Teilgebiete der Abbildungsgeometrie

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1 Teilgebiete der Abbildungsgeometrie In der Abbildungsgeometrie wird zur Klassifizierung von Eigenschaften des Raumes (bzw. der Ebene) und der in ihm enthaltenen Objekte (Geraden, Kreise, Polytope, usw.) folgende Fragestellung untersucht ( Erlanger Programm, Felix Klein 1872): Welche Eigenschaften des Raumes (und der in ihm enthaltenen Objekte) bleiben erhalten (sind invariant), wenn man auf ihn eine gegebene Gruppe von umkehrbar eindeutigen Abbildungen ausübt? Es ergibt sich folgende (nicht vollständige) Unterteilung: Teilgebiet der Abbildungsgeometrie (Theorie) Kongruenzgeometrie Gruppe der betrachteten Abbildungen (Transformationsgruppe) Kongruenzabbildungen, z.b. Spiegelung, Verschiebung, Drehung Ähnlichkeitsgeometrie Ähnlichkeitsabbildungen, z.b. zentrische Streckung Topologie topologische (= stetige) Abbildungen, genauer: umkehrbar eindeutig und bistetig Invarianzen metrische Eigenschaften wie Längen, Flächen- und Rauminhalte Geraden-/Kreistreue, Parallelität, Winkeltreue, Längenverhältnisse offen/geschlossen (Kurven), zusammenhängend/ nicht zusammenhängend (Gebiete) innen/außen (Gebiete) Schnitt (Kurven) Jede Theorie enthält zusätzlich alle Invarianzen der darunterstehenden Theorien! Also nimmt von oben nach unten die Figurentreue ab, d.h. es bleiben immer weniger Eigenschaften einer geometrischen Figur erhalten. Wichtig: Figuren, die sich im jeweiligen Teilgebiet durch eine Abbildung der entsprechenden Transformationsgruppe ineinander überführen lassen, gelten als identisch (d.h. ununterscheidbar im Sinne der Theorie).

2 Grundlagen und Ziele Piaget: Im Laufe der kindlichen Entwicklung bei der Wahrnehmung und Wiedergabe von Figuren werden zuallererst (schon in der präoperationalen Phase, ca. 3,5-4 J.) topologische Invarianzen beherrscht (Bsp.: Ein Quadrat wird als geschlossene Kurve wiedergegeben.). handelnder Zugang möglich (Schnüre, Gummizüge, Draht etc.) zeichnerische Behandlung topologischer Fragestellungen erfordert wenig Präzision Verbindung zum Alltag: z.b. S-Bahn-Netz als topologisches Netz spielerischer und kreativer (und dennoch zielgerichteter) Umgang mit anspruchsvollen kombinatorischen Fragestellungen offener und/oder problemorientierter Unterricht (Algorithmen also Rezepte spielen kaum eine Rolle)

3 1. Kurven a) Unterscheidung zwischen offenen und geschlossenen Kurven geschlossen heißt: alle Perlen an der Schnur können in beide Richtungen bewegt werden, alle Punkte können Anfangs- und Endpunkt sein. b) Unterscheidung zwischen einfachen und nicht einfachen Kurven (ohne/mit Selbstüberschneidungen bzw. Doppelpunkten) Abhängigkeit der Anzahl der Gebiete von der Anzahl der Doppelpunkte Zeichnen/Vervollständigen von Kurven nach Vorgabe Anwesenheitsaufgabe: Wie viele verschiedene geschlossene nicht-einfache Kurven mit zwei Doppelpunkten gibt es? Grundschulformulierung: Wie viele geschlossene Eisenbahnlinien mit zwei Kreuzungen gibt es?

4 2. Gebiete Wie wird die Ebene durch ein Netz von Kurven zerlegt? In der Ebene gilt der Jordansche Kurvensatz: Eine geschlossene Kurve teilt die Ebene in zwei Bereiche (also z.b. Inneres und Äußeres: Die Maus ist gefangen! ). Also kann durch Ausmalen festgestellt werden, ob eine unübersichtliche komplizierte Kurve geschlossen ist. Anmerkung: Dieser Satz gilt auch auf der Kugeloberfläche (Problem: Inneres/Äußeres), aber nicht auf dem Torus (Schwimmring)! Färbeprobleme: Ausmalen von Gebieten (Benachbarte Gebiete dürfen nicht gleich gefärbt sein!); Wie viele Farben brauchst Du? (Vierfarbensatz, erst 1976 durch Computerhilfe bewiesen!) Zerlegungsprobleme, Zusammenhang mit Logik

5 3. Netze (Graphen) Netz (Graph): Figur aus Ecken (Knoten, Punkte) und Kanten (Bögen), bei der jede Kante an einer Ecke beginnt und an einer Ecke endet. Eine Kante mit identischem Anfangs- und Endpunkt heißt Schleife. Die Anzahl der Kanten einer Ecke heißt Ordnung der Ecke. Euler-Weg (unikursale Kurve): Weg durch alle Ecken, der jede Kante genau einmal durchläuft. Ein geschlossener Euler-Weg heißt Euler-Kreis. Welche Netze ermöglichen einen Euler-Weg/Euler-Kreis (vgl. Wäschetrockenplatz, Haus des Nikolaus, Königsberger Brückenproblem)? Ein Baum ist ein zusammenhängendes Netz ohne Rundweg. Für einen Baum mit e Ecken und k Kanten gilt: e=k+1. Charakteristik eines Netzes N mit e Ecken, k Kanten, das die Ebene in f Gebiete unterteilt: C(N):=e k+f. Es gilt: C(N)=2 für alle zusammenhängenden Netze N. [Manchmal wird der Satz formuliert als C(N)=1; dann wird das äußere Gebiet nicht mitgezählt!] Beweis (anschaulich): Wenn das äußere Gebiet unter Wasser steht, muss man k d geeignete Kanten durchtrennen, um f 1 innere Flächen zu fluten (also k d =f 1). Am Ende bleibt ein Baum mit k r Kanten übrig: e=k r +1. Zusammen mit k=k d +k r folgt die Behauptung.

6 Eulersche Polyederformel Körper Würfel (Hexaeder) Tetraeder (Vierflach) Prisma (z.b. Haus) Fußball Anzahl Ecken (e) Anzahl Kanten (k) Anzahl Flächen (f) e+f k+2 Oktaeder (Achtflach) Dodekaeder (Zwölfflach) Ikosaeder (Zwanzigflach) Es gilt der folgende Satz (EULERscher Polyedersatz): Für ein konvexes Polyeder oder ein Polyeder, das sich durch stetige Deformation in ein konvexes Polyeder deformieren lässt, gilt für die Anzahl e der Ecken, die Anzahl k der Kanten und die Anzahl f der Flächen: e k + f = 2

7 Die fünf platonischen Körper... Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder... und ein Beispiel für einen archimedischen Körper: Fußball Fußball als Polyeder (begrenzt von 12 Fünfecken und 20 Sechsecken)