Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Noethersche Induktion Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Letzte Vorlesung 1. Grundlegende Beweisstrategien Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition: Um zu beweisen, dass B, zeige dass B. Beweis durch Widerspruch: Um zu beweisen, dass B, zeige dass B falsch Äquivalenzbeweis Um zu beweisen dass ( B) ( genau dann, wenn B) Beweise dass B und dass B. Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr 2

3 Letzte Vorlesung Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren: x U : (x) Wähle a beliebig aus U. Beweise (a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt x U : (x) x U : (x) E Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweise, dass (a). Damit folgt E x U : (x). Ähnlich für x U E y U : (x,y) 3

4 Letzte Vorlesung Induktion über die natürlichen Zahlen N (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n N gilt p(n) (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus der Induktionsvoraussetzung p(n) 4

5 Letzte Vorlesung Induktion über die natürlichen Zahlen N Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). Äquivalent Gilt die ussage: n N : ( dann gilt die ussage k N : (k < n p(k)) p(n)) n N : p(n). 5

6 Letzte Vorlesung Induktion über die natürlichen Zahlen N Verallgemeinerte vollständige Induktion Gilt die ussage: n N : ( dann gilt die ussage k N : (k < n p(k)) p(n)) n N : p(n). Induktionsvoraussetzung: Induktionsschluss: Für ein beliebig gewähltes n N, gilt p(k) für alle k < n Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung 6

7 Beispiel Satz: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. p(n): n lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. 7

8 Beispiel Satz: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. p(n): n lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Beweis: Sei n N beliebig gewählt. Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt für alle k < n Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung 8

9 Beispiel Satz: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. p(n): n lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Beweis: Sei n N beliebig gewählt. Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt für alle k < n Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung Fallunterscheidung: Fall 1: n Primzahl. Dann lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen. Fall 1: n keine Primzahl. Dann n = k 1 k 2, mit k 1, k 2 N, k 1, k 2 > 1. Da aber k i < n, i = 1, 2 ist nach Induktionsvoraussetzung bereits eine Darstellung als Produkt von Primzahlen für k i bekannt. Multipliziert man diese beiden Produkte miteinander, so erhält man eine Darstellung für n. 9

10 Verallgemeinerte vollständige Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >... ) Verallgemeinerung - beliebige Menge statt N - < partielle Ordnung auf - < wohlfundiert 10

11 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. (,R): partiell geordnete Menge. R ist eine totale Ordnung gdw. R(x,y) oder R(y, x) für alle x,y. 11

12 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Notation: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) Definition: Sei, und m. m ist ein Minimales Element von, gdw.: es gibt kein x mit x < m. Definition (, ) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.: Es gibt keine unendlich absteigende Kette in, das heißt: Es gibt keine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. (Unendlich aufsteigende Ketten sind zulässig) Beispiele: (N, ) is wohlfundiert; (Z, ), (0 { 1 n n N}, ) und (R, ) sind nicht wohlfundiert 12

13 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Beweis: Statt P Q, beweisen wir Q P. Sei nicht-leere Teilmenge von, die kein minimales Element enthält. Sei x 1. Da x 1 nicht minimal ist, gibt es x 2 mit x 2 < x 1. Da x 2 nicht minimal ist, gibt es x 3 mit x 3 < x 2 < x 1. Wir können deswegen eine unendliche absteigende Kette von Elementen aus bilden, d.h. ist nicht noethersch. Statt P Q, beweisen wir wieder Q P. nnahme: (, ) ist nicht noethersch, d.h. es gibt eine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. Sei = {x i i N}. Wir zeigen, dass kein minimales Element hat: Sei a. Dann a = x i für einen i N. Dann ist x i+1 < a; deshalb kann a nicht minimal sein. 13

14 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Nota bene Es genügt nicht, dass ein minimales Element hat (selbst dann nicht, wenn total ist). Beispiel: (0 { 1 n n N}, ) 14

15 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: (Verallgemeinerte vollständige Induktion) Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Sei (, ) noethersch (wohlfundiert). Sei p ein Prädikat auf, d.h., eine Funktion p : {wahr,falsch} (Eigenschaft der Elementen aus, die wahr oder falsch sein kann.) Theorem. (Noethersche Induktion) Falls dann gilt x : ( x : p(x) y : (y < x p(y)) p(x)) P Q 15

16 Verallgemeinerte vollständige Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P nnahme: Q := ( n N : p(n)) n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E E 16

