Graphen für Einsteiger

Transkript

1 Manfred Nitzsche Graphen für Einsteiger Rund um das Haus vom Nikolaus vieweg

2 1 Erste Graphen 1 Das Haus vom Nikolaus 1 Was ist ein Graph? 2 Auch das ist bei Graphen möglich! 3 Der Grad einer Ecke 4 Verschiedene Graphen - gleiche Graphen? 4 Zusätzliche Informationen 8 Aufgaben 9 Lösungshinweise 13 2 Über alle Brücken: Eulcrsche Graphen 17 Das Königsberger Brückenproblem 17 Kantenzüge 19 Eulersche Graphen 19 Welche Graphen sind eulersch? 21 Praxis: Eulersche Touren finden 24 Zwei Folgerungen 25 Besuch einer Ausstellung 26 Domino 27 Vollständige Vielecke 28 Zusätzliche Informationen 28 Aufgaben 29 Lösungshinweise 32 3 Durch alle Städte: Hamiltonsche Graphen 37 Reisepläne 37 Hamiltonsche Graphen 37 Hamiltonsch und eulersch 38 Hamiltonsche Kreise finden 39 Hamiltonsche Graphen neu zeichnen dann ist der Graph nicht hamiltonsch 41 Kreise und Wege 44 Wie viele hamiltonsche Kreise gibt es? 45 Reguläre Graphen 46 Für Schachspieler 46 Hamiltons Spiel 49 Sitzordnungen. 50 Eine billige Rundreise 50 Ein vielleicht unlösbares Problem 51

3 Gesucht: Bäcker mit Kenntnissen in Graphentheorie 52 Zusätzliche Informationen 53 Aufgaben 53 Lösungshinweise 58 4 Mehr über Grade von Ecken 65 Tennis-Turniere 65 Das handshaking lemma 66 Ecken mit ungeradem Grad 67 Schwierige Briefträgertouren 68 Jeder gegen jeden 69 Aufgaben 69 Lösungshinweise 70 5 Bäume 73 Was ist ein Baum? 73 Wege in Bäumen 75 Wie viele Kanten hat ein Baum? 76 "Äste absägen" 77 Aufspannende Bäume 78 Labyrinthe, Irrgärten und Höhlen 80 Straßenbahnen, Fischteiche und Bindfäden 83 Eckengrade in Bäumen 84 Die billigsten Straßen 85 Der kürzeste Weg 86 Die kürzeste Tour des Briefträgers 90 Zusätzliche Informationen 92 Aufgaben 93 Lösungshinweise 96 6 Bipartite Graphen 101 Ein Frühstücksgraph 101 Bipartite Kreise 102 Können Bäume bipartit sein? 103 Bipartite Graphen erkennen 104 Bipartite Graphen für Schachspieler 106 Fachwerkhäuser 107 Heiratsvermittlung mit Graphen 110 Der Heiratssatz 112 Eine Folgerung aus dem Heiratssatz 112 Noch einmal: Der Frühstücksgraph 114 Zusätzliche Informationen 114 Aufgaben 114 Lösungshinweise 118

4 XI 7 Graphen mit Richtungen: Digraphen 123 Was ist ein Digraph? 123 Alles hat eine Richtung 124 Wer hat gewonnen? 124 Isomorphie bei Digraphen 125 Lauter Einbahnstraßen 125 Nur noch Einbahnstraßen? 126 Eulersche Digraphen 129 Hamiltonsche Digraphen 129 Turniergraphen 129 Wer ist der beste Spieler? 130 Ranking kann fragwürdig sein. 133 Jeder Spieler hat gewonnen!. 133 Ein klarer Fall: Es gibt ein eindeutiges Ranking 134 Könige und Vizekönige 136 Hier ist jeder ein König! 137 Wolf, Ziege und Kohlkopf 139 Das Spiel Nim 140 Umfüllaufgaben 141 Graphen für Zahlen 142 Zusätzliche Informationen 143 Aufgaben 144 Lösungshinweise Körper und Flächen 153 Räumliche Graphen 153 Andere Wege vom Körper zum Graphen 156 Ebene und plättbare Graphen 156 Sind alle Graphen plättbar? 157 Elektrotechniker bevorzugen plättbare Graphen 162 Ebene Graphen haben Flächen 163 Die eulersche Formel 163 Zwei neue Beweise 165 Weitere Eigenschaften von Körpern aus der Sicht der Graphentheorie 166 Die platonischen Körper 167 Platonische Graphen 168 Es gibt nicht mehr als 5 platonische Graphen 169 Es gibt nur 5 platonische Körper 171 Platonische Körper auf Kugeln 172 Parkett-Fußboden 173 Zusätzliche Informationen 174 Aufgaben 176 Lösungshinweise 180

5 XII Inhaltsverzeichnis 9 Farben 185 Farbige Landkarten 185 Aus Landkarten werden Graphen 186 Man kann auch Körper anmalen 188 Wir färben alle Graphen 189 Ampelschaltungen 191 Ein moderner Zoo 192 Das Problem mit den Museumswärtern 193 Die chromatische Zahl kann nicht größer sein als 195 Wie viele Farbmuster gibt es? 195 Chromatische Polynome für beliebige Graphen 199 Bekanntschaftsgraphen 203 Befreundet - bekannt - unbekannt 205 Kantenfärbung mit strengen Regeln 205 Der chromatische Index eines vollständigen Vielecks 206 Für den chromatischen Index kommen nur zwei Werte in Frage 208 Lateinische Quadrate 210 Zusätzliche Informationen 211 Aufgaben 212 Lösungshinweise 217 Was ist was? 225 Literatur 229 Stichwortverzeichnis 231