Logik für Informatiker

Transkript

1 Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans 1

2 Literatur zur Vorlesung Skriptum von U. Furbach Ulrich Furbach Logic for Computer Scientists obermaie/script.htm Buch von U. Schöning Uwe Schöning Logik für Informatiker 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag Buch von M. Fitting Melvin Fitting First-Order Logic and Automated Theorem Proving 2. Auflage, Springer-Verlag 2

3 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? ja Unverständlich? hoffentlich nein Reine Theorie ohne praktischen Nutzen? nein: Verifikation von Hardware, Software, Protokollen Sprachverarbeitung und Wissensrepräsentation Abfragensprachen für Datenbanken;... 3

4 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem Rolle der Logik in der Informatik Anwendung innerhalb der Informatik Spezifikation, Programmentwicklung, Programmverifikation Werkzeug für Anwendungen außerhalb der Informatik Künstliche Intelligenz, Wissensrepräsentation 4

5 Modellierung Abstraktion 5

6 Modellierung Adäquatheit des Modells Wenn formulierbare Aussage wahr im Modell, dann entsprechende Aussage wahr in Wirklichkeit 6

7 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten F.nach unten unten unten unten v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(untengedrückt) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr 7

8 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten Aufzug mitte F.nach unten unten unten unten v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(aufzugoben) = wahr v(aufzugmitte) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(untengedrückt) = wahr v(mittegedrückt) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr v(fährtnachunten) = wahr 8

9 Modellierung: Strukturen oben Aufzug oben Mitte gedruckt oben oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten mitte Aufzug mitte Unten gedruckt mitte F.nach unten Aufzug mitte F.nach unten unten unten unten Aussagen beziehen sich auf Strukturen (Formale) Aussagen sind in jeder einzelnen Struktur zu wahr oder falsch auswertbar 9

10 Formale Logik Syntax welche Formeln? Semantik Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln 10

11 Aussagenlogik: Syntax Die Welt besteht aus Fakten Bausteine: Atomare Aussagen Beispiele: Aufzug ist oben: AufzugOben Mittlerer Knopf gedrückt: MitteGedrückt Verknüpft mit logischen Operatoren und oder impliziert nicht ( wenn, dann ) 11

12 Aussagenlogik: Syntax Komplexe Aussagen: Beispiele: Wenn mittlerer Knopf gedrückt, dann Aufzug nicht in der Mitte MitteGedrückt AufzugMitte Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten 12

13 Aussagenlogik: Semantik Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten wahr in: oben Aufzug oben Mitte gedruckt mitte F.nach unten unten 13

14 Aussagenlogik: Semantik Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten AufzugOben AufzugUnten falsch in: oben mitte Aufzug mitte Unten gedruckt F.nach unten unten 14

15 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln Syllogismen: P Q P Q AufzugUnten AufzugOben AufzugUnten AufzugOben 15

16 Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus im allgemeinen Kalkül In dieser Vorlesung: Wahrheitstafeln Logische Umformung Resolutionskalkül Tableaukalkül 16

17 Prädikatenlogik Aussagenlogik: Die Welt besteht aus Fakten... aber: Aussagenlogik hat nur beschränkte Ausdruckskraft Beispiele: Die Aussage Alle Menschen sind sterblich erfordert eine Formel für jeden Mensch. Die Aussage Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade erfordert eine Formel für jede Zahl. 17

18 Prädikatenlogik Reichere Struktur Objekte (Elemente) Leute, Häuser, Zahlen, Theorien, Farben, Jahre,... Relationen/Eigenschaften rot, rund, gerade, ungerade, prim, mehrstöckig,... ist Bruder von, ist größer als, ist Teil von, hat Farbe, besitzt,.. =,,... Funktionen +, Mitte von, Vater von, Anfang von,... 18

19 Beispiel 1 Objekte (Elemente): Zahlen Funktionen: +, * Terme: 2+3, 3 (5+6), x, x +2, x (2 y) Relationen/Eigenschaften: gerade, ungerade Formel: gerade(2), ungerade(5), gerade(100), ungerade(100) gerade(2) ungerade(5) gerade(x) gerade(x + 1) Quantoren: A (für alle); Formeln mit Quantoren: E (es gibt) E A x gerade(x) gerade(x + 1) x ungerade(x) 19

20 Beispiel 2: Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: Vater, Mutter, Jan, Anna x Jan Anna Vater(x) Vater(Jan) Vater(Anna) Mutter(x) Mutter(Jan) Mutter(Anna) Vater(Mutter(x)) Vater(Mutter(Jan))... Eigenschaften: ist-bruder-von; Mann; Frau Mann(x) Mann(Jan) Mann(Anna) Mann(Vater(x)) Frau(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(x, y) ist-bruder-von(x, Jan) ist-bruder-von(x, Anna) ist-bruder-von(jan, Anna) 20

