Fliegende Cops: Charakterisierung der Baumweite

Transkript

1 Fliegende Universität Leipzig, Universität Paborn

2 Das Spiel endlicher, ungerichteter Graph G = (V, E) alle Teilnehmer sehen sich 1 Räuber: befindet sich auf Knoten bewegt sich entlang Kanten mit großer Geschwindigkeit k 1 Polizisten befinden sich auf Knoten o in Helikopter können sich nur von Knoten zum Helikopter o vom Helikopter zu je einem Knoten bewegen

3 Das Spiel In Runde i wählen Polizisten X i V, X i < k X 0 = X i 1 X i o X i X i 1 In Runde i wählt Räuber einen X i -flap R i V : Knotenmenge einer Komponente von G \ X i R i R i 1 o R i 1 R i Polizisten gewinnen, falls R i 1 X i

4 Übung 1 1 Wie viele Polizisten sind nötig, um den Räuber zu fangen? 2 Was gilt allgemein für Bäume?

5 Strategie für Bäume

6 Strategie für Bäume

7 Strategie für Bäume

8 Strategie für Bäume

9 Strategie für Bäume

10 Strategie für Bäume

11 Strategie für Bäume

12 Graphensuche < k Polizisten können Graph durchsuchen : < k Polizisten können Räuber fangen < k Polizisten können Graph monoton durchsuchen : < k Polizisten können Graph durchsuchen, so dass für alle i i i gilt: X i X i X i

13 Satz Seien G = (V, E) Graph und k N. < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen

14 Graphensuche X, Y V berühren sich, falls X Y o x X, y Y : {x, y} E < k Polizisten können Graph mit Sprüngen durchsuchen, falls sie Räuber fangen unter folgen Spielänung: Polizisten wählen X i V, X i < k beliebig Räuber wählt X i -flap R i V, R i 1 berührt

15 Übung 2 Begründe: Wenn < k Polizisten einen Graph durchsuchen können, so können < k Polizisten den Graphen mit Sprüngen durchsuchen.

16 Satz Seien G = (V, E) Graph und k N. < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen

17 Hafen Ordnung k β : {X V X < k} 2 V mit: β(x ) ist X -flap X, Y V, X < k, Y < k : β(x ) berührt β(y )

18 Übung 3 1 Finde Hafen Ordnung 2: 2 Zeige: Hat Graph G einen Hafen Ordnung k, so können < k Polizisten G nicht mit Sprüngen durchsuchen.

19 Satz Seien G = (V, E) Graph und k N. G hat Hafen Ordnung k < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen

20 Screen S 2 V, so dass für alle H S gilt: H H ist in G verbunden H berührt alle anen H S Screen S hat Dicke k, falls es kein X V gibt, so dass X < k und H S : X H

21 Übung 4 1 Finde einen Screen Dicke 2: 2 Gibt es einen Screen Dicke 3?

22 Übung 4 1 Finde einen Screen Dicke 2: 2 Gibt es einen Screen Dicke 3? Nein!

23 Zusammenhang: Screen - Hafen Sei S Screen Dicke k in G und X V mit X < k.

24 Zusammenhang: Screen - Hafen Sei S Screen Dicke k in G und X V mit X < k. H S : X H =

25 Zusammenhang: Screen - Hafen Sei S Screen Dicke k in G und X V mit X < k. H S : X H = β(x ) sei X -flap, H enthält

26 Zusammenhang: Screen - Hafen Sei S Screen Dicke k in G und X V mit X < k. H S : X H = β(x ) sei X -flap, H enthält β ist Hafen Ordnung k in G.

27 Zusammenhang: Screen - Hafen Sei S Screen Dicke k in G und X V mit X < k. H S : X H = β(x ) sei X -flap, H enthält β ist Hafen Ordnung k in G. (Übung: Konstruktion von Screen Dicke k aus Hafen Ordnung k.)

28 Satz Seien G = (V, E) Graph und k N. G hat Screen Dicke k G hat Hafen Ordnung k < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen

29 Baum-Dekomposition (T, W ) mit T Baum und W = {W t V (G) t V (T )} sowie W t = V (G) t V (T ) {x, y} E(G) t V (t) : x, y W t Wenn t, t, t V (T ) und t liegt auf Pfad von t zu t, dann W t W t W t

30 Baum-Dekomposition

31 Weite einer Baum-Dekomposition max{ W t 1 t V (T )} Weite: 3

32 eines Graphen G Minimale Weite einer Baum-Dekomposition von G : 1

33 Übung 5 Zeige: Wenn die von G kleiner als k 1 ist, so können < k Polizisten G monoton durchsuchen.

34 Strategie bei Baum-Dekomposition

35 Strategie bei Baum-Dekomposition

36 Strategie bei Baum-Dekomposition

37 Strategie bei Baum-Dekomposition

38 Strategie bei Baum-Dekomposition

39 Strategie bei Baum-Dekomposition

40 Satz Seien G = (V, E) Graph und k N. G hat Screen Dicke k G hat Hafen Ordnung k < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen von G ist k 1

41 Satz (vollständig) Seien G = (V, E) Graph und k N. G hat Screen Dicke k G hat Hafen Ordnung k < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen von G ist k 1

42 Satz (vollständig) Seien G = (V, E) Graph und k N. G hat Screen Dicke k G hat Hafen Ordnung k < k Polizisten können G nicht mit Sprüngen durchsuchen < k Polizisten können G nicht durchsuchen < k Polizisten können G nicht monoton durchsuchen von G ist k 1 Noch zu zeigen: von G ist k 1 impliziert, dass G Screen Dicke k hat. Also: G hat keinen Screen Dicke k impliziert, dass von G kleiner als k 1 ist.

43 Beweisidee Zeige: Seien S Screen in G und k N. Wenn kein Screen S in G mit S S und Dicke k existiert, dann hat G eine Baum-Dekomposition (T, W ), so dass für jedes t V (T ) mit W t k gilt: deg(t) = 1 und H S : W t H =. Gewünschte Aussage folgt für S =.