Konvexe Polyeder und ihre Behandlung im Unterricht

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1 Konvexe Polyeder und ihre Behandlung im Unterricht Schriftliche Hausarbeit angefertigt am Lehrstuhl für Geometrie und Visualisierung der Technischen Universität München vorgelegt von Kathrin Hofacker Betreuer: Prof. Dr. Gerd Fischer Garching, den 21. März 2007

2 Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Beispiele konvexer Polyeder Platonische Körper Archimedische Körper Formale Betrachtung konvexer Polyeder Denition konvexer Polyeder Dimension eines konvexen Polyeders Simplizes Kompaktheit konvexer Polyeder Denition regelmäÿiger Polyeder Eulersche Polyederformel Verallgemeinerung des Satzes von Euklid Behandlung konvexer Polyeder im Unterricht Aufbau der ersten Doppelstunde Aufbau der zweiten Doppelstunde Lernziele Schlussbemerkung 48 Anhang 49 A Originalbeweis des Satzes von Euklid B Archimedische Körper bei Kepler C Arbeitsblätter mit Lösungsvorschlägen D Folien E Netze Literaturverzeichnis 86

3 Inhaltsverzeichnis 3 Abbildungsverzeichnis 89 Plagiatserklärung 90 Danksagung 91

4 1 Einleitung 4 1 Einleitung Der Fuÿball. Er begeistert nicht nur sportlich Interessierte, sondern er stellt auch aus Sicht der Mathematik ein faszinierendes Objekt dar. Ein sehr bekanntes Zitat von Alt- Fuÿballbundestrainer Sepp Herberger lautet: Der Ball ist rund. Betrachtet man den Ball, mit dem seit der Fuÿballweltmeisterschaft 1970 in Mexiko gespielt wird, jedoch genau, so lässt sich erkennen, dass der Ball 60 Ecken hat. Die Balloberäche ist aus fünfund sechseckigen ebenen Lederstücken zusammengesetzt. Somit ist der klassische Fuÿball in Wirklichkeit keine ideale Kugel, sondern ein so genanntes Polyeder (vgl. Ebeling 2006). Der Begri Polyeder leitet sich aus dem Griechischen ab und bedeutet Vielächner (vgl. Duden. Die deutsche Rechtschreibung 1996, 'Polyeder'). Er bezeichnet einen Körper, dessen Oberäche aus einer Anzahl von Vielecken besteht (vgl. Courant/Robbins 2001, S.181). In dieser Arbeit möchte ich einen Einblick in das Gebiet der Polyeder geben, eines der ältesten Teilgebiete der Geometrie. Meine Ausführungen beschränken sich jedoch, wie der Titel bereits verrät, auf den Spezialfall der konvexen Polyeder, welche mit je zwei ihrer Punkte auch deren Verbindungsstrecke enthalten. Konvexe Polyeder waren bereits den Pythagoräern im 6. Jahrhundert vor Christus bekannt (vgl. Adam/Wyss 1994, S.11). Umfangreichere Überlegungen hierzu stellte jedoch erst der griechische Philosoph Platon um 400 vor Christus an (vgl. Möller 2001, S.6). In seinem Werk Timaios beschreibt Platon fünf besonders schöne und symmetrische konvexe Polyeder: das Tetraeder, den Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder. Sie werden ihm zu Ehren als die fünf Platonischen Körper bezeichnet. Platon ordnete die vier Körper Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Ikosaeder den vier Elementen seines Weltbildes Feuer, Erde, Luft und Wasser zu. Das Dodekaeder stand symbolisch für die Himmelsmaterie (vgl. Adam/Wyss 1994, S.11). Konstruktionsbeschreibungen der Platonischen Körper nden sich um 300 vor Christus bei Euklid, in Buch XIII seines Hauptwerks Die Elemente (vgl. Thaer 1975, S.398). Weitere Betrachtungen über konvexe Polyeder folgten um 250 vor Christus durch Archimedes (vgl. Möller 2001, S.6). Er studierte die nach ihm benannten Archimedischen Körper. Zu ihnen zählt auch der eingangs erwähnte Fuÿball.

5 1 Einleitung 5 In der langen Zeit des Mittelalters gerieten die Polyeder in Vergessenheit. Mit der Renaissance im 15. und 16. Jahrhundert nach Christus und ihrer Begeisterung für die Antike lebte das Interesse für Polyeder wieder auf. Sie nden sich daher in zahlreichen mathematischen Schriften u.a. von Piero della Francesca und Luca Pacioli, aber auch in Zeichnungen und Gemälden von Künstlern wie Albrecht Dürer und Leonardo da Vinci wieder (vgl. Schreiber/Sriba 2003, S.269). Die fünf Platonischen Körper fanden in dieser Zeit sogar Eingang in die Astronomie. Johannes Kepler versuchte mit deren Hilfe die Bewegung der damals bekannten Planeten um die Sonne zu beschreiben (vgl. Schreiber/Scriba 2003, S.242f). Auch noch in der heutigen Zeit spielen Polyeder eine Rolle. Zwar sind sie nicht mehr für die Astronomie von Bedeutung, jedoch sind sie noch immer für Künstler und Architekten reizvoll. In diesem Zusammenhang sind vor allem Werke von M.C Escher und Salvador Dali sowie die berühmten Kuppelbauten von Buckminster Fuller aus dem 20. Jahrhundert zu nennen. Oensichtlich geht schon seit der Antike von Polyedern, insbesondere den Platonischen und Archimedischen, eine unglaubliche Faszination aus. Anhand dieser schriftlichen Hausarbeit möchte ich versuchen, dem Leser etwas von dieser Faszination zu vermitteln und ihn in das Themengebiet der konvexen Polyeder einführen. Dies soll in drei wesentlichen Abschnitten geschehen. Zunächst wird ein Überblick über die Platonischen und Archimedischen Körper gegeben, worauf im zweiten Teil eine allgemeine und formale Betrachtung konvexer Polyeder folgt. Im dritten Abschnitt möchte ich thematisieren, inwiefern Polyeder im schulischen Unterricht behandelt werden können.

6 2 Beispiele konvexer Polyeder 6 2 Beispiele konvexer Polyeder Konvexe Polyeder existieren in einer unendlichen Vielfalt. Einige sind jedoch auf Grund ihrer speziellen Merkmale und ihres Aussehens hervorzuheben. Besonders eindrucksvoll sind die bereits erwähnten Platonischen und Archimedischen Körper. Sie sollen daher in diesem Kapitel kurz vorgestellt werden. 2.1 Platonische Körper Die von Platon untersuchten Polyeder Tetraeder, Würfel (auch Hexaeder oder Kubus genannt), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind hochsymmetrische geometrische Gebilde. Sie sind in Abbildung 2.1 dargestellt. Ergänzend hierzu gibt Tabelle 2.1 zu jedem dieser Polyeder die Anzahl seiner Ecken, Kanten und Seitenächen an. Von der Anzahl der begrenzenden Flächen leitet sich jeweils die griechische Bezeichnung ab. Die Platonischen Körper sind so genannte regelmäÿige bzw. reguläre Polyeder. Ein reguläres Polyeder ist ein konvexes Polyeder, das aus lauter kongruenten, d.h. deckungsgleichen, regelmäÿigen Vielecken (n-ecken) zusammengesetzt ist, von denen an jeder Ecke gleich viele aneinander stoÿen. Ein Vieleck heiÿt regelmäÿig, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groÿ sind (vgl. Schülerduden. Die Mathematik I. 1990, 'Platonische Körper'). Es wäre prinzipiell denkbar, dass neben den fünf angeführten Körpern weitere reguläre Polyeder existieren. Doch bereits Euklid erklärte, die Platonischen Körper seien die einzigen Polyeder dieser Art (Satz von Euklid). Im Anschluss an die Konstruktionen der Platonischen Körper in seinem Werk Die Elemente gibt Euklid einen recht einfachen Beweis für seine Aussage, der im folgenden sinngemäÿ wiedergegeben werden soll: Um eine Polyederecke bilden zu können, sind wenigstens drei Polygone (Vielecke) nötig. Die Summe der Winkel zwischen den Kanten, die in eine Ecke einlaufen, muss kleiner als 360 sein, da sich ansonsten keine konvexe Ecke ergeben würde. Die einfachste Begrenzungsäche für ein regelmäÿiges Polyeder ist das gleichseitige Dreieck mit einem Innenwinkel von 60. Stoÿen drei dieser Dreiecke zusammen, so ergibt sich die Tetraederecke, vier bilden die Oktaederecke und fünf die Ikosaederecke. Sechs oder noch mehr