21 Beispiel 2: Formel: Mann(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan)) Frau(Mutter(Jan)) Mann(Mutter(Anna)) Mann(Vater(Jan)) ist-bruder-von(jan, Anna) Quantoren E A : für alle : es gibt Formeln mit Quantoren: A A A x Mann(Vater(x)) x Mann(Mutter(x)) x, y (ist-bruder-von(x, y) Mann(x)) 21

22 Beispiel 3 Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: koblenz Eigenschaften: studiertin, schlau A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) Es gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Objekte (Elemente): Menschen Funktionen: landau Eigenschaften: studiertin, schlau E x(studiertin(x, landau) schlau(x)) 22

23 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Syllogismen: Ableitung neuer wahrer Formeln A x(p(x) Q(x)) A A x(p(x) R(x)) x(q(x) R(x)) A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) A A x(schlau(x) gute-noten(x)) x(studiertin(x, koblenz) gute-noten(x)) 23

24 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus Deduktionsmechanismus Syllogismen: Ableitung neuer wahrer Formeln Q(a) R(a) A x(q(x) R(x)) Beispiel: studiertin(jan, koblenz) A x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) schlau(jan) 24

25 Prädikatenlogik: Deduktionsmechanismus In dieser Vorlesung: Resolutionskalkül Tableaukalkül 25

26 Das Prinzip z.b. natürliche Sprache Problem Losung Formeln Losung präzise Beschreibung 26

27 Anwendungesbeispiel: Sicherheitsprotokole Ziel: zwei Personen (Alice und Bob) wollen miteinander kommunizieren über ein unsicheres Daten- oder Telefonnetz, sicher, d. h., ohne daß ein Eindringling (Charlie) mithören oder sich als Alice oder Bob ausgeben kann. Hilfsmittel: Verschlüsselung Alice und Bob vereinbaren einen gemeinsamen Schlüssel und nutzen ihn, um ihr Gespräch zu verschlüsseln. Nur wer den Schlüssel kennt, kann das Gespräch entschlüsseln. 27

28 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Problem: wie kommen die Gesprächspartner an den gemeinsamen Schlüssel? Persönliche Übergabe kommt nicht immer in Frage. Wird der gemeinsame Schlüssel über das Netz unverschlüsselt verschickt, könnte Charlie ihn abfangen oder austauschen. Annahme: es gibt eine sichere Schlüsselzentrale, mit der Alice und Bob jeweils einen gemeinsamen Schlüssel vereinbart haben. 28

29 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Das folgende Schlüsselaustauschverfahren wurde 1993 von den beiden Kryptographen Neuman und Stubblebine vorgeschlagen: Schritt 1: Alice schickt (offen) Identifikation und Zufallszahl an Bob. 29

30 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 2: Bob leitet Nachricht weiter an Schlüsselzentrale ( Trust ). 30

31 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 3: Trust schickt Nachricht an Alice. Darin: ein neuer gemeinsamer Schlüssel, einmal für Alice und einmal für Bob verschlüsselt. 31

32 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 4: Alice leitet den neuen gemeinsamen Schlüssel weiter an Bob. 32

33 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Schritt 5: Alice und Bob können nun mit dem gemeinsamen Schlüssel kommunizieren. 33

34 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Ist das Verfahren sicher? Wir übersetzen das Problem in Formeln und lassen sie von einem Theorembeweiser untersuchen. 34

35 Beispiel: Sicherheitsprotokolle Zuerst formalisieren wir die Eigenschaften des Protokolls: Wenn Alice/Bob/Trust eine Nachricht in einem bestimmten Format bekommt, dann schickt er/sie eine andere Nachricht ab. Dann formalisieren wir die Eigenschaften des Angreifers: Wenn eine Nachricht übermittelt wird, kann Charlie sie mithören. Wenn Charlie eine verschlüsselte Nachricht bekommt und den passenden Schlüssel hat, kann er sie entschlüsseln. Wenn Charlie eine Nachricht hat, dann kann er sie an Alice/Bob/Trust abschicken

36 Formalisierung Zum Schluss müssen wir noch formalisieren was es bedeutet, dass der Angreifer Erfolg hat. Dies ist dann der Fall, wenn er einen Schlüssel zur Kommunikation mit Bob hat, von dem Bob glaubt, es sei ein Schlüssel für Alice. E x[ik(key(x,b)) Bk(key(x,a))] 36

37 Automatische Analyse Die Formalisierung des Protokolls, Formeln (1)-(8) zusammen mit den Angreiferformeln (9)-(20) und der Erfolgsbedingung für den Angreifer kann man nun in einen Theorembeweiser eingeben. Der Theorembeweiser beweist dann automatisch, dass der Angreifer das Protokoll brechen kann. 37

