Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching. Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen

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1 Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen

2 1. Grundlagen Definition Matching: Eine Menge M von unabhängigen Kanten in einem Graphen G = (V,E) nennt man ein Matching. Man nennt M ein Matching von U V, wenn jeder Knoten aus U mit einer Kante aus M inzident ist. v 2 v 1 v 7 v 6 v 5 In Bild 1 ist M ein Matching von U = {v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 }. v 3 v 4 Bild 1 - Matching v 1 v 6 Definition k-faktor: Einen k-regulären spannenden Subgraphen nennt man k-faktor. v 7 v 5 v 2 v 3 v 4 Bild 2-2-Faktor v 2 v 1 v 6 v 5 v 4 Definition "Perfektes Matching": Ein perfektes Matching ist Matching von V(G), also ein Matching, das alle Punkte des Graphen überdeckt. Daraus folgt, daß ein perfektes Matching ein 1-Faktor sein muß. v 3 Bild 3 - Perfektes Matching (1-Faktor) Seite 2

3 2. Matchings in bipartiten Graphen Der Graph G = (V, E) sei für dieses Kapitel bipartit. Problem: Wie findet man ein Matching mit maximal vielen Kanten? v 1 v 2 v 4 v 7 v 3 v 6 A B v 5 Bild 4 - bipartiter Graph Definition Alternierender Weg: Ein Weg P der an einem Knoten startet, der nich von M gematcht wird, und dann abwechselnd Kanten aus E\M und aus M enthält heißt alternierender Weg in Bezug auf M. Bild 5 - alternierender Weg Definition Augmentierender Weg: Ein alternierender Weg, der ebenfalls an einem ungemachtem Knoten endet, heißt augmentierender Weg. Bild 6 - augmentierender Weg Seite 3

4 Definition Knotenüberdeckung: Ist jede Kante aus E(G) mit einem Punkt aus U V(G) inzident, so nennt man U Überdeckung von E (bzw. Knotenüberdeckung von G). Satz von König (1931) Der maximale Grad eines Matchings in G ist gleich der minimalen Kardinalität einer Knotenüberdeckung in G. v 2 v 1 v 7 v 6 v 3 v 4 v 5 Bild 10 - Knotenüberdeckung von G Beweis: Sei M ein Matching mit maximaler Kardinalität. Wir wählen uns von jeder Kante aus M eine Ende aus. Das Ende liegt in B, wenn dort ein M-alterniereder Weg endet. Ansonsten wählen wir das Ende, das in A liegt. Die Menge U der ausgewählten M Knoten überdeckt G. Da jede Knotenüberdeckung von G auch unser Matching M überdecken muß, kann es keine mit weniger als M geben. U B U A Bild 11 Seite 4

5 Bleibt zu zeigen, daß unsere Knotenüberdeckung U jede Kante aus G erreicht, daß also bei jeder Kante ab E (G) a oder b in U liegen muß. Fall 1: Ist ab M, so liegt laut Definition von U einer der Punkt schon in U. a b A B Fall 2: Ist ab M, dann gibt es eine Kante a'b' aus M, die mit ab einen Punkt gemeinsam hat, da M ein maximales Matching ist. a a Bild 12 - Fall 1 b Fall 2.1 Wenn a ungemacht ist, dann ist ab eine ungematche Kante aus G, und b = b' U. Fall 2.2 Wenn a gemacht ist und nicht zur Knotenüberdeckung gehört, also a = a' U, muß b' U sein und ein alternierender Weg P endet in b'. Gleichzeitig muß aber auch ein alternierender Weg P' in b enden, für den gilt P' := Pb (wenn b P) oder P' = Pb'a'b. Da M maximal ist, kann P' kein augmentierender Weg sein, weil man sonst durch Invertieren von P' ein Matching höherer Kardinalität erhalten könnte. Also muß in b eine Kante von M enden und b zu U gehören. a A A Bild 13 - Fall 2.1 Bild 14 - Fall 2.2 B b b B Seite 5