7 2 Beispiele konvexer Polyeder 7 solche Vielecke ergeben eine Winkelsumme von mindestens 360 und formen daher keine konvexe Ecke mehr. Wählt man Quadrate (Innenwinkel: 90 ) bzw. regelmäÿige Fünfecke (Innenwinkel: 108 ) zur Begrenzung des Polyeders, so können aus dem selben Grund lediglich drei dieser Flächen eine Ecke darstellen, nämlich die Würfelecke bzw. die Dodekaederecke. Aus regelmäÿigen Polygonen mit mindestens sechs Ecken, d.h. aus Polygonen, die Innenwinkel von wenigstens 120 besitzen, kann schlieÿlich kein reguläres Polyeder mehr aufgebaut werden (vgl. Thaer 1975, S.412f). Der Originalbeweis des Satzes von Euklid in der deutschen Übersetzung von C. Thaer ist in Anhang A nachzulesen. Aus Tabelle 2.1 ist ersichtlich, dass zwischen Würfel und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder ein enger Zusammenhang besteht. Sie besitzen jeweils gleich viele Kanten und die Anzahl der Ecken des einen Polyeders entspricht der Anzahl der Seitenächen des anderen Körpers. Daher nennt man sie zueinander dual. Der Begri der Dualität kann geometrisch veranschaulicht werden (siehe Abbildung 2.2). Werden beim Würfel die Mittelpunkte benachbarter Seitenächen miteinander verbunden, so ergibt sich das Kantenmodell des Oktaeders. Auf dem selben Weg gewinnt man umgekehrt aus dem Oktaeder den Würfel. Die Dualität von Dodekaeder und Ikosaeder lässt sich ebenso zeigen. Führt man die beschriebene Konstruktion für das Tetraeder durch, so erhält man wieder ein Tetraeder. Es ist also zu sich selbst dual (vgl. Schülerduden. Die Mathematik I. 1990, 'Platonische Körper'). Bezeichnung Seitenächen Kanten Ecken a Tetraeder 4 gleichseitige Dreiecke 6 4 b Hexaeder 6 Quadrate 12 8 c Oktaeder 8 gleichseitige Dreiecke 12 6 d Dodekaeder 12 regelmäÿige Fünfecke e Ikosaeder 20 gleichseitige Dreiecke Tabelle 2.1: Platonische Körper (vgl. Adam/Wyss 1994, S.66f)

8 2 Beispiele konvexer Polyeder 8 Abbildung 2.1: Platonische Körper (vgl. Möller 2001, S.26) Abbildung 2.2: Dualitätsbeziehungen (vgl. Adam/Wyss 1994, S.39f)

9 2 Beispiele konvexer Polyeder Archimedische Körper Bei den Archimedischen Körpern handelt es sich um dreizehn konvexe Polyeder, die wie auch die Platonischen lediglich durch regelmäÿige Polygone beschrieben werden, welche jedoch in diesem Fall nicht alle identisch sind. Ein Archimedischer Körper wird aus mindestens zwei Arten von regelmäÿigen Vielecken so zusammengesetzt, dass die Umgebungen aller Polyederecken kongruent sind und das Polyeder somit von jeder Ecke aus betrachtet gleich erscheint. Abbildung 2.3 zeigt die dreizehn Archimedischen Körper in der Übersicht. Zu den beiden Polyedern Cubus simus und Dodecaedron simum gibt es jeweils noch eine spiegelbildliche Variante, die nicht durch Drehung in die andere überführt werden kann. Diese werden jedoch in der Regel nicht extra gezählt (vgl. Pugh 1976, S.15). Eine sehr schöne graphische Darstellung der Archimedischen Körper ndet sich auch in Keplers Werk Weltharmonik von 1619 (siehe Anhang B). In Tabelle 2.2 ist zusammengestellt, wie viele Ecken, Kanten und Seitenächen jedes Polyeder besitzt und welche Typen von Vielecken an jeder Ecke aneinander grenzen. Neben den in Abbildung 2.3 dargestellten Figuren gibt es noch eine Vielzahl weiterer Polyeder mit den Merkmalen eines Archimedischen Körpers, nämlich regelmäÿige Prismen, deren Mantel aus Quadraten besteht, und regelmäÿige Antiprismen, deren Mantel sich aus gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt (vgl. Pugh 1976, S.15). Beispiele hierfür nden sich in Abbildung 2.4. Ganz allgemein besitzt ein regelmäÿiges Prisma zwei kongruente regelmäÿige n-ecke, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckäche. Die Seitenächen haben die Form von Rechtecken. Ein Antiprisma weist als Grund- und Deckäche ebenfalls zwei deckungsgleiche parallele regelmäÿige Vielecke auf, diese sind aber um den Mittelpunktswinkel 360 /2n gegeneinander verdreht. Als Seitenächen hat es 2n identische und gleichschenklige Dreiecke (vgl. Brauner 1986, S.193f). Sowohl die Antiprismen als auch die Prismen werden in dieser Arbeit nicht zu den Archimedischen Körpern gezählt. Hierbei lehne ich mich an die Bücher Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde von Paul Adam und Arnold Wyss und Polyhedra. A visual approach von Anthony Pugh an. Es soll jedoch angemerkt werden, dass es Literatur gibt, in der die Prismen und Antiprismen den Archimedischen Körpern zugeordnet werden (vgl. Böhm/Quaisser 1991, S.102f). Auf einen Beweis, weshalb es nur dreizehn Archimedische Körper gibt, soll an dieser Stelle verzichtet werden, da es den Rahmen der Arbeit sprengen würde. Eine Ausführung des Beweises ndet sich in der Diplomarbeit Denitionen und Berechnungen der Platonischen und Archimedischen Körper von Marco Möller.

10 2 Beispiele konvexer Polyeder 10 a b c d e f g h i j k l m Bezeichnung Flächen Kanten Ecken Kuboktaeder Ikosidodekaeder Tetraederstumpf Würfelstumpf Oktaederstumpf Dodekaederstumpf Flächen, die in einer Ecke zusammentreen Dreieck-Quadrat- Dreieck-Quadrat Dreieck-Fünfeck- Dreieck-Fünfeck Dreieck-Sechseck- Sechseck Dreieck-Achteck- Achteck Quadrat-Sechseck- Sechseck Dreieck-Zehneck- Zehneck Fünfeck-Sechseck- Sechseck Dreieck-Quadrat- Quadrat-Quadrat Ikosaederstumpf (Fuÿball) Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf Cubus simus Dodecaedron simum 38 (32 Dreiecke, 6 Quadrate) 92 (80 Dreiecke, 12 Fünfecke) (8 Dreiecke, 6 Quadrate) 32 (20 Dreiecke, 12 Fünfecke) 8 (4 Dreiecke, 4 Sechsecke) 14 (8 Dreiecke, 6 Achtecke) 14 (6 Quadrate, 8 Sechsecke) 32 (20 Dreiecke, 12 Zehnecke) 32 (12 Fünfecke, 20 Sechsecke) 26 (8 Dreiecke, 18 Quadrate) 26 (12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke) 62 (20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke) 62 (30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke) Quadrat-Sechseck- Achteck Rhombenikosidodekaeder Dreieck-Quadrat- Fünfeck-Quadrat Ikosidodekaederstumpf Quadrat-Sechseck- Zehneck Dreieck-Dreieck- Dreieck-Dreieck- Quadrat Dreieck-Dreieck- Dreieck-Dreieck- Fünfeck Tabelle 2.2: Archimedische Körper (vgl. Adam/Wyss 1994, S.66f)