38 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Modelle: Semantik Formel Kalkül Logik Gültige Formel Vollständigkeit Beweisbare Formel Korrektheit 38

39 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Modellierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Modelle: Semantik Formel Kalkül Logik Gültige Formel Vollständigkeit Beweisbare Formel Korrektheit 39

40 Das ganze Bild Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache) Formalisierung Logische Sprache: Syntax Aussagenlogik / Prädikatenlogik Formel Modelle: Semantik Kalkül (automatische) Deduktion Logik Gültige Formel Vollständigkeit Korrektheit Beweisbare Formel 40

41 Inhalt der Vorlesung 1. Einführung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion) 2. Aussagenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 3. Prädikatenlogik Syntax und Semantik Deduktionsmechanismen: - Resolution, Vollständigkeits- und Korrektheitsbeweise - Analytische Tableaux 4. Weitere Aussichten - Nichtklassische Logiken; Logiken höherer Stufe - Anwendungen: z.b. Datenbanken oder Verifikation 41

42 Einführung: Zusammenfassung Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik Modellierung, Adäquatheit der Modellierung Wesentliche Komponenten für jede Logik: Syntax, Semantik, Deduktionsmechanismus (Kalkül) Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen Beispiel Prädikatenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen The Whole Picture: Formel in der wahren Welt / (semantisch) gültige Formel, gültige Formel / ableitbare Formel Vollständigkeit und Korrektheit von Kalkülen 42

43 1. Grundlegende Beweisstrategien 43

44 Mathematisches Beweisen Mathematische Aussagen - haben oft die Form: Wenn A, dann B. - als Formel: A B Mathematischer Beweis - bzgl. eines vorgegebenen Axiomensystems - mit Hilfe von Inferenzregeln 44

45 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische Aussagen der Form A B (Wenn A, dann B) - Direkter Beweis: Annahme: A gilt. Benutze A, Axiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. Beweis: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich n als n = 2k + 1 darstellen, wobei k N. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen Formel, dass: n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1. Aus der Möglichkeit, n 2 so darzustellen folgt, dass n 2 ungerade ist. 45

46 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische Aussagen der Form A B (Wenn A, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B A. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass A B falsch Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. Beweis: Angenommen, n = k wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung auch k 2 = n ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass n gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch, d.h., n ist gerade. 46

47 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische Aussagen, die nicht die Form A B haben - Äquivalenzbeweis (A B) (A genau dann, wenn B) Beweise dass A B und dass B A. (Wenn A, dann B, und wenn B, dann A.) 47

48 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Widerspruch Um A zu beweisen: Annahme: A ist falsch (die Negation von A ist wahr) Zeige, dass dies zu einem Widerspruch führt. Behauptung: 2 Q. Beweis: Wir nehmen an dass 2 Q und somit 2 = p q wobei der Bruch p/q in gekürzter ( Form vorliegt (d.h. p und q teilerfremde ganze Zahlen sind). Dann p 2 q) = 2, d.h: p 2 = 2q 2. Da 2q 2 eine gerade Zahl ist, ist auch p 2 gerade. Daraus folgt, dass auch p gerade ist, d.h. p = 2r (wobei r Z). Damit erhält man mit obiger Gleichung: 2q 2 = p 2 = (2r) 2 = 4r 2, und hieraus nach Division durch 2: q 2 = 2r 2. Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass q 2 und damit auch q eine gerade Zahl ist. Da p und q durch 2 teilbar sind, erhalten wir einen Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, 2 sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit ist die Behauptung, dass 2 irrational ist, bewiesen. 48

49 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass A 1 B,...,A n B, wobei A 1 A n wahr Behauptung: Jede Primzahl p 3 hat die Form p = 4 k +1 oder p = 4 k 1 mit k N. Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für p, von denen immer genau einer eintritt: Fall 1: p = 4k Fall 2: p = 4k + 1 Fall 3: p = 4k + 2 Fall 4: p = 4k + 3 = 4(k + 1) 1 Im ersten dieser Fälle ist p durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist p durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. Also muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt p hat die Form p = 4 k +1 oder p = 4 k 1 mit k N. 49

50 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass A 1 B,...,A n B, wobei A 1 A n wahr Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. 50

51 Grundlegende Beweisstrategien Aussagen mit Quantoren A x U : (p(x) q(x)) Wähle a beliebig aus U. Beweise, dass p(a) q(a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt A x U : p(x) q(x) Behauptung: A n N : (n ist gerade und n ist eine natürliche Zahl }{{} p(n) n ist gerade). }{{} q(n) Beweis: Sei n beliebig aus N. Wir zeigen, dass wenn n gerade ist und n eine natürliche Zahl ist, dann n gerade ist. (Dies wurde auf Seite 46 bewiesen.) 51