6 Heiratstheorem (Hall 1935) Der Graph G enthält genau dann ein Matching von A, wenn N(S) S für alle S A. Beweis: N(S) S kann das Theorem nicht gelten. Enhält G keine Machting von A und sei U eine Knotenüberdeckung U = A' B' mit eine Knotenüberdeckung von G mit minimaler Kardinalität. Aus dem Satz von König folgt dann: A' + B' = U < A Durch umstellen erhalten wir: B' < A - A' = A \ A' A B Bild 15 - Eine Überdeckung mit weniger als A Knoten Aus der Definition von U folgt, daß G keine Kanten zwischen A\A' und B\B' bestehen, also den Knoten die nicht zur Knotenüberdeckung gehören. Gäbe es ein solche Kante wäre U keine Knotenüberdeckung mehr. Also gilt N(A \ A') B' < A \ A' und das Heiratstheorem trifft nicht zu. Korollar Wenn für alle S A gilt N(S) S -d, dann enthält G ein Matching der Kardinaliät A - d. Beweis: Wir fügen d neue Knoten zu B hinzu, von denen jeder mit jedem Knoten aus A verbunden sein soll. Aus dem Heiratstheorem folgt, das der neue Graph ein Matching von A enthält, und mindestens A -d Kanten in diesem Matching gehören zu G. Seite 6

7 3. Matchings in normalen Graphen q(g) sei die Anzahl von ungeraden Komponeten von G, also der Komponenten ungerader Ordnung. K G sei die Menge aller Komponenten von G. Satz von Tutte (1947) Ein Graph G hat ein perfektes Matching (1-Faktor) genau dann, wenn gilt: q(g-s) S für alle S V(G). q(g-s)= 3 S Seite 7

8 Ein Graph G = (V,E) heißt faktor-kritisch, wenn er nicht-leer ist und durch Wegnahme eines beliebigen Knotens aus G ein perfektes Matching möglich wird. Der Graph G kann dann selbst kein perfektes Matching (1-Faktor) enthalten, der er von ungerader Ordnung ist. (Bespiel: Dreieck) Eine Knotenmenge heißt matchbar (engl.:matchable) zu G - S, wenn der Graph H, der aus G durch Kontrahieren aller Komponenten C aus K G-S zu einzelnen Punkten und durch löschen aller Kanten aus S entsteht, eine Matching von S entsteht. Satz Jeder Graph G = (V,E) enthält eine Knotenmenge S für die gilt: i) S ist matchbar zu G-S, ii) jede Komponente aus G-S ist faktor-kritisch, Für jede beliebige solche Knotenmenge S gilt, der Graph G hat eine perfektes Matching genau dann wenn S = K G-S. Seite 8

9 Satz Jeder Graph G = (V,E) enthält eine Knotenmenge S für die gilt: i) S ist matchbar zu G-S, ii) jede Komponente aus G-S ist faktor-kritisch, Für jede beliebige solche Knotenmenge S gilt, der Graph G hat eine perfektes Matching genau dann wenn S = K G-S. Vorgehensweise Beweis: Unter der Anahme i) und ii) sind schon bewiesen: 1. Beweis der letzen Aussage des Satzes 2. Beweis der Satzes von Tutte 3. Ungleichung q(g-t) T + d für jedes T G, mit = für ein T Durch Induktion über G beweisen: 4. Alle Komponenten sind ungerade. 5. Alle Komponenten sind faktor-kritisch (ii) 6. S ist matchbar zu G-S (i) mit Heiratskorollar N(S) S -d Seite 9

10 Satz Jeder Graph G = (V,E) enthält eine Knotenmenge S für die gilt: i) S ist matchbar zu G-S, ii) jede Komponente aus G-S ist faktor-kritisch, 1. Wir wollen zeigen: Für jede beliebige solche Knotenmenge S gilt, der Graph G hat eine perfektes Matching genau dann wenn S = K G-S. a) Hat G ein perfektes Matching, und die faktor-kritischen Komponenten, also alle (ii), mit S verbunden sein müssen muß gelten: Da S matchbar ist (i) muß gelten: K G-S = q(g-s) S. K G-S = q(g-s) S. Daraus folgt: S = K G-S. b) Es gilt S = K G-S. Alle Komponenten sind faktor-kritisch, also ungerade (ii), also: S = K G-S = q(g-s) Da S matchbar ist (i), können alle Punkt von S durch ein Matching abgedeckt werden. Diese Bedingung ist auch erfüllt: q(g-s) S Also muß es ein perfektes Matching geben. Seite 10