11 2 Beispiele konvexer Polyeder 11 Abbildung 2.3: Archimedische Körper (vgl. Möller 2001, S.41) Abbildung 2.4: Regelmäÿiges Prisma und Antiprisma

12 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 12 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder Nachdem im vorangegangenen Kapitel einige Spezialfälle konvexer Polyeder betrachtet wurden, sollen nun konvexe Polyeder im Allgemeinen untersucht werden. Hierbei lehne ich mich im Wesentlichen an die Vorlesung zur Algebra und Zahlentheorie 1 an, die Prof. Dr. Gerd Fischer im Wintersemester 2005 an der Technischen Universität München für Studierende des Gymnasiallehramts gehalten hat. Für Absätze, die sich auf andere Quellen beziehen, werden diese jeweils angegeben. Den Kern des Kapitels bildet der so genannte Eulersche Polyedersatz. Mit dessen Hilfe lässt sich der Satz von Euklid auf einem anderen als dem in Kapitel 2.1 dargestellten Weg und in einer etwas verallgemeinerten Form beweisen. In den folgenden Ausführungen werden einige Grundbegrie der Linearen Algebra und der Analysis, wie beispielsweise (Unter-)Vektorraum, Basis, euklidische Norm und Metrik als bekannt vorausgesetzt. Diese können zur Erinnerung in den Lehrbüchern Lineare Algebra von Gerd Fischer und Analysis 1 und Analysis 2 von Konrad Königsberger nachgelesen werden. 3.1 Denition konvexer Polyeder Bereits in der Einleitung wurde kurz erläutert, was unter einem konvexen Polyeder zu verstehen ist. Am Ende dieses Abschnitts soll nun nach einigen notwendigen Vorüberlegungen eine formale Denition des Begris gegeben werden. Die Betrachtungen sind hierbei nicht auf den Anschauungsraum R 3 beschränkt, sondern können auf den R n erweitert werden. Notation. Für zwei Punkte p und q R n ist pq = q p R n der Verbindungsvektor.

13 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 13 Notation. Für zwei Punkte p und q R n ist g(p, q) : = {p + λ pq : λ R} = {p + λ(q p) : λ R} die Verbindungsgerade und = {(1 λ)p + λq : λ R} = {µp + λq : µ, λ R, µ + λ = 1} [p, q] : = {p + λ pq : λ [0, 1] R} = {p + λ(q p) : λ [0, 1] R} die Verbindungsstrecke. = {(1 λ)p + λq : λ [0, 1] R} = {µp + λq : µ, λ R + 0, µ + λ = 1} Denition. Eine Teilmenge K R n heiÿt konvex, wenn für je zwei Punkte p und q K auch [p, q] K gilt (siehe Abbildung 3.1). Abbildung 3.1: Konvexe und nicht konvexe Menge im R 2 Bemerkung. Sei I Indexmenge und seien die Teilmengen K i R n konvex für alle i I. Dann ist der Durchschnitt K i R n wieder konvex. i I Beweis. Seien p und q i I K i R n. Dann sind p und q K i für alle i I. Aus der Konvexität der Teilmengen K i folgt [p, q] K i für alle i I. Somit gilt [p, q] i I K i, d.h. die Schnittmenge i I K i ist wieder konvex. Denition. Sei M R n. Die konvexe Hülle conv(m) ist deniert als der Durchschnitt aller konvexen Teilmengen K R n mit M K. Die konvexe Hülle conv(m) ist oenbar die kleinste konvexe Menge, die M umfasst. Denition. Es seien endlich viele Punkte p 1,..., p k R n gegeben (k N := {1, 2,...}).

14 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 14 Eine Linearkombination λ 1 p λ k p k mit λ 1,..., λ k R heiÿt Ankombination, wenn ist. Gilt zusätzlich λ λ k = 1 λ 1 0,..., λ k 0, so spricht man von einer Konvexkombination. Lemma. Sei K R n konvex und seien p 1,..., p k K (k N), dann enthält K jede Konvexkombination λ 1 p λ k p k. Beweis. Induktion nach k. Induktionsanfang: Die Aussage gilt für k = 1 und k = 2. Der Fall k = 1 ist trivial, der Fall k = 2 gilt auf Grund der Konvexität von K. Induktionvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein k N, k 2. Induktionsschluss (k k + 1): Sei x := λ 1 p λ k p k + λ k+1 p k+1 Konvexkombination. O.B.d.A. kann λ k+1 > 0 angenommen werden. Dann ist auch µ := λ λ k +λ k+1 > 0 und es gilt ( λ2 x = λ 1 p 1 + µ µ p λ k µ p k + λ ) k+1 µ p k+1. Nach Induktionvoraussetzung ist die in der Klammer stehende Konvexkombination in K enthalten. Wegen λ 1 + µ = 1 folgt x K aus dem schon betrachteten Fall k = 2. (vgl. Fischer 2001, S.96f) Satz. Sei M = {p 1,..., p k } R n (k N). Dann lässt sich die konvexe Hülle conv(m) in der Form { k } k conv(m) = λ i p i : λ i = 1, 0 λ i schreiben. { k Beweis. Sei C := λ i p i : i=1 i=1 i=1 k λ i = 1, 0 λ i }. i=1 Um die Aussage zu beweisen, werden im Folgenden die beiden Inklusionen conv(m) C und C conv(m) gezeigt.

15 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 15 conv(m) C: Oensichtlich ist M C. Auÿerdem ist die Menge C konvex: Seien k x := λ i p i C und y := Für λ, µ R + 0 Konvexkombination, da i=1 und λ + µ = 1 ist λx + µy = λ k λ i p i + µ i=1 k µ i p i = i=1 k µ i p i C. i=1 k (λλ i + µµ i )p i i=1 k (λλ i + µµ i ) = λ i=1 k λ i + µ i=1 k µ i = λ + µ = 1 und λλ i + µµ i 0 i=1 für alle i {1,..., k}. Folglich gilt conv(m) C. C conv(m): Da conv(m) R n eine konvexe Menge mit der Eigenschaft {p 1,..., p k } conv(m) ist, folgt mit dem vorangehenden Lemma C conv(m). (vgl. Fischer 2001, S.97) Beispiel. Für zwei Punkte p und q R n ist die konvexe Hülle conv(p, q) gerade die Verbindungsstrecke [p, q]. Hierbei ist conv(p, q) eine verkürzte Schreibweise für conv({p, q}). Deniton. Eine Teilmenge P R n heiÿt konvexes Polyeder, wenn es endlich viele Punkte p 1,..., p k R n (k N) mit { k P = conv({p 1,..., p k }) = conv(p 1,..., p k ) = λ i p i : gibt (siehe Abbildung 3.2). i=1 } k λ i = 1, 0 λ i i=1

16 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 16 Abbildung 3.2: Konvexes und nicht konvexes Polyeder im R Dimension eines konvexen Polyeders Da im Folgenden, insbesondere ab Abschnitt 3.5, häug von der Dimension eines Polyeders gesprochen wird, soll diese hier genau deniert werden. Dazu wird der Begri des anen Unterraums aus der linearen Algebra benötigt. Deniton. Eine Teilmenge X eines K -Vektorraums V (K ist Körper) heiÿt aner Unterraum, falls es ein v V und einen Untervektorraum W V gibt, so dass gilt (siehe Abbildung 3.3). (vgl. Fischer 2002, S.116) X = v + W := {u V : w W mit u = v + w} Abbildung 3.3: Die Gerade X als eindim. aner Unterraum des R 2 Bemerkung. Sei X = v + W V ein aner Unterraum. Dann gilt: a) Für ein beliebiges v X ist X = v + W. b) Ist v V und W V ein Untervektorraum von V mit v + W = v + W, so folgt W = W und v v W. Anders ausgedrückt: Zu einem anen Unterraum v + W ist der Untervektorraum W