52 Grundlegende Beweisstrategien Aussagen mit Quantoren E x U A(x) Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweise, dass A(a) wahr ist. Damit folgt E x U : A(x). Behauptung: E x N : x 2 2x + 1 = 0 Beweis: A(x) : x 2 2x + 1 = 0 Sei a = 1. Wir zeigen, dass A(a) wahr ist: a 2 2a + 1 = = 0. Damit folgt x N : A(x) E 52

53 Grundlegende Beweisstrategien Aussagen mit Quantoren E x U A(x) Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweise, dass A(a) wahr ist. Damit folgt E x U : A(x). E x U (p(x) q(x)) Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Damit folgt E x U : p(x) q(x). 53

54 Grundlegende Beweisstrategien Beweise mittels Vollständiger Induktion 54

55 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik Einfache Version Induktion über die natürlichen Zahlen N (natural induction) Generalization Noethersche Induktion (noetherian induction/ induction over well-founded partially ordered sets) Hier: Strukturelle Induktion 55

56 Induktion über die natürlichen Zahlen Idee: Definition der natürlichen Zahlen (A1) 0 ist eine natürliche Zahl (A2) Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger S(n) (A3) Aus S(n) = S(m) folgt n = m (A4) 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl (A5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. 56

57 Induktion über die natürlichen Zahlen (A5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. A X Menge: Falls 0 X, und A n N : n X n +1 X so A n N : n X Induktionssatz Gelten die beiden Aussagen: - p(0) und Induktionsbasis - n N : p(n) p(n +1), Induktionsschritt dann gilt auch n N : p(n). A A 57

58 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsschritt: Beweise p(n) p(n + 1) für ein beliebiges n N 58

59 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n N gilt p(n) (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus der Induktionsvoraussetzung p(n)

60 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 Für alle n N, (2i +1) = n 2. n 1 i=0 p(n) : (2i +1) = n 2 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n 1 n N gilt p(n): (2i + 1) = n 2 (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus p(n) n p(n + 1) : (2i + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 i=0 Beweis: n n 1 (2i + 1) = ( (2i + 1)) + (2n + 1) p(n) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 60

61 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden Aussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n +1) A dann gilt die Aussage A n N : p(n). Äquivalent Gelten die beiden Aussagen: p(0) und n N : ( k N : (k < n +1 p(k)) p(n +1)) A A dann gilt die Aussage A n N : p(n). 61

62 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden Aussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n +1) A dann gilt die Aussage A n N : p(n). Äquivalent Gilt die Aussage: A n N : ( A dann gilt die Aussage k N : (k < n p(k)) p(n)) A n N : p(n). 62

63 Vollständige Induktion Zu zeigen: A n n 0 : P(n) Sei n N,n n 0. Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt für alle k < n Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung. 63

64 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt A A n N : ( A n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P Annahme: Q := ( A n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E A 64

65 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt A A n N : ( A n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P Annahme: Q := ( A n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E A 65

66 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt A A n N : ( A n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Verallgemeinerung - beliebige Menge A statt N - < Ordnung auf A - < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >...) 66

67 Beispiel Satz: Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. p(n): n 2 n lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Beweis: Sei n N, n 2, beliebig gewählt. Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt für alle k < n Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung. Fallunterscheidung: Fall 1: n Primzahl. Dann lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen (n = n) Fall 2: n keine Primzahl. Dann n = k 1 k 2, mit k 1,k 2 N, k 1,k 2 2. Da aber k i < n,i = 1,2 ist nach Induktionsvoraussetzung bereits eine Darstellung als Produkt von Primzahlen für k i bekannt. Multipliziert man diese beiden Produkte miteinander, so erhält man eine Darstellung für n. 67

68 Fehlerquellen Häufige Fehler bei Induktionsbeweisen es gibt unendliche absteigende Ketten x 1 > x 2 >... Induktionsanfäng inkorrekt Bei Induktionsschritt die Grenzfälle nicht bedacht 68

69 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionbasis: n = 1 Für eine Menge mit nur einem Menschen gilt die Behauptung trivial 69

70 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr. Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt. n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt. Der Mensch links außen wird rausgeschickt. Es bleiben nur n Menschen. Nun kann die Induktionsbehauptung angewendet werden und alle verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem rechts außen). 70

71 Fehlerquellen Was ist hier falsch? Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr. Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt. n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt. Der Mensch rechts außen wird rausgeschickt. Es bleiben nur n Menschen. Die Induktionsbehauptung kann angewendet werden und alle verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem links außen). Also haben die beiden außen die gleiche Haarfarbe, wie die in der Mitte, und die haben auch alle die gleiche Haarfarbe Also haben alle n + 1 Menschen die gleiche Haarfarbe. 71