17 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Sei (, ) noethersch (wohlfundiert). Sei p ein Prädikat auf, d.h., eine Funktion p : {wahr,falsch} (Eigenschaft der Elementen aus, die wahr oder falsch sein kann.) Theorem. Falls dann gilt x X : ( x X : p(x) y X : (y < x p(y)) p(x)) P Q Beweis: zu zeigen: P Q. Kontrapositionsbeweis: Q P nnahme: Q := ( x X:p(x)) ( x X: p(x)). > wohlfundierte Ordnung auf X: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {y X p(y)} =. Dann hat Y ein minimales Element x 0, d.h. x 0 (x 0 Y ( y X : (y < x 0 y Y))). E E 17

18 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Sei (, ) noethersch (wohlfundiert). Sei p ein Prädikat auf, d.h., eine Funktion p : {wahr,falsch} (Eigenschaft der Elementen aus, die wahr oder falsch sein kann.) Theorem. Falls dann gilt x X : ( x X : p(x) y X : (y < x p(y)) p(x)) P Q Beweis: zu zeigen: P Q. Kontrapositionsbeweis: Q P nnahme: Q := ( x X:p(x)) ( x X: p(x)). > wohlfundierte Ordnung auf X: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {y X p(y)} =. Dann hat Y ein minimales Element x 0, d.h. x 0 (x 0 Y ( {z } y X : (y < x 0 y Y) )) = P. {z } p(x 0 ) y<x 0 p(y) E E 18

19 Fehlerquellen Häufige Fehler bei Induktionsbeweisen Ordnung ist nicht noethersch Nicht alle Minima (Induktionsanfänge) bedacht Bei Induktionsschritt die Grenzfälle nicht bedacht 19

20 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: lle Menschen haben die gleiche Haarfarbe 20

21 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: lle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe 21

22 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: lle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionbasis: n = 1 Für eine Menge mit nur einem Menschen gilt die Behauptung trivial 22

23 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: lle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr. Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt. n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt. Der Mensch links außen wird rausgeschickt. Nun kann die Induktionsbehauptung angewendet werden und alle verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem rechts außen). 23

24 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: lle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr. Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt. n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt. Der Mensch rechts außen wird rausgeschickt. Die Induktionsbehauptung kann angewendet werden und alle verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem links außen). lso haben die beiden außen die gleiche Haarfarbe, wie die in der Mitte, und die haben auch alle die gleiche Haarfarbe lso haben alle n + 1 Menschen die gleiche Haarfarbe. 24

25 Beispiele von noetherschen Ordnungen Ordnungen auf kartesischen Produkten Die Produktordnung Die lexikographische Ordnung 25

26 Produktordnung Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die Produktordnung produkt auf B gegeben durch: (x,y) produkt (x,y ) gdw. (x x und y B y ) 26

27 Produktordnung Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die Produktordnung produkt auf B gegeben durch: (x,y) produkt (x,y ) gdw. (x x und y B y ) Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, produkt ) noethersch. 27

28 Produktordnung Lemma: (X, ) noethersch gdw: für jede unendliche Folge (x i ) i N mit x i X für alle i N und mit x 1 x 2 x 3... xn... es gibt ein m N so dass xm = x k für alle k m. Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die Produktordnung produkt auf B gegeben durch: (x,y) produkt (x,y ) gdw. (x x und y B y ) Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, produkt ) noethersch. Beweis: Sei ((x i, y i )) i N unendliche Folge in B mit (x 1, y 1 ) produkt (x 2, y 2 ) produkt (x 3, y 3 ) produkt produkt (x n, y n ) produkt... Dann x 1 x 2 x 3... x n... und y 1 B y 2 B y 3 B... B y n B... Da (, ) noethersch ist, es gibt m 1 so dass x m1 = x k für alle k m 1. Da (B, B ) noethersch ist, es gibt m 2 so dass x m2 = x j für alle j m 2. Sei m = max(m 1, m 2 ). Dann (x m, y m ) = (x i, y i ) für alle i m. Das zeigt, dass ( B, produkt ) noethersch ist. 28

29 Lexikographische Ordnung Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die lexikographische Ordnung auf B gegeben durch: (x,y) (x, y ) gdw. x = x und y = y oder x < x oder x = x und y < B y 29

30 Lexikographische Ordnung Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die lexikographische Ordnung auf B gegeben durch: (x,y) (x, y ) gdw. x = x und y = y oder x < x oder x = x und y < B y Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, ) noethersch. 30

31 Lexikographische Ordnung Lemma: (X, ) noethersch gdw: für jede unendliche Folge (x i ) i N mit x i X für alle i N und mit x 1 x 2 x 3... xn... es gibt ein m N so dass xm = x k für alle k m. Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die lexikographische Ordnung auf B gegeben durch: (x,y) (x, y ) gdw. x = x und y = y oder x < x oder x = x und y < B y Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, ) noethersch. Beweis: Sei ((x i, y i )) i N unendliche Folge in B mit (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ) (x n, y n )... Fall 1: Die ersten Komponenten sind alle gleich: Dann y 1 B y 2 B.... (B, B ) noethersch ist, es gibt m 1 so dass x m1 = x j für alle j m 1. 31