17 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 17 eindeutig bestimmt, und der Aufhängepunkt v kann beliebig in X gewählt werden. Beweis. a) Sei v X, d.h. es existiert ein w W mit v = v + w. Es sind nun die beiden Inklusionen X v + W und v + W X zu zeigen. X v + W: Sei u X. Dann gilt u = v + w = (v w ) + w = v + (w w ) mit w W. Damit ist u v + W. v + W X: Sei u v + W, d.h. es existiert ein w W mit u = v + w. Mit v = v + w ergibt sich u = v + (w + w ). Damit ist u v + W. b) Sei X X := {u u : u, u X} die Menge der Dierenzen, so gilt oensichtlich X X = W und X X = W. Also muss W = W gelten. Wegen v + W = v + W gibt es ein w W mit v = v + w. Also ist v v = w W. (vgl. Fischer 2002, S.116f) Denition. Sei V ein K -Vektorraum. Da für einen anen Unterraum X = v + W V der Untervektorraum W eindeutig bestimmt ist, kann durch dimx := dimw die Dimension des Unterraums X erklärt werden. (vgl. Fischer 2002, S.117) Bemerkung. Seien die Punkte p 1,..., p k R n gegeben (k N). Die Menge der Ankombinationen { k } k aff(p 1,..., p k ) := λ i p i : λ i R, λ i = 1 bildet einen anen Unterraum des R n. Beweis. i=1 aff(p 1,..., p k ) = {λ 1 p λ k p k : λ 1,..., λ k R, λ λ k = 1} = { [1 (λ λ k )] p 1 + λ 2 p λ k p k : λ 2,..., λ k R} = {λ 2 (p 2 p 1 ) λ k (p k p 1 ) + p 1 : λ 2,..., λ k R} = {λ 2p1 p λ kp1 p k + p 1 : λ 2,..., λ k R} = p 1 + {λ 2p1 p λ kp1 p k : λ 2,..., λ k R}. } {{ } =:W W ist Untervektorraum des R n und es ist p 1 aff(p 1,..., p k ). i=1

18 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 18 Somit ist aff(p 1,..., p k ) Unterraum des R n. Denition. Sei P = conv(p 1,..., p k ) R n ein konvexes Polyeder (k N). Es gilt oensichtlich conv(p 1,..., p k ) aff(p 1,..., p k ). Folglich kann durch dimp := dim ( aff(p 1,..., p k ) ) die Dimension des Polyeders P erklärt werden. 3.3 Simplizes Im Zusammenhang mit konvexen Polyedern taucht häug der Begri des Simplex (Plural: Simplizes) auf. Er soll deshalb in diesem Unterkapitel kurz erläutert werden. Denition. Es seien die Punkte p 1,..., p k R n gegeben (k N). Das k -Tupel (p 1,..., p k ) heiÿt an unabhängig, wenn das (k 1) -Tupel ( p 1 p 2,..., p 1 p k ) linear unabhängig ist. Entsprechend heiÿt das k -Tupel (p 1,..., p k ) an abhängig, wenn das (k 1) -Tupel ( p 1 p 2,..., p 1 p k ) linear abhängig ist (siehe Abbildung 3.4). Abbildung 3.4: An unabhängige und abhängige Punkte im R 2 Bemerkung. Bei der Denition der anen Unabhängigkeit und Abhängigkeit ist die Reihenfolge der Punkte nicht ausschlaggebend. Das bedeutet, ist das Tupel (p 1,..., p k ) an unabhängig bzw. abhängig, so ist für jede Permutation σ von {1,..., k} auch das Tupel (p σ(1),..., p σ(k) ) an unabhängig bzw. abhängig. Beweis. Die Aussage soll nur für die ane Unabhängigkeit gezeigt werden. Im Fall der anen Abhängigkeit kann der Beweis ähnlich geführt werden. Da die lineare Unabhängigkeit nicht von der Reihenfolge der Vektoren abhängt, genügt

19 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 19 es zu zeigen, dass für jedes i {2,..., k} die Vektoren p i p 1, p i p 2,..., p i p i 1, p i p i+1,..., p i p k linear unabhängig sind, sofern die Vektoren p 1 p 2,..., p 1 p k linear unabhängig sind. Seien also λ 1,..., λ i 1, λ i+1,..., λ k R gegeben mit λ 1 pi p λ i 1 pi p i 1 + λ i+1 pi p i λ k pi p k = 0. Mit p i p j = p i p 1 + p 1 p j und p i p 1 = p 1 p i folgt λ 1 ( p i p 1 + p 1 p 1 ) + λ 2 ( p i p 1 + p 1 p 2 ) λ i 1 ( p i p 1 + p 1 p i 1 ) + λ i+1 ( p i p 1 + p 1 p i+1 ) λ n ( p i p 1 + p 1 p n ) = λ 2p1 p λ i 1p1 p i 1 + (λ λ i 1 + λ i λ k ) p i p 1 + λ i+1p1 p i λ kp1 p k = λ 2p1 p λ i 1p1 p i 1 (λ λ i 1 + λ i λ k ) p 1 p i + λ i+1p1 p i λ kp1 p k = 0. Aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren p 1 p 2,..., p 1 p k folgt (vgl. Fischer 2001, S.21f) λ 2 =... = λ i 1 = λ i+1 =... = λ k = 0 und λ 1 = 0. Dention. Eine Teilmenge S R n heiÿt k-simplex, wenn es k + 1 an unabhängige Punkte p 1,..., p k+1 R n (k N) mit gibt (siehe Abbildung 3.5). S = conv(p 1,..., p k+1 ) = { k+1 } k+1 λ i p i : λ i = 1, 0 λ i i=1 i=1 Abbildung 3.5: Simplizes im R 3

20 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 20 Lemma. Seien p 1,..., p n+1 R n an unabhängig. Dann gibt es für jeden Punkt p R n eine eindeutige Darstellung n+1 p = λ i p i i=1 mit n+1 λ i = 1. i=1 Beweis. Da die Punkte p 1,..., p n+1 R n an unabhängig sind, sind die Vektoren p 1 p 2,..., p 1 p n+1 R n linear unabhängig und bilden daher eine Basis des R n. Folglich lässt sich der Vektor p 1 p in der Form n+1 n+1 n+1 p 1 p = p p 1 = λ ip1 p i = λ i (p i p 1 ) = λ i p i i=2 i=2 i=2 ( n+1 ) λ i p 1 mit eindeutig bestimmten Koezienten λ i darstellen (2 i n + 1). Somit ergibt sich für den Punkt p die eindeutige Darstellung ( n+1 n+1 ) ( ) n+1 n+1 n+1 p = λ i p i λ i p 1 + p 1 = λ i p i + 1 λ i p 1 = λ i p i. i=2 i=2 Hierbei gilt natürlich n+1 i=1 λ i = 1. i=2 i=2 } {{ } =:λ 1 Bemerkung. Sei S = conv(p 1,..., p k+1 ) ein k-simplex (k N). Dann lässt sich jeder Punkt p S eindeutig als Konvexkombination i=2 i=1 darstellen. p = λ 1 p λ k+1 p k+1 Beweis. Da Konvexkombinationen spezielle Ankombinationen sind, lässt sich diese Aussage leicht aus dem vorangehenden Lemma ableiten. Bemerkung. Sei S = conv(p 1,..., p k+1 ) ein k-simplex (k N). Für die Dimension des Simplex gilt dims = k. Beweis. Es ist dims := dim ( aff(p 1,..., p k+1 ) ). Aus Abschnitt 3.2 ist bekannt, dass sich