72 Strukturelle Induktion Bei der vollständigen Induktion werden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bewiesen. Bei der strukturellen Induktion werden Eigenschaften für Mengen bewiesen, deren Elemente aus Grundelementen durch eine endliche Anzahl von Konstruktionsschritten (unter Verwendung bereits konstruierter Elemente) bzw. mittels eines Erzeugungssystems entstehen. 72

73 Induktive Definitionen Induktive Definition von Mengen: Induktive Definition einer Menge M aus einer Basismenge B mit Konstruktoren in Σ. (Konstruktoren sind Funktionssymbole; für f Σ, a(f) N ist die Stelligkeit von f.) Basismenge: B Erzeugungsregel: Wenn f Σ mit Stelligkeit n und e 1,...,e n M, dann gilt f(e 1,...,e n ) M. M ist die kleinste Menge, die die Basismenge B enthält, mit der Eigenschaft, dass für alle f Σ mit Stelligkeit n und alle e 1,...,e n M: f(e 1,...,e n ) M. 73

74 Induktive Definitionen: Beispiele (1) Menge N aller natürlichen Zahlen Basismenge: 0 Erzeugungsregel: Wenn n N, dann gilt n + 1 N N ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften: (1) A enthält 0; (2) für alle Elemente n, falls n A so n + 1 A. Das bedeutet, dass: (1) 0 N (2) Falls n N so n + 1 N. (3) Für jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: N A. 74

75 Induktive Definitionen: Beispiele (2) Menge Σ aller Wörter über ein Alphabet Σ Basismenge: Das leere Wort ǫ Σ Erzeugungsregel: Wenn w Σ und a Σ, dann gilt wa Σ Σ ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften: (1) A enthält das leere Wort ǫ (2) für alle Elemente w, falls w A und a Σ, so wa A. Das bedeutet, dass: (1) ǫ Σ (2) Falls w Σ und a Σ so wa Σ. (3) Für jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: Σ A. 75

76 Induktive Definitionen: Beispiele (3) Bin : die Menge aller (vollständigen) binären Bäume Basismenge: Erzeugungsregel: Baum mit nur einem Knoten. Wenn B 1,B 2 Bin, dann ist auch Tree(B 1,B 2 ) Bin. Tree(B, B ) 1 2 B B 1 2 Beispiele: = Tree(, ) = Tree(, ) = Tree(, ) 76

77 Induktive Definitionen: Beispiele (3) Bin : die Menge aller (vollständigen) binären Bäume Basismenge: Erzeugungsregel: Baum mit nur einem Knoten. Wenn B 1,B 2 Bin, dann ist auch Tree(B 1,B 2 ) Bin. Bin ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften: (1) A enthält der Baum mit nur einem Knoten. (2) für alle Elemente B 1,B 2, falls B 1,B 2 A so Tree(B 1,B 2 ) A. Das bedeutet, dass: (1) Bin (2) Falls B 1,B 2 Bin so Tree(B 1,B 2 ) Bin. (3) Für jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: Bin A. 77

78 Induktive Definitionen: Beispiele (4) Menge aller aussagenlogischen Formeln Basismenge: (falsch), (wahr), P 0,P 1,P 2,... sind aussagenlogische Formeln (atomare Formeln) Erzeugungsregel: Wenn F 1,F 2 aussagenlogische Formeln sind, dann sind auch F 1,F 1 F 2,F 1 F 2, F 1 F 2,F 1 F 2 aussagenlogische Formeln 78

79 Induktive Definition von Mengen: Induktive Definitionen Induktive Definition einer Menge M aus einer Basismenge B mit Operationssymbole ( Konstruktoren ) Σ (wobei a(f) Stelligkeit von f für f Σ). Basismenge: Erzeugungsregel: B Wenn f Σ mit Stelligkeit n und e 1,...,e n M, dann gilt f(e 1,...,e n ) M. M ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften: (1) A enthält die Basismenge B (2) für alle Elemente e 1,...,e n A, und alle f Σ (mit Stelligkeit n), ist auch f(e 1,...,e n ) in A. Dass bedeutet, dass: (1) B M (2) Falls e 1,...,e n M und f Σ (mit Stelligkeit n), so f(e 1,...,e n ) M. (3) Für jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: M A. 79

80 Strukturelle Induktion Zu zeigen: A x M : P(x) (1) Induktionsbasis: Beweise, dass für alle b B, P(b) gilt. (2) Sei e M, e B. Dann e = f(e 1,...,e n ), mit f Σ und e 1,...,e n M. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass P(e 1 ),...,P(e n ) gelten. Induktionsschluss: Folgere, dass P(e) gilt. 80

