Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

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1 Kapitel 8 Platonische Körper Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen erfüllen: Die Begrenzungsflächen sind regelmäßige Vielecke, die untereinander kongruent sind An jeder Ecke stoßen gleichviel Flächen zusammen Die Körper sind konvex; d.h. alle Verbindungsstrecken zweier Punkte liegen vollständig im Innern. ( Anschaulich: es gibt keine Dellen) Ein regelmäßiges (d.h. gleichseitiges) Dreieck hat den Innenwinkel 60 ; das regelmäßige Viereck (Quadrat) 90 ; das regelmäßige Fünfeck 108 und das regelmäßige Sechseck 10. An einer Ecke des Körpers müssen mindestens drei Flächen zusammenstoßen, die Winkelsumme der Flächen-Ecken muss unter 360 liegen. Damit können an einer Ecke nur drei, vier oder fünf Dreiecke, drei Vierecke oder drei Fünfecke zusammenstoßen. Außer den im folgenden behandelten fünf platonischen Körpern kann es also keine weiteren geben. 8-1

2 8.1 ganz einfach: Der Würfel (Hexaeder) Würfel = Kubus (grch kubos, Spielwürfel; engl cube; frz. cube). Einer der fünf regelmäßigen (platonischen) Körper. Er wird von 6 Quadraten begrenzt. Der Würfel besitzt 8 Ecken, 1 Kanten und 6 Flächen. ( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik) Dieser hier abgebildete Würfel Würfel hat die acht Eckpunkte A(1,1,1) B(-1,1,1) C(-1-1,1) D(1,-1,1) E(1,1,-1) F(-1,1,-1) G(-1-1,-1) H(1,-1,-1) Der Ursprung des Koordinaten-Systems ist sein Mittelpunkt. Beachte, dass er die Kantenlänge hat. Wir werden diesen Würfel benutzen, um die Koordinaten der Eckpunkte der anderen Platonischen Körper herzuleiten. 8-

3 8.1.1 Volumen des Würfels Beim obigen Würfel ist lediglich zu beachten, dass die Kantenlänge LE ist. V = a 3 (8.1) = ( LE) 3 = 8 LE 3 (8.) 8. Tetraeder Tetraeder(engl. regular tetrahedron; frz. tetraedre). Ein regelmäßiger (platonischer) Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird. Der Tetraeder besitzt 4 Ecken, 6 Kanten und vier Flächen; Er ist zu sich selbst dual. ( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik) Dieser Tetraeder hat die Eckpunkte A(1,1,1) C(-1-1,1) F(-1,1,-1) H(1,-1,-1) Seine Kantenlänge ist die Diagonale eines der Quadrate, also. 8-3

4 8..1 Volumen eines Tetraeders Für alle Pyramiden gilt (vgl. Mathebuch Seite 119): V = 1 Ah (8.3) 3 Im Klassen-Unterricht Mathematik hast Du wahrscheinlich das Volumen eines Tetraeders berechnet, indem du zuerst die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks als Grundfläche bestimmt hast. Dann wurde der Fußpunkt der Höhe und die Höhe bestimmt 1. Wir werden sehen, dass wir es mit unserem Ansatz einfacher haben: In der obigen Zeichnung ist erkennbar, dass vom Würfel mit dem Volumen V W = 8LE die vier gleichgroßen Pyramiden P ABCF,P AEHF,P HGFC und P ACDH fehlen. Für alle Pyramiden gilt : V = 1 Ah (8.4) 3 Wenn wir beider Pyramide P ABCF das Dreieck ABC (rechtwinklig, Kantenlänge ) und die Strecke BF als Höhe wählen erhalten wir: V ABCF = 1 ( ) = 4 (8.5) 3 Damit ist das Volumen des Tetraeders: V T = = 8 3 (8.6) Dies ist aber das Volumen des Tetraeders mit der Kantenlänge. Wir müssen es zuerst noch auf die des Tetraeders mit der Kantenlänge a umrechnen: V T = 8 3 a 3 ( ) = a3 3 1 (8.7) 1 siehe z.b.kuypers et. al; Mathematik 10. Schuljahr; Berlin 1995; S.11; Aufgabe 3 vgl. im o.a. Mathebuch Seite

5 8.3 Oktaeder Das Oktaeder (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit acht gleichseitigen (kongruenten) Dreiecken als Flächen zwölf (gleich langen) Kanten und sechs Ecken, in denen jeweils vier Dreiecke aneinander liegen. Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche). Oktaeder und Hexaeder (Würfel) sind zueinander duale Polyeder. Die Eckpunkte des abgebildeten Oktaeders sind offensichtlich die sechs Einheitspunkte aus den Koordinatenachsen: R(0,0, 1) S(1,0,0) T(0,1,0) U( 1,0,0) V(0, 1,0) W(0,0,1) Die Kantenläge des Oktaeders ist die Diagonale im Einheitsquadrat mit der Länge. 8-5