32 Lexikographische Ordnung Lemma: (X, ) noethersch gdw: für jede unendliche Folge (x i ) i N mit x i X für alle i N und mit x 1 x 2 x 3... xn... es gibt ein m N so dass xm = x k für alle k m. Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die lexikographische Ordnung auf B gegeben durch: (x,y) (x, y ) gdw. x = x und y = y oder x < x oder x = x und y < B y Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, ) noethersch. Beweis: Sei ((x i, y i )) i N unendliche Folge in B mit (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ) (x n, y n )... Fall 2: x 1 = x 2 = = x i1 x i1 +1 =... = x i2....da(, ) noethersch ist, es gibt m 2 so dass x m2 = x k für alle k m 2. 32

33 Lexikographische Ordnung Definition: Seien (, ) und (B, B ) partiell geordnete Mengen. Dann ist die lexikographische Ordnung auf B gegeben durch: (x,y) (x, y ) gdw. x = x und y = y oder x < x oder x = x und y < B y Lemma: (X, ) noethersch gdw: für jede unendliche Folge (x i ) i N mit x i X für alle i N und mit x 1 x 2 x 3... xn... es gibt ein m N so dass xm = x k für alle k m. Lemma: Wenn (, ) und (B, B ) noethersch sind, dann ist ( B, ) noethersch. Beweis: Sei ((x i, y i )) i N unendliche Folge in B mit (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 3, y 3 ) (x n, y n )... Sei m = max(m 1, m 2 ). Dann (x m, y m ) = (x i, y i ) für alle i m. Das zeigt, dass ( B, ) noethersch ist. 33

34 Beispiel für Induktion: ckermann-funktion CK(x,y) = 8 >< >: y + 1 falls x = 0 CK(x 1,1) falls x 0 und y = 0 CK(x 1,CK(x, y 1)) falls x 0 und y 0 34

35 Beispiel für Induktion: ckermann-funktion CK(x,y) = 8 >< >: y + 1 falls x = 0 CK(x 1,1) falls x 0 und y = 0 CK(x 1,CK(x, y 1)) falls x 0 und y 0 Die ckermann-funktion ist eine 1926 von Wilhelm ckermann gefundene, extrem schnell wachsende mathematische Funktion, mit deren Hilfe in der theoretischen Informatik Grenzen von Computer- und Berechnungsmodellen aufgezeigt werden können. 35

36 Beispiel für Induktion: ckermann-funktion CK(x,y) = 8 >< >: y + 1 falls x = 0 CK(x 1,1) falls x 0 und y = 0 CK(x 1,CK(x, y 1)) falls x 0 und y 0 Theorem. CK ist eine totale Funktion auf N N. 36

37 Beispiel für Induktion: ckermann-funktion CK(x,y) = 8 >< >: y + 1 falls x = 0 CK(x 1,1) falls x 0 und y = 0 CK(x 1,CK(x, y 1)) falls x 0 und y 0 Theorem. CK ist eine totale Funktion auf N N. Induktionbasis: CK(0, 0) = 1 (definiert) 37

38 Beispiel für Induktion: ckermann-funktion CK(x,y) = 8 >< >: y + 1 falls x = 0 CK(x 1,1) falls x 0 und y = 0 CK(x 1,CK(x, y 1)) falls x 0 und y 0 Theorem. CK ist eine totale Funktion auf N N. Induktionsvoraussetzung: CK(m,n ) definiert für alle (m,n ) < (m,n). Induktionsschritt: Beweis durch Fallunterscheidung m = 0: CK(0, n) = n + 1 (definiert) m 0, n = 0. Dann (m 1,1) < (m,0), d.h. CK(m 1,1) definiert ber CK(m,0) = CK(m 1,1), so CK(m,n) definiert. m 0, n 0. Dann (m, n 1) < (m,n), d.h. CK(m, n 1) definiert. (m 1, z) < (m,z), d.h. CK(m 1, CK(m,n 1)) definiert. 38

39 Zusammenfassung Grundlegende Beweisstrategien Induktion über die natürlichen Zahlen Partielle Ordnung, totale Ordnung, minimale Elemente Noethersche (wohlfundierte) Menge Noethersche Induktion (Theorem, Beweis) Fehlerquellen Produktordnung/Lexikographische Ordnung Beispiel für noethersche Induktion: ckermann-funktion 39