Rechenregeln für Summen

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1 Rechenregeln für Summen Im Umgang mit Summen sind gewisse Regeln zu beachten. 1 Summe gleicher Summanden Betrachten wir folgende Summe: x Hier enthält x keinen Summationsindex, d.h. es wird x einfach n-mal aufsummiert: x x + x x nx {{ n mal Eine ähnliche Situation besteht bei folgender Summe: x l Hier besitzt x zwar einen Summationsindex, aber dieser ist ungleich dem Index des Summenzeichens, d.h. x l ist in diesem Fall ebenfalls als Konstante zu behandeln: x l nx l Multiplikation mit einem konstanten Faktor In der Summe cx 1 + cx cx n

2 wird jede Realisierung der Variable X mit einem konstanten Faktor c multipliziert. Dieser Faktor könnte jede beliebige Zahl sein. Aus dieser Summe kann man den konstanten Faktor herausziehen, d.h. Ein Beispiel dazu: cx 1 + cx cx n c(x 1 + x x n ). Seien x 1,..., x 5 5 verschiedene Körpergewichte (in kg): x 1 75 x 80 x 3 85 x 1 90 x Wenn es jeweils Personen mit demselben Körpergewicht gibt, dann ist das Gesamtgewicht aller Personen: 5 x i x 1 + x + x 3 + x 4 + x Eine alternative Vorgangsweise das Gesamtgewicht auszurechnen ist: 5 x i (x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 ) ( ) Eine oft angewendete Rechenregel ist: Falls x i Messwerte sind, dann sind x i c d linear transformierte Messwerte. Ihre Summation ergibt 5 x i 5 (c d)

3 cx 1 + d + cx + d cx n + d cx 1 + cx cx n + d d {{ n mal c(x 1 + x x n ) + nd c nd 3 Aufspalten einer Summe Es erweist sich manchmal als notwendig eine Summe aufzuspalten, d.h.: x i x x a {{ + x a x b {{ x m x n {{ a ii (1 a < b <... < m < n). b ia+1 x i im+1 Wenn z.b. eine Person die Haushaltsausgaben (monatlich) eines Jahres in die 4 Quartale aufteilen will (x i sind die Ausgaben des i-ten Monats in Euro, i 1,..., 1), dann schreibt man 1 x i x 1 + x + x {{ 3 Ausgaben 1.Quartal + x 7 + x 8 + x {{ 9 Ausgaben 3.Quartal 3 6 i4 + x 4 + x 5 + x {{ 6 Ausgaben.Quartal + x 10 + x 11 + x {{ 1 Ausgaben 4.Quartal 9 1 i7 0 x i. 4 Addition von Summen gleicher Länge Es gilt

4 (a i + b i + c i +...) a i + b i + c i +... Da die Reihenfolge der Summation von Faktoren beliebig ist, kann man z.b. die Summe i { { { { a 1 + b 1 + c 1 + a + b + c {{ a i+b i +c i auch folgendermaßen anschreiben: a 1 + a {{ + b 1 + b {{ + c 1 + c {{. a i b i c i 5 Umindizierung Wenn a eine beliebige ganze Zahl ist, gilt n+a x i x 0 + x x n x a a + x 1+a a x n+a a x j a i0 ja Das heisst, man kann die Grenzen einer Summe ändern, indem man den ursprünglichen Summationsindex substituiert. Wenn z.b. der Index i von 0 bis n läuft, und man substituiert i im Faktor x i mit j a (wobei a eine ganze Zahl ist), dann muss j a natürlich auch von 0 bis n laufen. i j a > j a + i (da i 0,..., n) a + 0, a + 1,..., a + n D.h. der neue Laufindex j läuft von a bis n + a: n+a x i x j a i0 ja

5 6 Doppelsummen Eine Doppelsumme ist folgendermaßen definiert: x i y j x 1 y 1 + x y x n y 1 j1 + x 1 y + x y x n y. + x 1 y n + x y n x n y n. Dazu ein Beispiel falls n : x i y j j1 j1 j { { { { ( x i y 1 + x i y ) {{ j1 x iy j x 1 y 1 + x 1 y {{ + x y 1 + x y {{ i x 1 y 1 + x y 1 + x 1 y + x y. 7 Weitere Regeln, die zu beachten sind Im allgemeinen ist x i y i x 1 y 1 + x y x n y n ungleich ( n ) ( n ) x i y i (x 1 + x x n )(y 1 + y y n ). Dazu ein Beispiel. Nehmen wir an, dass n. Dann ist x i y i x 1 y 1 + x y

6 und ( ( ) x i) y i (x 1 + x )(y 1 + y ) x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + x y, wobei im allgemeinen Weiters gilt x 1 y 1 + x y x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + x y. x i ( n ) x i Auch hierzu ein Beispiel (wieder für n): x i x 1 + x und ( ) x i (x 1 + x ) x 1 + x 1 x + x, wobei auch hier im allgemeinen gilt x 1 + x x 1 + x 1 x + x. 8 Sonderfälle Ein wichtiger Sonderfall ist i n n(n + 1) Beispiel:

7 Die Richtigkeit dieser Gleichung wollen wir durch vollständige Induktion beweisen. Diese Methode funktioniert folgendermaßen: Man betrachtet eine mathematische Aussage, in unserem Fall i n(n + 1), die für alle möglichen n gelten soll (wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist). 1. Man zeigt zuerst, dass die Behauptung für ein fixes n, üblicherweise n 1, stimmt (Induktionsanfang).. Der nächste Schritt ist, dass wir annehmen, daß die Behauptung für n stimmt (Induktionsannahme). 3. Bleibt zu zeigen, dass die Behauptung für n + 1 stimmt, unter der Annahme, dass sie für n erfüllt ist (Induktionsschluss). D.h., wir zeigen zuerst, dass die Formel für n 1 gilt. Aufgrund von Punkt 3 muss die Formel für ALLE n gelten, also n 1,, 3,..., weil man immer den Schritt von n n + 1 macht. Wenn man mit 1 startet ist der Induktionsschritt 1, d.h. die Formel gilt auch für n. Wenn sie für n gilt muss sie auch für n 3 (Induktionsschritt 3) gelten, usw. Wir wollen also zuerst zeigen, dass i n(n + 1), für n 1 gilt: 1 i 1 1 1(1 + 1) also eine wahre Aussage. Jetzt zeigen wir, dass die Formel auch für n + 1 stimmt, wenn wir annehmen, daß sie für n stimmt, d.h. n+1 i (n 1) + n +(n + 1) {{ n i

8 i + (n + 1) n(n + 1) +(n + 1) {{ Ind.annahme n(n + 1) (n + 1) + n(n + 1) + (n + 1) (n + 1)(n + ), womit der Induktionsbeweis abgeschlossen ist. Ein zweiter wichtiger Sonderfall ist i n n(n + 1)(n + 1) 6 Die Benutzerin/der Benutzer dieses Lernpfades möge den Induktionsbeweis zu dieser Formel als Übung selbst durchführen.