21 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 21 aff(p 1,..., p k+1 ) schreiben lässt als aff(p 1,..., p k+1 ) = p 1 + {λ 2p1 p λ kp1 p k+1 : λ 2,..., λ k+1 R}. } {{ } =:W Da die Vektoren p 1 p λ kp1 p k+1 wegen der anen Unabhängigkeit der Punkte p 1,..., p k+1 linear unabhängig sind, ist W ein k-dimensionaler Untervektorraum des R n. Hiermit ist aff(p 1,..., p k+1 ) ein k-dimensionaler aner Unterraum des R n, d.h. dims = k. 3.4 Kompaktheit konvexer Polyeder Nachdem in den Abschnitten 3.1 und 3.2 exakt deniert wurde, was unter einem konvexen Polyeder im R n und dessen Dimension zu verstehen ist, soll nun gezeigt werden, dass konvexe Polyeder kompakte Mengen sind. Hierzu müssen aber vorab einige topologische Begrie geklärt werden. Unter dem Symbol soll im Folgenden die euklidische Norm verstanden werden. Denition. Sei p R n und ɛ > 0. Unter der oenen Kugel mit Mittelpunkt p und Radius ɛ > 0 wird die Menge verstanden. B ɛ (p) := {x R n : x p < ɛ} B ɛ (p) wird auch als ɛ-umgebung von p bezeichnet (siehe Abbildung 3.6). Abbildung 3.6: ɛ-umgebung zum Punkt p im R 2 Bemerkung. Sei p R n. Jede oene Kugel B ɛ (p) R n (ɛ > 0) ist konvex. Beweis. Seien x und y B ɛ (p) und sei z [x, y], d.h. z = (1 λ)x + λy mit λ [0, 1].

22 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 22 Dann gilt auf Grund der Dreiecksungleichung z p = (1 λ)x + λy p = (1 λ)x (1 λ)p + λy λp (1 λ) x p + λ y p (1 λ)ɛ + λɛ. } {{ } =ɛ Damit ist z B ɛ (p), d.h. B ɛ (p) ist konvex. Denition. Eine Teilmenge A R n heiÿt oen, wenn es zu jedem Punkt p A ein ɛ > 0 gibt, so dass die ɛ-umgebung B ɛ (p) in A enthalten ist. Denition. Eine Teilmenge A R n heiÿt abgeschlossen, wenn ihr Komplement A C := R n \A oen ist. Denition. Sei A R n. Ein Punkt p R n heiÿt Randpunkt von A, wenn jede ɛ- Umgebung von p sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement A C enthält. Die Menge aller Randpunkte von A wird mit dem Symbol A bezeichnet. Aus Symmetriegründen gilt A C = A. Bemerkung. Eine Teilmenge A R n ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. Beweis. Angenommen, die Menge A sei abgeschlossen, dann ist ihr Komplement A C offen. Dies bedeutet, zu jedem Punkt p A C existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (p) A C. Folglich enthält der Rand A C keine Punkte aus A C, d.h. A C A C =. Wegen A C = A gilt somit auch A A C =. Hieraus folgt A A. Sei umgekehrt A A vorausgesetzt. Angenommen, A wäre in diesem Fall nicht abgeschlossen, d.h. A C wäre nicht oen, so gäbe es mindestens ein p A C, so dass B ɛ (p) A C und somit B ɛ (p) A für alle ɛ > 0 gilt. Das bedeutet p A C und damit auch p A. Nach Voraussetzung gilt aber A A. Folglich wäre p A, was im Widerspruch zu p A C stehen würde. Also ist die Menge A abgeschlossen. Denition. Sei A R n. Ein Punkt p A heiÿt innerer Punkt von A, wenn es ein ɛ > 0 gibt, so dass B ɛ (p) in der Menge A enthalten ist. Die Menge aller inneren Punkte von A wird mit dem Symbol Å bezeichnet. Denition. Eine Teilmenge A R n heiÿt beschränkt, wenn es ein p R n und ein ɛ > 0 gibt, so dass A in der oenen Kugel B ɛ (p) enthalten ist.

23 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 23 Denition. Eine Teilmenge A R n heiÿt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Denition. Eine Teilmenge A R n heiÿt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten p und q A eine stetige Kurve α : [0, 1] A mit α(0) = p und α(1) = q gibt. Man sagt dann, α verbinde p und q (siehe Abbildung 3.7). Abbildung 3.7: Wegzusammenhängende und nicht wegzusammenhängende Menge im R 2 Denition. Sei (q j ) j N eine Folge von Punkten im R n. Die Folge (q j ) j N heiÿt konvergent gegen den Punkt z R n, in Zeichen lim q j = z oder q j z für j, j wenn gilt: Zu jeder ɛ-umgebung von z existiert ein N N mit q j B ɛ (z), d.h. q j, z < ɛ für alle j N. (vgl. Königsberger 2001, S.41; Königsberger 2002, S.9) Bemerkung. Es seien endlich viele Folgen (q (1) j ) j N,..., (q (k) j ) j N im R n (k N) mit q (1) j q (1),..., q (k) j q (k) für j gegeben, dann konvergiert auch die Folge (q (1) j q (k) j ) j N und es gilt lim j (q(1) j q (k) j ) = (q (1) q (k) ).

24 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 24 Beweis. Zu gegebenem ɛ > 0 seien N (1),..., N (k) R so gewählt, dass q (1) j q (1) < ɛ k für alle j N (1), q (k) j q (k) < ɛ k für alle j N (k). Für Indizes j max{n (1),..., N (k) } gelten alle k Ungleichungen, und für diese j folgt auf Grund der Dreiecksungleichung (q (1) j q (k) j ) (q (1) q (k) ) q (1) j q (1) q (k) j q (k) < ɛ. Damit konvergiert die Folge (q (1) j (vgl. Königsberger 2001, S.43f) q (k) j ) j N gegen (q (1) q (k) ). Hilfssatz. (Satz von Carathéodory) Sei M = {p 1,..., p k } R n eine Menge aus endlich vielen Punkten und conv(m) die konvexe Hülle von M. So lässt sich jeder Punkt p conv(m) bereits als Konvexkombination von n + 1 Punkten aus M darstellen (welche dafür nötig sind hängt von p ab). D.h. zu jedem Punkt p conv(m) gibt es i 1 <... < i n+1 {1,..., k}, so dass sich p in der Form p = n+1 m=1 λ m p im mit λ m 0 für alle m {1,..., n + 1} und n+1 m=1 λ m = 1 darstellen lässt (siehe Abbildung 3.8). Gilt zusätzlich dim ( conv(m) ) = n, dann existieren i 1 <... < i n+1 {1,..., k}, so dass sich p als Konvexkombination n+1 m=1 λ mp im mit eindeutig bestimmten λ m 0 schreiben lässt. Abbildung 3.8: Veranschaulichung des Satzes von Carathéodory für ein Polyeder im R 2 : Um p conv(p 1,..., p 4 ) als Konvexkombination darzustellen, genügen bereits drei der vier Punkte p 1,..., p 4, z.b. p 1, p 2 und p 4.

25 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 25 Beweis. Sei p conv(m), d.h. p = k µ i p i mit µ i 0 für alle i {1,..., k} und i=1 k µ i = 1. Sei nun r k die minimale Anzahl von Punkten aus der Menge M, die dazu nötig sind, um p als Konvexkombination darzustellen. O.B.d.A. seien dies die Punkte p 1,..., p r, d.h. r r p = α i p i mit α i 0 für alle i {1,..., r} und α i = 1. i=1 Es genügt nun zu zeigen, dass r n + 1 gilt. Angenommen, es sei r > n + 1, dann sind die Punkte p 1,..., p r an abhängig, d.h. die Vektoren p 1 p 2,..., p 1 p r sind linear abhängig. Dann lässt sich 0 als Linearkombination aus den Vektoren p 1 p 2,..., p 1 p r darstellen mit Koezienten β i (2 i r), die nicht alle gleich null sind: i=1 i=1 0 = = r i=2 β i p1 p i = r β i p i i=2 r β i (p i p 1 ) i=2 ( r ) β i p 1 = i=2 } {{ } =:β 1 r β i p i. i=1 Da r β i = 0 gilt und nicht alle β i (1 i r) gleich null sind, gilt für mindestens ein i=1 i {1,..., r}, dass β i > 0 ist. O.B.d.A. sei β r > 0 und α r β r α i β i ( ) für alle i {1,..., r 1}, für die β i > 0 gilt. Sei nun Es gilt: γ i := α i α r β r β i (1 i r 1). r 1 r 1 ( γ i p i = α i α ) r 1 r β i p i = α i p i α r 1 r β i p i β i=1 i=1 r β i=1 r i=1 r = α i p i α r r r β i p i = α i p i 0 = p. β r i=1 i=1 i=1

