk = a kj. Die Matrix einer involutorischen Korrelation ist also entweder symmetrisch oder schiefsymmetrisch. Wir betrachten im folgenden nur den symmetrischen Fall und fragen nach dem Ort aller Punkte für die der Punkt in seiner Korrelationsebene liegt. Für diese gilt oensichtlich 3 j,k=0 a jk x j x k = 0 (9) Ein Punktort mit der Gleichung (9) heiÿt eine Fläche 2. Ordnung F 2. Punkte X, Y die die Gleichung (6) erfüllen heiÿen bezüglich F 2 konjugiert. Diese besondere Korrelation, die mit einer F 2 verbunden ist nennt man Polarität und die zusammengehörigen Elemente heiÿen Pol und Polarebene. Mit dem Begri Dualität können wir nun die Beziehungen zwischen den Platonischen Körpern so formulieren: Würfel und Oktaeder sind zueinander dual, ebenso Ikosaeder und Dodekaeder. Das Tetraeder ist selbstdual. Die Dualität wird durch die Polarität an Umkugel, Kantenmittenkugel oder Inkugel vermittelt.

5 2 Axonometrie in Computergraphik und CAD 5 2 Axonometrie in Computergraphik und CAD Um auf dem Computer ein normalaxonometrisches Bild darzustellen, sind die Abbildungsgleichungen aufzustellen. Wir behandeln ein Verfahren, das es ermöglicht alle normalen Axonometrien zu erreichen. Die Aufrissebene ([yz]-ebene) sei im folgenden immer die feste Bildebene. Die Projektionsrichtung sei gegen die x-achse, normal auf die Aufrissebene. Für diese Projektion gelten dann oensichtlich die Abbildungsgleichungen: x = 0, y = y, z = z (10) Wir bringen den Objektraum nun durch eine Folge von Drehungen in allgemeine Lage zur Bildebene. Fig. 8: CAD-Drehungen des Einheitswürfels Vorerst drehen wir um die z-achse, was die Abbildungsgleichungen: x 1 = x cos ϕ y sin ϕ y 1 = x sin ϕ + y cos ϕ (11) z 1 = z nach sich zieht. Danach kippen wir um die y-achse: x 2 = x 1 cos ψ z 1 sin ψ y 2 = y 1 (12) z 2 = x 1 sin ψ + z 1 cos ψ Die Zusammensetzung von 11 und 12 liefert die gesuchten Abbildungsgleichungen: x 2 = x cos ψ cos ϕ z sin ψ y 2 = x sin ϕ + y cos ϕ (13) z = x sin ψ cos ϕ + z cos ψ

6 2 Axonometrie in Computergraphik und CAD 6 Die Wirkung der dargestellten Transformationen auf den Einheitswürfel ist in Abbildung 8 zu sehen. Möchte man nun ein Objekt am Computer darstellen, so ist auf jeden Punkt die Transformation 13 anzuwenden. Die Bildkoordinaten sind dabei nach 13 y = y 2 und z = z 2. x 2 gibt den Abstand eines Punktes von der Bildebene an. π < ϕ < π und π < ψ < π sind die beiden Parameter um die Bildwirkung zu steuern. Abbildung 9 zeigt 2 2 die Auswirkung der Änderungen der beiden Parameter am Bild des Einheitswürfels. In Fig. 9: CAD-Drehungen des Einheitswürfels

7 2 Axonometrie in Computergraphik und CAD 7 um die Anschaulichkeit zu erhöhen. Wir behandeln zum Abschluss dieses Abschnittes kurz die Angabe von Axonometrien in diesen Zeichenpaketen. Meist ist nur ein Punkt anzugeben um eine Axonometrie festzulegen. Die entstehende Axonometrie ist dann eine normale Axonometrie mit dem zu diesem Punkt gehörenden Ortsvektor als Sehstrahlrichtung und der Bildebene normal auf diese Richtung. Oft wird auch die Sehstrahlrichtung durch Kugelkoordinaten festgelegt. Beide Angabemöglichkeiten zeigt die Abbildung 10. In manchen CAD-Systemen gilt aber auch die allen bisherigen Überlegungen zugrun- Fig. 10: 3D-Ansichtsangabe in CAD-Systemen Fig. 11: 3D-Orbit in AutoCAD deliegende Annahme nicht mehr, dass nämlich die z-achse des Bildkoordinatensystems parallel zum linken Bildschirmrand liegen soll. Dann liegt aber eine Drehung um eine allgemeine Drehachse vor. Man hat den beiden Drehungen 12 und 13 noch eine dritte Drehung um eine Koordinatenachse hinzuzufügen. Die könnte z.b. eine Drehung um die neue z-achse sein. Die Drehmatrix würde wie 12 aussehen, nur der Drehwinkel müsste mit einem anderen Symbol belegt werden. Dierbei kommt es zur Anwendung eines all-

8 2 Axonometrie in Computergraphik und CAD 8 durch drei Elementardrehungen erzeugt werden kann. In AutoCad z.b. ist diese Freiheit über den Befehl 3D-Orbit eingebaut. Man kann sich dabei den Befehl so vorstellen, dass um die ganze Szene eine Glaskugel gelegt wird die an der Stelle, wo sie angeklickt wird, einen Henkel bekommt. Mit diesem Henkel wird ein sphärisches Gelenk erzeugt um dessen Mittelpunkt die ganze Szene gedreht werden kann. (Abbildung 11).