81 Strukturelle Induktion Satz. Falls: (1) bewiesen werden kann, dass für alle b B, P(b) gilt. (Induktionsbasis) (2) falls e = f(e 1,...,e n ) mit f Σ unter der Annahme dass P(e 1 ),...,P(e n ) gelten (Induktionsvoraussetzung) wir beweisen können, dass auch P(e) gilt (Induktionsschritt) Dann gilt P(m) für alle m M. Beweis: Sei A = {e P(e) wahr }. (1) Da bewiesen werden kann, dass für alle b B, P(b) gilt, wissen wir, dass A die Basismenge B enthält. (2) Da wir, aus der Annahme dass P(e 1 ),...,P(e n ) wahr sind, beweisen können, dass auch P(e) wahr ist, wissen wir, dass falls e 1,...,e n A, und f Σ (mit Stelligkeit n), so f(e 1,...,e n ) in A. Da M die kleinste aller Mengen mit Eigenschaften (1) und (2) ist, folgt, dass M A = {e P(e) wahr }, d.h. m M,P(m) wahr. A 81

82 Beispiel Σ : die Menge aller Wörter über ein Alphabet Σ Basismenge: Das leere Wort ǫ Σ Erzeugungsregel: Wenn w Σ und a Σ, dann gilt wa Σ Sei die Umkehrung (Reverse) eines Wortes wie folgt definiert: rev(ǫ) = ǫ rev(wa) = a rev(w) mit w Σ und a Σ. 82

83 Beispiel Zu zeigen: A Sei w 1 Σ, beliebig. w 1,w 2 Σ,rev(w 1 w 2 ) = rev(w 2 )rev(w 1 ) Zu zeigen: A w 2 Σ,p(w 2 ) wobei: p(w 2 ) : rev(w 1 w 2 ) = rev(w 2 )rev(w 1 ) Induktion über die Struktur von w 2. (1) Induktionsbasis: Wir zeigen, dass die Eigenschaft gilt für w 2 = ǫ (d.h. dass P(ǫ) : rev(w 1 ǫ) = rev(ǫ)rev(w 1 ) wahr ist). Beweis: rev(w 1 ǫ) = rev(w 1 ) = ǫrev(w 1 ) = rev(ǫ)rev(w 1 ). 83

84 Beispiel Zu zeigen: A Sei w 1 Σ, beliebig. w 1,w 2 Σ,rev(w 1 w 2 ) = rev(w 2 )rev(w 1 ) Zu zeigen: A w 2 Σ,p(w 2 ) wobei: p(w 2 ) : rev(w 1 w 2 ) = rev(w 2 )rev(w 1 ) (2) Sei w 2 Σ, w 2 ǫ. Dann w 2 = wa. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass p(w) gilt, d.h. dass rev(w 1 w) = rev(w)rev(w 1 ). Induktionsschluss: Wir beweisen, dass dann p(w 2 ) gilt. rev(w 1 w 2 ) = rev(w 1 (wa)) = rev((w 1 w)a) = a rev(w 1 w) (Definition von rev) = a rev(w)rev(w 1 ) (Induktionsvoraussetzung) = (a rev(w))rev(w 1 ) = rev(wa)rev(w 1 ) (Definition von rev) = rev(w 2 )rev(w 1 ) 84

85 Beispiel 2 Bin : Menge allen (vollständigen) binären Bäume Basismenge: Baum mit nur einem Knoten. Erzeugungsregel: Wenn B 1,B 2 Bin, dann ist auch Tree(B 1,B 2 ) Bin. Tree(B, B ) 1 2 B B

86 Beispiel 2 Behauptung: Für alle B Bin, falls B n Blätter hat, so besitzt B genau n 1 innere Knoten. P(B) : Falls B n 1 Blätter hat, dann besitzt B genau n 1 innere Knoten. (1) Induktionsbasis: Wir zeigen, dass P(B) gilt wenn B nur aus einem Knoten besteht. Beweis: Sei B Baum, der nur aus einem Knoten besteht. Dann besteht T nur aus einem Blatt, und B hat keinen inneren Knoten. d.h. P(B) gilt. 86

87 Beispiel 2... ctd. (2) Sei B Bin, B nicht in der Basismenge, d.h. B = Tree(B 1,B 2 ). Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass P(B 1 ),P(B 2 ) gelten. Induktionsschluss: Wir beweisen, dass P(B) gilt. Beweis: Sei B = Tree(B 1,B 2 ). Dann gilt: n = n 1 + n 2, wobei n,n 1,n 2 Anzahl der Blätter von B,B 1 bzw. B 2 sind. mit m,m 1,m 2 als Anzahl innerer Knoten von B,B 1 bzw. B 2 : m = 1 + m 1 + m 2 nach Definition von B = Tree(B 1,B 2 ) = 1 + (n 1 1) + (n 2 1) nach Induktionsvoraussetzung = (n 1 + n 2 ) 1 = n 1. Somit ist es bewiesen, dass A B Bin,P(B) gilt. 87