6 8.3.1 Volumen eines Oktaeders Wir berechnen mit der bekannten Formel für das Volumen einer Pyramide das Volumen der oberen Hälfte. Die Grundfläche ist das Quadrat Q STVU mit der Fläche ; die Höhe von W auf dies Quadrat ist die Stecke zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt (0 0 1) und hat die Länge 1. V = 1 3 A h (8.8) V STVUW = = 3 V Okt aeder = V STVUW = 4 3 (8.9) (8.10) Wir müssen wieder noch auf das Volumen des Oktaeders der Kantenlänge a umrechnen: V O = 4 3 a 3 3 = 3 a3 (8.11) 8-6

7 8.4 Dodekaeder Ein Dodekaeder (von griech. Zwölfflächner) ist (allgemein) ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel wird damit oft ein platonischer Körper gemeint, nämlich das (regelmäßige) Pentagondodekaeder, ein Körper mit 1 (kongruenten) regelmäßigen Fünfecken als Flächen 0 Ecken, in denen immer drei dieser Fünfecke zusammentreffen 30 (gleich langen) Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist. Die Konstruktion des Dodekaeders kann man sich so vorstellen, dass man auf alle sechs Seitenflächen eines Würfels kongruente Walmdächer setzt. Dies ist in der Abbildung für drei Seiten der sechs Würfelseiten dargestellt. Beachte: Der Würfel in dieser Abbildung hat die acht Eckpunkte A(1,1,1); B(-1,1,1); C(-1-1,1); D(1,-1,1); E(1,1,-1); F(-1,1,-1); G(-1-1,-1) und H(1,-1,-1) - der Ursprung des Koordinaten-Systems ist also auch sein Mittelpunkt. Beachte ferner, dass er die Kantenlänge hat. 8-7

8 Nun müssen wir die Höhe h und die Länge der Oberseite - ich bezeichne sie mit s - so wählen, dass das Fünfeck AKLBM regelmäßig wird. Da der Würfel ein regelmäßiger Körper ist, folgt dann dass alle anderen - auf die gleiche Art erzeugten - Fünfecke auch regelmäßig sind; wir haben dann also einen Dodekaeder. So, wie wir den Würfel festgelegt haben, haben die Punkte K,L,M die folgenden Koordinaten: K(s 1 + h 0), L( s 1 + h 0) und M(0 s 1 + h). Da das Fünfeck AKLBM regelmäßig sein soll, muss nun gelten: Durch quadrieren erhält man: AK = KL = (1 s) + h + 1 = s (8.1) AL = AB = (1 + s) + h + 1 = (8.13) (8.14) (1 s) + h + 1 = 4s (8.15) (1 + s) + h + 1 = 4 (8.16) Subtrahiere ich diese beiden Gleichungen voneinander, so folgt: 4s = 4s 4 (8.17) s + s 1 = 0 (8.18) von den beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung s 1 = 1 ( 5 1); s = 1 ( 5 1) (8.19) ist nur die erste positiv, also muss gelten: Weiter ist: s = 1 ( 5 1) 0,6180 (8.0) s = 1 4 ( = 1 (3 5) (8.1) h = s s = s s = ( 5 + 1) ( 5 1) (8.) = 1 (3 5) = s (8.3) 8-8

9 also: Aus Symmetriegründen ist : h = s = 1 ( 5 1) (8.4) BL = AK (8.5) BK = AL (8.6) Durch die Konstruktion der Punkte K,L,M ist leicht zu sehen, dass BL = BM = AK ist. Das Fünfeck AKLBM hat also fünf gleich lange Seiten Trotzdem wäre es noch möglich, dass das Fünfeck an der Kante AB abgeknickt, also nicht eben wäre. Dies kann ich dadurch widerlegen, dass ich zusätzlich zeige, dass alle Diagonalen gleich lang sind. Wir wissen schon, dass AB = AL = ist. Wieder ist leicht zu sehen, dass AL und BK gleich lang sind. Falls ich nun zeigen kann, dass auch MK = - und damit auch ML = gilt, kann das Fünfeck AKLBM nur regulär sein. Es ist M(0 s 1 + s) und K(s s + 1 ) Damit errechne ich: MK = s (1 + s) (8.7) = s + s + (8.8) = (3 5) + ( 5 1) + = 4 = (8.9) Damit kann ich die Eckpunkte des Dodekaeders angeben (die Eckpunkte des Würfels sind ja auch Ecken des Dodekaeders): (ich habe auch gleich die Koordinaten für die Darstellung in der Kavalierperspektive mit angegeben) Würfel: A B C D E F G H = ,5 3,5 1,5 3 1,5 1,5 3 1,5 1 1, 5 3, 5 (8.30) 8-9