26 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 26 Des Weiteren gilt: und γ i 0, denn: r 1 r 1 ( γ i = α i α ) r β i = β r i=1 = i=1 r i=1 α i α r β r r β i = i=1 r 1 i=1 α i α r β r r 1 β i i=1 r α i 0 = 1 i=1 Ist β i 0, dann ist γ i α i, und wegen α i 0 ist dann auch γ i 0. Ist β i > 0, dann gilt wegen ( ) γ i = α i α ( r αi β i = β i α ) r 0. β r β i β r D.h. der Punkt p lässt sich als Konvexkombination aus r 1 Punkten darstellen. Dies widerspricht jedoch der Minimalität von r. Folglich muss r n + 1 gelten. Aus dem Beweis wird auÿerdem ersichtlich, dass die Punkte p 1,..., p r an unabhängig sind. (vgl. Grünbaum 2003, S.15f) Gilt nun zusätzlich dim ( conv(m) ) = n, so nden sich zu den an unabhängigen Punkten p 1,..., p r weitere (n + 1) r Punkte in M (o.b.d.a. seien dies p r+1,..., p n+1 ), so dass p 1,..., p n+1 an unabhängig sind. Dann lässt sich der Punkt p in der Form n+1 p = α i p i i=1 mit α i 0 für alle i {1,..., r}, α i = 0 für alle i {r + 1,..., n + 1} und n+1 α i = 1 i=1 schreiben. Diese Konvexkombination ist, wie bereits unter 3.3 gezeigt wurde, eindeutig. Satz. Jedes konvexe Polyeder P R n ist wegzusammenhängend und kompakt. Beweis. Da die Menge P ein konvexes Polyeder im R n ist, existieren endlich viele Punkte p 1,..., p k (k N) mit P = conv(p 1,..., p k ). O.B.d.A. sei dimp = n. Oensichtlich ist P wegzusammenhängend, da P konvex ist. Denn für je zwei Punkte p und q P ist α : [0, 1] P, λ (1 λ)p + λq

27 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 27 eine stetige und sogar lineare Kurve mit α(0) = p und α(1) = q. Um die Kompaktheit von P zu beweisen, muss gezeigt werden, dass P beschränkt und abgeschlossen ist. Beschränktheit: Seien ρ i := p i 0 = p i R (1 i k) die Abstände der Punkte p 1,..., p k zum Nullpunkt 0 R n des Koordinatensystems. Sei R R so gewählt, dass R > max{ρ 1,..., ρ k } ist. Damit gilt p i B R (0) für alle i {1,..., k}. Da B R (0) auÿerdem konvex ist, folgt P B R (0), d.h. P ist beschränkt (siehe Abbildung 3.9). Abbildung 3.9: Beschränktheit des konvexen Polyeders conv(p 1, p 2, p 3 ) in R 2 Abgeschlossenheit: Es genügt zu zeigen, das P P gilt. Sei z P. Jede ɛ-umgebung von z (ɛ > 0) enthält neben Punkten aus P C auch Punkte aus P. D.h. es existiert eine Folge (q j ) j N mit q j P und q j z für j. Da dimp = n vorausgesetzt ist, existieren nach dem vorangehenden Hilfssatz zu jedem Punkt q j (j N) i 1 <... < i n+1 {1,..., k}, so dass sich q j als Konvexkombination q j = n+1 m=1 λ (j) m p im mit eindeutig bestimmten λ (j) m 0 schreiben lässt. Die Auswahl von i 1 <... < i n+1 {1,..., k} hängt natürlich von j ab. Es gibt nur endlich viele (genauer ( k n+1) ) Möglichkeiten, (n+1) -elementige Teilmengen der Menge {1,..., k} zu bilden. Folglich existiert eine Teilfolge (q jl ) l N der Folge (q j ) j N, so dass i 1 <... < i n+1 für alle Glieder q jl der Teilfolge gleich sind. Die Teilfolge konvergiert für l ebenfalls gegen z.

28 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 28 Die Glieder dieser Teilfolge haben die Gestalt: q jl = n+1 m=1 λ (j l) m p im. Aus der Konvergenz von (q jl ) l N folgt die Konvergenz der Koezientenfolge (λ (j l) m ) l N für l (m {1,..., n + 1}). Es sei lim l λ(j l) m := λ m R für ein festes (m {1,..., n + 1}). Dann lässt sich z folgendermaÿen schreiben: z = n+1 m=1 λ m p im. Da für alle m {1,..., n + 1} die Folgenglieder λ (j l) m auch die Konvergenzwerte λ m in diesem Intervall. ) Des weiteren konvergiert die Folge Wert 1, da n+1 Somit gilt: m=1 ( n+1 λ (j l) m = 1 für alle l N. m=1 n+1 m=1 λ (j l) m l N λ m = 1. Insgesamt folgt z P und schlieÿlich P P. im Intervall [0, 1] R liegen, liegen für alle m {1,..., n + 1} gegen den 3.5 Denition regelmäÿiger Polyeder Während die bisherigen Überlegungen allgemein für den R n gelten, sollen alle Betrachtungen in den folgenden drei Abschnitten auf den Anschauungsraum R 3 beschränkt werden. In diesem Unterkapitel soll zunächst der Begri des regelmäÿigen Polyeders, der bereits unter 2.1 erklärt wurde, mathematisch exakt deniert werden. Denition. Sei P = conv(p 1,..., p k ) R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3 (d.h. k 4). Der Punkt E := p i (1 i k) heiÿt Ecke des Polyeders, wenn P \E konvex ist. Denition. Sei P = conv(p 1,..., p k ) R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3 (k 4)

29 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 29 und seien die Punkte p i und p j Ecken des Polyeders (1 i < j k). Die Strecke K := [p i, p j ] heiÿt Kante des Polyeders, wenn P \K konvex ist. Anmerkung. Bei der Denition der Polyederkante kann nicht auf die Forderung verzichtet werden, dass die Punkte p i und p j Ecken sind. Betrachtet man beispielsweise das konvexe Polyeder P = conv(p 1,..., p 5 ) in Abbildung 3.10, so stellt man fest, dass P \[p 1, p 2 ] zwar konvex ist, [p 1, p 2 ] jedoch keine Kante des Polyeders darstellt. Abbildung 3.10: Denition der Kante Denition. Sei P = conv(p 1,..., p k ) R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3 (k 4) und seien die Punkte p i1,..., p is Ecken des Polyeders (i 1 <... < i s {1,..., k}). Die konvexe Hülle F := conv(p i1,..., p is ) heiÿt Seitenäche des Polyeders, wenn gilt: a) dimf = 2 b) P \F ist konvex c) Es existieren keine weiteren Eckpunkte p is+1,..., p ir {p 1,..., p k }\{p i1,..., p is } (r > s) mit F conv(p i1,..., p ir ) und dim ( conv(p i1,..., p ir ) ) = 2. Anmerkung. Bei der Denition der Seitenäche kann auf Bedingung c) nicht verzichtet werden, wie z.b. das Polyeder P in Abbildung 3.11 zeigt. Für das Dreieck F := conv(p 1,..., p 3 ) gilt zwar dimf = 2 und P \F ist auch konvex. Jedoch ist das Dreieck F keine Seitenäche des Polyeders. Abbildung 3.11: Denition der Seitenäche