88 Zusammenfassung Grundlegende Beweisstrategien Induktion über die natürlichen Zahlen Fehlerquellen Strukturelle Induktion 88

89 2. Aussagenlogik Teil

90 Beispiel: Das 8-Damen Problem Man platziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. 90

91 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beschreibung des Problems Für jedes Feld des Schachbretts eine aussagenlogische Variable D ij Mit der Vorstellung, dass D ij den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i,j) eine Dame steht. Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen 91

92 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht: keine andere Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 keine andere Dame auf Feld (1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7) D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3) D 57 D 68 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4) D 57 D 48 D 6,6 D 7,5 D 8,4 92

93 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 D 57 D 68 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 D 57 D 48 D 6,6 D 7,5 D 8,4 }{{} F 57 Globale Einschränkungen Für jedes k mit 1 k 8: R k := D 1,k D 2,k D 3,k D 4,k D 5,k D 6,k D 7,k D 8,k 93

94 Beispiel: Das 8-Damen Problem Struktur: Wahrheitswerte für die atomaren Aussagen D ij Modell für F ij (R k ): Wahrheitswerte für die atomaren Aussagen D ij so dass F ij wahr (bzw. R k wahr). Lösung des 8-Damen Problems: Eine aussagenlogische Struktur beschreibt eine Lösung des 8-Damen- Problems genau dann, wenn sie ein Modell der Formeln ist. F ij für alle 1 i,j 8 R k für alle 1 k 8 94

95 Formale Logik Syntax welche Formeln? Semantik Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln 95

96 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen Symbol für die Formel wahr Symbol für die Formel falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern 96

97 Vokabular der Aussagenlogik Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P 0,...,P n } oder Π = {P 0,P 1,...} Bezeichnungen für Symbole in Π atomare Aussagen Atome Aussagenvariablen 97

98 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For Π der Formeln über Π: Die kleinste Menge mit: For Π und For Π Π For Π Wenn F,G For Π, dann auch F,(F G),(F G),(F G),(F G) Elemente von For Π. 98

99 Aussagenformeln For Π Menge der Formeln über Π: F,G,H ::= (Falsum) (Verum) P, P Π (atomare Formel) F (Negation) (F G) (Konjunktion) (F G) (Disjunktion) (F G) (Implikation) (F G) (Äquivalenz) 99

100 Konventionen zur Notation Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen: > p > p > p > p (Präzedenzen), und sind assoziativ und kommutativ, 100

101 Konventionen zur Notation Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen: > p > p > p > p (Präzedenzen), und sind assoziativ und kommutativ, Beispiele: Π = {P,Q,R}, P, Q, P Q, (P ( R )) sind Formeln Wir schreiben P Q R statt (P Q) R. 101

102 Beispiel: 8-Damenproblem Aussagenlogische Variablen D i,j bedeutet: Auf dem Feld (i,j) steht eine Dame. Formeln Wenn auf dem Feld (5,7) eine Dame steht, kann keine Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) stehen : D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 102

103 Beispiel 1 Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. B F Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. F B E Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. E B F 103

104 Beispiel 1 B F F B E E B F Wir möchten wissen, welche Menüs solche Diätregeln erfüllen. z.b.: Formalisierung: kein Bier, Fisch und Eiscreme erfüllt 3. Diätregel nicht! Bier, Fisch, keine Eiscreme erfüllt alle Diätregeln B falsch,f wahr,e wahr B wahr,f wahr,e falsch 104

105 Beispiel 1 B F F B E E B F Wir möchten wissen, welche Menüs solche Diätregeln erfüllen. z.b.: Formalisierung: 0:falsch,1:wahr A : {B,F,E} {0,1} kein Bier, Fisch und Eiscreme A(B) = 0,A(F) = 1,A(E) = 1 erfüllt 3. Diätregel nicht! Bier, Fisch, keine Eiscreme A(B) = 1,A(F) = 1,A(E) = 0 erfüllt alle Diätregeln 105

106 Semantik der Aussagenlogik Π eine aussagenlogische Signatur Aussagenvariablen für sich haben keine Bedeutung. Hierfür müssen Wertebelegungen (Valuationen) explizit oder implizit aus dem Kontext zur Verfügung stehen. Eine Valuation (Wertebelegung) ist eine Abbildung A : Π {0,1} Wir werden Wertebelegungen auch Aussagenlogische Strukturen, Aussagenlogische Modelle oder Interpretationen nennen. 106