11 2. Wir wollen zeigen: SS 99 Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 - Matching Satz von Tutte (1947) Ein Graph G hat ein perfektes Matching (1-Faktor) genau dann, wenn gilt: q(g-t) T für alle T V(G). a) Beh.: Wenn 1-Faktor, dann q(g-t) T für alle T: Annhahme des Gegenteils: Wenn 1-Faktor, dann q(g-t) > T. Widerspruch, da für einen 1-Faktor alle ungeraden Komponenten mit T gematcht werden müssen. Behauptung folgt. b) Beh.:Wenn q(g-t) T für alle T, dann1-faktor: Annahme: Es gilt q(g-t) T. Aus unserem Satz folgt: Es gibt in jedem G ein T = S, daß matchbar sein soll zu G-S(i): S K G-S Bei diesem S sind alle Komponenten K G-S faktor-kritisch (ii): K G-S = q(g-s) Nach der Behauptung gilt für dieses S auch: q(g-s) S Also muß für ein S aus G gelten: K G-S = S. Dann existiert ein 1-Faktor. Seite 11

12 3. Wir wollen zeigen: q(g-t) T + d für jedes T G, mit = für ein T (*) d sei minimal. a) (*) gilt für jedes T: Für jedes T gilt entweder: q(g-t) T Dann können wir d = 0 setzen. oder es gilt: q(g-t) > T Dann addieren wir ein d dazu, so daß T + d q(g-t). b) Es exisitiert mindestens ein T für das (*) mit Gleichheit erfüllt ist. Gibt es in G eine Menge T, für das wir d > 0 setzen müssen um (*) zu erfüllen, folgt aus der Minimalität von d, daß (*) mit Gleichheit erfüllt. Nicht alle T können (*) mit d = 0 erfüllen q(g-t) T + 0 da, die für die leere Menge gilt. q(g-θ) > θ + 0. Das maximale T, daß (*) mit Gleichheit erfüllt, sei S. K sei K G-S. Seite 12

13 Zu zeigen: 4.Alle Komponenten sind ungerade. Annahme: Es existiert eine Komponente C aus K G-S, die gerader Ordnung ist. Dann kann ein Knoten c aus C nach S verschoben werden. Man erhält C' := C - c (ungerade) S' := S {c} Dann muß gelten: q(g-s') q(g-s) + 1 da durch das Verschieben von c mindestens eine neue ungerade Komponente enstanden ist. Für S' muß auch die Ungleichung (*) gelten: S' + d q(g-s') Also gilt: q(g-s') q(g-s) +1 = S + d + 1 = S' + d q (G-S') S' erfüllt (*) sogar mit Gleichheit. Da S' > S folgt der Widerspruch zur Maximalität von S. Die Annahme, daß es gerade Komponenten gibt, kann nicht gelten. Es folgt die Behauptung. Seite 13

14 Zu zeigen: 5. Jede Komponente C K ist faktor-kritisch. Annahme: Es gibt eine Komponente C K, die nicht faktor-kritisch ist. Man kann also einen Knoten aus C entfernen, ohne daß ein 1-faktor entsteht: C' = C - c Dann gibt es eine Knotenmenge T' innerhalb C' mit: q(c'-t') > T' (Satz von Tutte) Da C ungerade (aus 4.) und deshalb C' gerade ist, sind q(c'-t') und T' immer gleichzeitig gerade oder ungerade. Sie können sich nie um genau den Wert 1 unterscheiden. Also können wird die Ungleichung verschärfen: q(c'-t') T' +2 Für eine neue Knotenmenge T := S {c} T' gilt dann: q(g-t) q(g-s)-1 + q(c'-t') S +d -1 + T' +2 = T +d q(g-t) Auch T erfüllt (*) mit Gleichheit. Es gilt T > S, also folgt der Widerspruch zur Annahme. Damit müssen alle Komponenten faktor-kritisch sein. Seite 14

15 Zu zeigen: 6. S ist matchbar zu G-S. Ist die Menge S leer, dann ist sie matchbar. Wir nehmen also an, S sein nicht-leer. Die Menge der Komponenten K sei ebenfalls nicht leer, da S (*) mit Gleichheit erfüllt. Wir wenden nun das Korollar, das aus dem Heiratssatz folgt, auf den kontrahierten Graphen H an, mit A = K: Korollar Wenn für alle S A gilt N(S) S -d, dann enthält G ein Matching der Kardinaliät A - d. Sei K' K und S' = N H (K') S. Da jedes C aus K' ungerade bezüglich G-S' (aus 4.) ist, erhalten wir N H (K') = S' q(g-s') - d K' -d Dann enthält H eine Matching der Kardinalität: K -d = q(g-s)-d = S Seite 15