30 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 30 Denition. Eine Abbildung f : R 3 R 3 heiÿt Isometrie, wenn für alle Punkte p und q R 3 gilt f(p) f(q) = p q, d.h. alle Abstände und damit auch Winkel bleiben unter der Abbildung unverändert. Denition. Ein konvexes Polyeder P R 3 heiÿt regelmäÿig oder Platonisch, wenn alle Ecken, Kanten und Flächen gleichberechtigt sind, d.h. wenn es zu je zwei Ecken, Kanten bzw. Flächen eine Isometrie f von R 3 mit f(p ) = P gibt, die die beiden ineinander überführt. 3.6 Eulersche Polyederformel Im Folgenden soll die Eulersche Polyederformel für konvexe Polyeder im R 3 hergeleitet werden. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines solchen Polyeders. Dention. Für zwei Punkte p und q R 3 wird die Menge [p, q := {p + λ(q p) : λ R + 0 } als Halbgerade oder Strahl mit dem Anfangspunkt p durch den Punkt q bezeichnet. Lemma. Sei P R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3. Dann gibt es einen Punkt p P und ein ρ > 0, so dass die Sphäre S := {x R 3 : x p = ρ} in P C enthalten ist und die Zentralprojektion mit Zentrum p z : P S, r [p, r S eine bijektive Abbildung ist (siehe Abbildung 3.12). Abbildung 3.12: Veranschaulichung der Zentralprojektion

31 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 31 Beweis. Da P ein konvexes Polyeder der Dimension 3 ist, gibt es einen Punkt p im Inneren des Polyeders, d.h. p P. Dieser Punkt p sei das Projektionszentrum der Zentralprojektion. Des Weiteren ist das Polyeder P beschränkt, d.h. es gibt einen Punkt a R 3 und ein ɛ > 0, so dass P B ɛ (a). Das bedeutet, für je zwei Punkte x und y P gilt x y < 2ɛ. Sei nun ρ := 2ɛ. Mit dieser Wahl von ρ gilt oensichtlich S P C, d.h. die Sphäre um Punkt p umgibt das Polyeder ohne es zu schneiden oder zu berühren. Da p P ist und damit p r für alle r P gilt, hat die Strecke [p, r] für alle r P die Dimension 1. Wird die Strecke [p, r] zur Halbgeraden [p, r verlängert, so schneidet diese die Sphäre S in genau einem Punkt. Somit ist die Abbildung z : P S, r [p, r S wohldeniert. Surjektivität der Abbildung: Sei s S. Es gibt einen Punkt t [p, s], t p und t s, so dass [p, t] P und ]t, s] P C mit ]t, s] := [t, s]\{t}. Der Punkt t ist Randpunkt von P und es gilt z(t) = [p, t S = s. D.h. zu jedem Punkt s S ndet sich ein Urbild t P mit z(t) = s. Injektivität der Abbildung: Seien r 1 nd r 2 P mit z(r 1 ) = z(r 2 ), d.h. [p, z(r 1 ) = [p, z(r 2 ) =: h. Es gilt oensichtlich r 1 h und r 2 h. Angenommen, es sei r 1 r 2. O.B.d.A. sei r 1 näher am Punkt p als r 2, d.h. r 1 p < r 2 p. Da p im Inneren des Polyeders liegt, existiert ein ɛ p > 0, so dass B ɛp (p) in P enthalten ist. Es soll nun der Kegel K betrachtet werden, dessen Symmetrieachse die Halbgerade h ist, dessen Spitze bei r 2 liegt und dessen Grundäche der Kreis um p mit Radius ɛ p ist, der senkrecht auf h steht. Wegen B ɛp (p) P und r 1 P und auf Grund der Konvexität von P ist der Kegel K Teilmenge von P. Der Punkt r 1 liegt im Inneren des Kegels auf der Halbgeraden h. Somit gibt es ein ɛ r1 > 0, so dass B ɛr1 (r 1 ) K P ist. Dies steht aber im Widerspruch zu r 1 P. Also muss die Annahme r 1 r 2 falsch gewesen sein und es gilt r 1 = r 2. Insgesamt ist somit die Bijektivität der Zentralprojektion begründet.

32 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 32 Satz. (Eulersche Polyederformel) Sei P R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3 und seien e, k und f die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Polyeders. Dann gilt e k + f = 2. Beweis. Man bildet den Rand und hiermit die Ecken, Kanten und Flächen des Polyeders durch eine Zentralprojektion, wie sie im vorangehenden Lemma beschrieben ist, auf eine das Polyeder umschlieÿende Sphäre ab. Im weiteren Beweis werden unter Ecken, Kanten und Flächen die Bilder der Ecken, Kanten und Flächen des Polyeders auf der umgebenden Kugel verstanden. Das Projektionszentrum soll so gewählt werden, dass der Nordpol Np der Kugel im Inneren einer Fläche F liegt und der Südpol Sp mit einer Ecke E zusammenfällt. Durch die Projektion ergibt sich ein zusammenhängendes Netz aus Ecken und Kanten auf der Sphäre. Zusammenhängend bedeutet, dass je zwei beliebige, voneinander verschiedene Ecken durch einen Kantenzug (K 1,..., K m ) (m N) verbunden sind, bei dem der Endpunkt der Kante K j der Anfangspunkt der Kante K j+1 ist (j {1, 2,..., m 1}) (vgl. Müller/Wölpert 1976, S.44f). Dieses Netz wird nun sukzessive durch Entfernen von Kanten vom Nordpol zum Südpol hin abgebaut werden, so dass das jeweils neu entstandene Netz wieder zusammenhängend ist. Bei diesem Vorgehen wird die Fläche F immer gröÿer und am Ende dieses schrittweisen Abbaus wird nur noch der Punkt E übrig sein. Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Kante wegzunehmen. Sie sind im Folgenden dargestellt. Die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen vor dem Entfernen einer Kante sei mit e, k und f, und nach dem Entfernen mit e, k und f bezeichnet. a) Entfernen einer Kante, die an beiden Enden mit anderen Kanten zusammenstöÿt: Abbildung 3.13: Entfernen einer Kante - Fall a) Wie Abbildung 3.13 zeigt, soll die gestrichelte Kante entfernt werden. Die beiden Endpunkte der Kante sollen aber nicht weggenommen werden, da diese auch noch zu anderen Kanten gehören.

33 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 33 Nach Wegnehmen der Kante ergibt sich für e, k und f : e = e k = k 1 f = f 1. Hiermit ergibt sich e k + f = e k + f. b) Entfernen einer Kante, die nur mit einem Ende an andere Kanten stöÿt: Abbildung 3.14: Entfernen einer Kante - Fall b) Wie Abbildung 3.14 zeigt, soll die gestrichelte Kante entfernt werden. Es soll aber nur der Endpunkt der Kante mit entfernt werden, den diese nicht mit anderen Kanten gemeinsam hat. Nach Wegnehmen der Kante ergibt sich für e, k und f : Hiermit ergibt sich wieder e = e 1 k = k 1 f = f. e k + f = e k + f. Wurde das Netz, wie unter a) und b) erläutert, abgebaut, so bleibt nur noch eine Kante übrig, die im Punkt E endet. Nun wird auch diese, wie Abbildung 3.15 zeigt, mit Ausnahme des Punktes E noch entfernt.