10 Walmdächer: es ist s = 1 ( 5 1) 0,6180 K L M N O P Q R S T U V = s s s 1 + s 0 0 s 1 + s 0 s 1 + s 1 + s 0 s 1 + s 0 s (1 + s) 0 s (1 + s) 0 s s (1 + s) 0 s (1 + s) 0 0 s (1 + s) 0 s (1 + s) s s + s 3s + s (s + 1) s (s + 1) (s + 1) 5s 1 (s + 1) 3s 1 (s + 1) 5s 1 (s + 1) 1 3s s s s 3s s (s + 1) s (s + 1),6 0,3 3,9 0,3 1, 3, 1, 3, 1,6, , 4 1,6,0 1,6 0,4,6 0,3 3,9 0,3 1, 3, 1, 3, (8.31) (8.3) Die zwölf Flächen sind : APOEK AKLBM AMNDP QCNMB QBLFR QRGSC SCNDT SGRQC SGVHT UFLKE UFRGV UEOHV Volumen des Dodekaeders Um das Volumen des Dodekaeders zu berechnen, zerlegen wir ihn in sieben Teilkörper: den Würfel sechs Walmdächer (z.b. in Abb ) mit den Eckpunkten AKEFLB) 8-10

11 Jedes Walmdach zerlegen wir weiter in: zwei Pyramiden (hier: F v ABF h F und DE v E h CE) ein dreiseitiges Prisma E v F v F h E h EF Bei der Pyramide ist die Grundfläche das Recheck mit A Py = F v A AB = (1 s) und der Höhe s = h, also V Py = 1 s(1 s) (8.33) 3 = 3 (s s ) (8.34) = 3 ( ) (8.35) = 3 ( 5 ) (8.36) Als Grundfläche des Prismas wähle ich das Dreieck F v F h F mit der Grundseite und der Höhe h=s, also der Grundfläche A Pr = 1 s = s und der Höhe FE = s. Damit ist das Volumen des Prismas: V Pr = s s = s (8.37) = 1 (3 5) (8.38) = 3 5 (8.39) Das ganze Dodekaeder setzt sich also zusammen aus einem Würfel, zwölf Pyramiden und sechs Prismen mit dem Volumen: 8-11

12 V D = V W + 6V Pr + 1V Py (8.40) = (3 5) ( 5 ) (8.41) = (8.4) = (8.43) Dies ist das Volumen des Dodekeaeders mit der Seitenlänge s = 5 1. Der Dodekeaeder mit der Seitenlänge a hat dann das Volumen V D = a3 V D (s) 3 (8.44) = a (8.45) = a ( ) (8.46) 8-1

13 8.5 Ikosaeder Ikosaeder (griech. eikosi zwanzig, hedra Grund, Grundfläche; engl. icosahedron; frz. icosaeder) Zwanzigflächner, Zwanzigflach, einer der fünf platonischen Körper. Er wird von 0 gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Ikosaeder besitzt 1 Ecken, 30 Kanten und zwanzig Flächen. ( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik) Wir wollen den Ikosaeder mit wxmaxima/gnuplot darstellen. Dazu brauchen wir die Koordinaten der Eckpunkte. Die 1 Punkte lassen sich - wie in der Zeichnung auf die Mittellinien eines Würfels legen. Der Würfel hat die acht Eckpunkte A w (1,1,1) B w ( 1,1,1) C w ( 1 1,1) D w (1, 1,1) E w (1,1, 1) F w ( 1,1, 1) G w ( 1 1, 1) H w (1, 1, 1) Der Ursprung des Koordinaten-Systems ist also auch sein Mittelpunkt. Beachte, dass er die Kantenlänge hat. Wir betrachten jetzt das schraffierte Dreieck mit den Eckpunkten A(0, s, 1); B(0, s,1) und C(1,0, s): Es muss gleichseitig sein. Offensichtlich ist AB = s; also müssen auch AC und BC diese Länge haben. Für sie gilt: 8-13

14 AB = s = 1 + s + (1 s) = s s + 1 (8.47) Diese Gleichung hat die positive Lösung 4s = s s + 1 (8.48) 0 = s + s 11 (8.49) (8.50) s = 1 ( 5 1) 0,6180 (8.51) (Die zweite Lösung s = 1 ( 5 1) 1,6180 ist eindeutig negativ und damit nicht relevant ) Überraschend ist es, dass die Kantenlänge des in einen Würfel einbeschriebenen Ikosaeders und die des umbeschriebenen Dodekaeders gleich sind Zeichne einen in einen Würfel einbeschriebenen Ikosaeder mit wxmaxima! Hinweis: Definiere eine Konstante s! 8-14