Kombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 19

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1 Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 19

2 Fünfzehnte Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 19

3 Definition 5.1 (Sunflower) Die Mengen S 1,..., S k, Y bilden eine Sonnenblume mit Kern Y und k Blättern, falls i, j [k] : i j S i S j = Y und i [k] : S i \ Y gilt. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 3 / 19

4 Satz 5.2 (Sunflower Lemma, Erdös-Rado 1960) Seien s, k N. Ist F eine Menge von s-elementigen Mengen mit F > s!(k 1) s, so enthält F eine Sonnenblume mit k Blättern. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 4 / 19

5 Satz 5.2 (Fortsetzung) Beweis: Induktion nach s. Für s = 1 enthält F k verschiedene (und daher disjunkte) 1-elementige Mengen, die eine Sonnenblume mit leerem Kern und k Blättern bilden. Sei nun s > 1 und sei A = {A 1,..., A t } F eine maximale Menge paarweise disjunkter Teilmengen. Für t k bildet A eine Sonnenblume mit leerem Kern und mindestens k Blättern. Sei daher t < k. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 5 / 19

6 Satz 5.2 (Fortsetzung) Für B = A 1 A t folgt B s(k 1). Da wegen der Wahl von A jede Menge in F die Menge B schneidet, existiert nach dem Taubenschlagprinzip ein x B, welches in mindestens F B > s!(k 1)s s(k 1) = (s 1)!(k 1)s 1 Mengen in F liegt. Per Induktion enth alt F x = {A \ {x} : x A F} eine Sonnenblume S 1,..., S k mit k Blättern und S 1 {x},..., S k {x} ist eine Sonnenblume mit k Blättern in F. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 6 / 19

7 Satz 5.3 (Intersecting families, Erdös-Ko-Rado 1961) Seien k, n N mit 2k n. Ist F ( [n]) k mit so gilt F ( n 1 k 1). A, B F : A B, Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 19

8 Satz 5.3 (Fortsetzung) Beweis: (Katona 1972) Wir betrachten die Elemente von N modulo n. Für s [n] sei B s = {s, s + 1,..., s + k 1}. Behauptung Höchstens k der Mengen B s gehören zu F. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 19

9 Satz 5.3 (Fortsetzung) Beweis der Behauptung: Wegen der zyklischen Symmetrie können wir annehmen, dass B 0 in F gilt. Alle weiteren Mengen B s in F erfüllen (k 1) s k 1. Weiter sind für jedes i mit (k 1) i 1 die beiden Mengen B i und B i+k disjunkt, d.h. höchstens eine der beiden Mengen liegt in F. Sei L die Menge der Paare (π, s) mit π S n und π(b s ) = {π(s), π(s + 1),..., π(s + k 1)} F. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 9 / 19

10 Satz 5.3 (Fortsetzung) Die Behauptung impliziert, dass es zu jeder Permutation π höchstens k Werte von s gibt mit π(b s ) F, d.h. L kn!. Für jeweils nk!(n k)! Paare (π, s) in L ist π(b s ) gleich. Daher gilt L = F nk!(n k)! und es folgt F = L nk!(n k)! kn! nk!(n k)! = ( ) n 1. k 1 Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 10 / 19

11 Definition 5.4 (Poset) Eine partiell geordnete Menge bzw. ein Poset ist ein Paar (P, ) wobei P eine Menge ist und eine reflexive, d.h. a P : a a, antisymmetrische, d.h. a, b P : ((a b) (b a)) (a = b), und transitive, d.h. a, b, c P : ((a b) (b c)) (a c) Relation auf P ist. Gilt a, b P : (a b) (b a), so nennt man eine (totale) Ordnung. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 11 / 19

12 Definition 5.4 (Fortsetzung) Sei (P, ) ein Poset. 1 F ur a, b P mit a b und a b schreiben wir a < b. 2 F ur a, b P ist das Intervall [a, b] die Menge {x P : a x b}. 3 Sind alle Intervalle endlich, so nennt man (P, ) lokal endlich. 4 Gilt [a, b] = {a, b} für verschiedene a und b in P, so schreiben wir a < b. 5 Ein Element a von P ist minimal, falls kein b in P mit b < a existiert. 6 Ein Element a von P ist maximal, falls kein b in P mit a < b existiert. 7 Eine Teilmenge Q von P ist eine Kette, falls a, b Q : (a b) (b a) gilt. 8 Eine Teilmenge Q von P ist eine Antikette, falls Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 12 / 19

13 Beispiel 5.5 (Wichtige Posets, Hasse Diagramm) Beispiele für Posets sind (R, ), D = (N, ) und B(X ) = (2 X, ). Das Hasse Diagramm eines Posets (P, ) ist der (Di)Graph ( P, {(a, b) P 2 : a < b} ). Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 13 / 19

14 Beispiel 5.5 (Fortsetzung) Figure: Hasse Diagramm des Intervalls [1, 60] in D. Hasse Diagramm von B({1, 2, 3, 4}). Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 14 / 19

15 Satz 5.6 (Dilworth 1950) Für ein endliches Poset (P, ) ist die maximale Länge einer Antikette gleich der minimalen Anzahl disjunkter Ketten, die alle Elemente von P enthalten. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 15 / 19

16 Satz 5.6 (Fortsetzung) Beweis: (Galvin 1994) Sei ν(p) die maximale Kardinalität einer Antikette in P und τ(p) die minimale Anzahl disjunkter Ketten, die alle Elemente von P enthalten. Da sich jede Kette und jede Antikette in höchstens einem Element schneiden, gilt τ(p) ν(p). Der Beweis der Ungleichung τ(p) ν(p) erfolgt per Induktion nach P. F ur P = 1 gilt τ(p) = ν(p) = 1. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 16 / 19

17 Satz 5.6 (Fortsetzung) Sei nun P > 1 und sei m ein maximales Element von P. Sei P = P \ {m} und ν = ν(p ). Per Induktion folgt, dass P eine Uberdeckung aus ν Ketten C 1,..., C ν besitzt. Jede Antikette der Kardinalität ν von P enth alt genau ein Element jeder Menge C i. Sei a i unter allen Elementen von C i, welche zu einer Antikette von P der Länge ν gehören, maximal gewählt. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 17 / 19

18 Satz 5.6 (Fortsetzung) Behauptung {a 1,..., a ν } ist eine Antikette. Beweis der Behauptung: Gelte a i < a j f ur i, j [ν ]. Sei A j eine Antikette der Länge ν, die a j entält. Sei b i C i A j. Nun folgt der Widerspruch b i a i < a j. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 18 / 19

19 Satz 5.6 (Fortsetzung) Ist {a 1,..., a ν, m} eine Antikette, so gilt ν(p) > ν und die Behauptung folgt wegen τ(p) τ(p ) + 1 = ν + 1 ν(p). Sei daher a i < m für i [ν ]. Die Menge K = {m} {x C i : x a i } ist eine Kette von P und P \ K enthält keine Antikette der Länge ν, d.h. ν(p \ K) ν 1. Nun folgt τ(p) τ(p \ K) + 1 ν ν(p). Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 19 / 19