34 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 34 Abbildung 3.15: Entfernen der letzten Kante Bei diesem letzten Schritt gilt wieder: d.h. e = e 1 k = k 1 f = f e k + f = e k + f. Ist nun nur noch der Punkt E übrig, so lässt sich die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen leicht bestimmen: d.h. e = 1 k = 0 f = 1 e k + f = 2. Da beim Abbau des Netzes die Summe e k + f nie verändert wurde, muss schon das ursprüngliche Netz, welches gerade die Projektion des Polyeders darstellt, die Gleichung e k + f = 2 erfüllt haben. Anmerkung. Die Beziehung e k + f = 2 gilt oensichtlich für jedes beliebige zusammenhängende Netz auf einer Kugel. Es liegt nun nahe, anzunehmen, dass diese Aussage auch für zusammenhängende Netze auf jeder beliebigen Fläche, wie beispielsweise dem Torus, richtig ist. Dies ist jedoch nicht der Fall. Zwar kann ein zusammenhängendes Netz auf dem Torus, wie auch auf der Kugel, schrittweise abgebaut werden bis nur mehr ein Punkt und eine Fläche übrig ist. Allerdings lässt sich von der Beziehung e k + f = = 2 in der Endsituation nicht darauf schlieÿen, dass der Zu-

35 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 35 sammenhang auch für das ursprüngliche Netz gilt, da sich die Summe e k + f beim schrittweisen Entfernen der Kanten geändert haben kann. Dies ist in Abbildung 3.16 dargestellt. Hierbei werden von Abbildung a) nach b) und von b) nach c) jeweils zwei Kanten entfernt. Abbildung 3.16: Zusammenhängendes Netz auf dem Torus Das Beweisverfahren, das für das Netz auf der Kugel angewandt wurde, kann nicht auf den Torus übertragen werden, da er sich von der Kugel topologisch unterscheidet. Die Kugeloberäche ist eine einfach zusammenhängende Fläche, d.h. jede einfach geschlossene Kurve auf der Sphäre zerlegt diese in zwei Teile (siehe Abbildung 3.17a). Auf dem Torus hingegen können, wie Abbildung 3.17b zeigt, zwei einfach geschlossene Kurven eingezeichnet werden, welche den Torus nicht in einzelne Stücke teilt. Der Torus ist dreifach zusammenhängend. Allgemein wird eine Fläche als n-fach zusammenhängend bezeichnet, wenn die maximale Anzahl einfach geschlossener Kurven auf dieser Fläche, die diese nicht zerlegen, n 1 beträgt (vgl. Müller/Wölpert 1976, S.124). Abbildung 3.17: Begri des Zusammenhangs Anmerkung. Um die Eulersche Polyederformel zu beweisen, ist es nicht unbedingt notwendig, das Polyeder auf eine umgebende Sphäre zu projizieren. Die Aussage kann auch in der Ebene bewiesen werden, nachdem man das konvexe Polyeder in diese abgebildet hat. Dies geschieht, indem eine beliebige Seitenäche des Polyeders entfernt wird und alle anderen Seitenächen so verzerrt werden, bis sie in einer Ebene liegen. In Abbildung

36 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder ist dies am Beispiel des Würfels gezeigt. Es ist darauf zu achten, dass bei der Deformation keine Eckpunkte zur Deckung gebracht werden und keine neuen Ecken durch das Kreuzen von Kanten entstehen. Das so gewonnene ebene Netz besitzt ebenso viele Ecken und Kanten wie das Polyeder. Die Flächenzahl ist hingegen ist um eins reduziert, da eine Seitenäche des Polyeders entfernt wurde. Abbildung 3.18: Abbildung des Würfels in die Ebene durch Deformation (vgl. Cohn- Vossen/ Hilbert 1996, S.129) Das ebene Netz wird nun so verändert, dass die Summe e k + f konstant bleibt, die Struktur des Netzes aber vereinfacht wird. Besitzt das ebene Netz eine Fläche, die durch mehr als drei Kanten begrenzt wird, so unterteilt man diese Fläche durch Einfügen einer Diagonalen. Hierdurch nehmen die Kanten- und Flächenzahl je um eins zu, während die Anzahl der Ecken unverändert bleibt, d.h. die Summe e k + f bleibt gleich. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis das Netz nur noch aus Dreiecken besteht. Fügt man einem solchen Netz aus Dreiecken entlang einer Kante ein weiteres Dreieck an, so dass die beiden Enden der Kante Ecken des hinzugefügten Dreiecks sind (siehe Abbildung 3.19), so erhöht sich die Zahl der Ecken und Flächen jeweils um eins, die Zahl der Kanten um zwei. Dabei ändert sich die Summe e k + f nicht. Abbildung 3.19: Aufbau eines Dreiecksnetzes - Fall 1 Ebenso bleibt die Summe unverändert, wenn an einer Einbuchtung des Netzumfangs, also an einer konkaven Stelle des Umfangs, eine Kante eingefügt wird, so dass ein neues Dreieck entsteht (siehe Abbildung 3.20). Denn hierbei bleibt die Anzahl der Ecken konstant, die Zahl der Kanten und Flächen wächst jedoch um eins.

37 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 37 Abbildung 3.20: Aufbau eines Dreiecksnetzes - Fall 2 Es ist leicht einzusehen, dass jedes beliebige Dreiecksnetz aus einem einzelnen Dreieck aufgebaut werden kann, wenn die beiden Operationen, welche in den Abbildungen 3.19 und 3.20 dargestellt sind, wiederholt angewandt werden. Für das Ausgangsdreieck gilt e k + f = = 1. Nach obigen Ausführungen gilt dieser Zusammenhang nun auch für jedes beliebige Dreiecksnetz in der Ebene und damit auch für jedes andere ebene Netz. Insbesondere gilt die Beziehung auch für das Netz, das aus dem Polyeder hervorging. Da dieses aber eine Fläche weniger besitzt als der zugehörige Körper, gilt für das Polyeder e k + f = 2 (vgl. Cohn-Vossen/Hilbert 1996, S.255f). 3.7 Verallgemeinerung des Satzes von Euklid In diesem Abschnitt wird der Satz von Euklid noch einmal aufgegrien. Dieser soll nun aber etwas allgemeiner formuliert werden. Die Aussage aus Kapitel 2.1 stellt lediglich einen Spezialfall der im Folgenden bewiesenen allgemeinen Form des Satzes von Euklid dar. Satz. (Verallgemeinerung des Satzes von Euklid) Sei P R 3 ein konvexes Polyeder mit dimp = 3 und seien e, k und f die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen. Auÿerdem erfülle P folgende Eigenschaften: a) Alle Flächen besitzen n Ecken, d.h. alle Flächen sind n-ecke (n 3). Die n-ecke müssen nicht notwendig kongruent sein. b) In jeder Ecke des Polyeders stoÿen genau r Stück der n-ecke an (r 3). Unter diesen Bedingungen gibt es für n und r nur folgende fünf Kombinationsmöglichkeiten: i) n = 3 und r = 3 wie beim Tetraeder ii) n = 3 und r = 4 wie beim Oktaeder iii) n = 3 und r = 5 wie beim Ikosaeder iv) n = 4 und r = 3 wie beim Würfel v) n = 5 und r = 3 wie beim Dodekaeder.

38 3 Formale Betrachtung konvexer Polyeder 38 Beweis. Eine einzelne Fläche des Polyeders besitzt n Ecken und damit auch n Kanten. Betrachtet man alle Flächen des Polyeders, so ergibt sich für die Anzahl k der Kanten k = fn 2. Es wird durch 2 geteilt, da ansonsten jede Kante doppelt gezählt würde. Für die Anzahl der Flächen f erhält man hieraus f = 2k n. Des Weiteren treen in jeder Ecke des Polyeders r Stück n-ecke zusammen, d.h. in einer Ecke laufen r Kanten zusammen. Da es insgesamt e Ecken gibt, ergibt sich für die Anzahl der Kanten des Polyeders k = re 2. Auch hier muss wieder durch 2 geteilt werden, damit keine Kante doppelt gezählt wird. Für die Anzahl der Ecken e folgt e = 2k r. Nun wird die Eulersche Polyederformel verwendet und darin die Anzahl der Ecken und der Flächen durch die soeben hergeleiteten Beziehungen ersetzt: 2 = e k + f = 2k r k + 2k ( 2 n = k r ) n = k 2n rn + 2r. rn Hieraus folgt: 2rn k = 2n rn + 2r. Da es mindestens eine Kante gibt, also k N gilt, muss der Nenner des Bruches positiv sein: 2n rn + 2r > 0 bzw. rn 2n 2r < 0. Es wird nun das Produkt (n 2) (r 2) = nr 2n 2r + 4 betrachtet. Mit n 3 und r 3 ergibt sich folgende Ungleichung: Da nr 2n 2r < 0 ist, folgt 0 < (n 2) (r 2). } {{ } =nr 2n 2r+4 (n 2) (r 2) 3