107 Semantik der Aussagenlogik Π eine aussagenlogische Signatur Aussagenvariablen für sich haben keine Bedeutung. Hierfür müssen Wertebelegungen (Valuationen) explizit oder implizit aus dem Kontext zur Verfügung stehen. Eine Wertebelegung ist eine Abbildung Beispiel: A : Π {0,1} A B C (Bei drei Symbolen gibt es 8 mögliche Modelle) 107

108 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Wertebelegung. A : For Π {0,1} wird wie folgt definiert: A ( ) = 0 A ( ) = 1 A (P) = A(P) 108

109 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Wertebelegung. A : For Π {0,1} wird wie folgt definiert: A ( F) = 0 falls A (F) = 1 1 falls A (F) = 0 109

110 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Wertebelegung. A : For Π {0,1} wird wie folgt definiert: A (F 1 F 2 ) = 0 falls A (F 1 ) = 0 oder A (F 2 ) = 0 1 falls A (F 1 ) = A (F 2 ) = 1 110

111 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Wertebelegung. A : For Π {0,1} wird wie folgt definiert: A (F 1 F 2 ) = A (F 1 F 2 ) = 0 falls A (F 1 ) = 0 oder A (F 2 ) = 0 1 falls A (F 1 ) = A (F 2 ) = 1 0 falls A (F 1 ) = A (F 2 ) = 0 1 falls A (F 1 ) = 1 oder A (F 2 ) = 1 111

112 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Wertebelegung. A : For Π {0,1} wird wie folgt definiert: A (F 1 F 2 ) = A (F 1 F 2 ) = 1 falls A (F 1 ) = 0 oder A (F 2 ) = 1 0 falls A (F 1 ) = 1 und A (F 2 ) = 0 1 falls A (F 1 ) = A (F 2 ) 0 sonst 112

113 Wahrheitstafel für die logischen Operatoren P P

114 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln Sei A : Π {0,1} eine Π-Valuation. A : For Π {0,1} wird induktiv über Aufbau von F wie folgt definiert: A ( ) = 0 A ( ) = 1 A (P) = A(P) A ( F) = 1 A (F) A (FρG) = B ρ (A (F),A (G)) B ρ (x,y) berechnet entschpr. der Wahrheitstafel für ρ z.b. : B (0,1) = (0 1) = 1;B (1,0) = (1 0) = 0 Wir schreiben normalerweise A statt A. 114

115 Beispiel Sei A : {P,Q,R} {0,1} mit A(P) = 1,A(Q) = 0,A(R) = 1. A ((P (Q P)) R) = A (P (Q P) A (R) = (A (P) A (Q P)) A (R) = (A(P) (A(Q) A(P))) A(R) = (1 (0 1)) 1 = 1 115

116 Wahrheitstabellen: Beispiel F = (A C) (B C) A B C (A C) C (B C) (A C) (B C)

117 Modell einer Formel(menge) Definition: Interpretation A ist Modell einer Formel F For Π, falls A (F) = 1. Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M For Π, falls A (F) = 1 für alle F M Notation: A = F A = M 117

118 Beispiel F = (A C) (B C) A B C (A C) C (B C) (A C) (B C) Sei A : {P,Q,R} {0,1} mit A(P) = 0,A(Q) = 1,A(R) = 1. A = (A C) (B C) A = {(A C),(B C)} 118

119 Gültigkeit und Erfüllbarkeit Definition: F gilt in A (oder A ist Modell von F) gdw. A(F) = 1. Notation: A = F Definition: F ist (allgemein-) gültig (oder eine Tautologie) gdw.: A = F, für alle A : Π {0,1} Notation: = F Definition: F heißt erfüllbar gdw. es A : Π {0,1} gibt, so dass A = F. Sonst heißt F unerfüllbar (oder eine Kontradiktion). 119

120 Beispiel F = (A C) (B C) A B C (A C) C (B C) (A C) (B C) F ist nicht allgemeingültig: A 1 (F) = 0 für A 1 : {P,Q,R} {0,1} mit A(P) = A(Q) = A(R) = 0. F ist erfüllbar (also ist F nicht unerfüllbar): A 2 (F) = 1 für A : {P,Q,R} {0,1} mit A(P) = 0,A(Q) = 1,A(R) =

121 Tautologien und Kontradiktionen Tautologien: Formel, die stets wahr sind. Beispiele: p ( p) (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten) (Tertium non datur) p p (Prinzip der doppelten Negation) Kontradiktionen: Formel, die stets falsch sind. Beispiel: p p Die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion Die Negation einer Kontradiktion ist eine Tautologie 121

122 Beispiele Die folgenden Formeln sind Tautologien: (1) (p p) ( p) (2) (p (p q)) q (3) (p q) p (p q) q (4) p (p q) q (p q) (5) (p q) [(q r) (p r)] (6) (((p q) (q r)) p) r 122

123 Folgerung und Äquivalenz Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: Wenn A = F, dann A = G. Notation: F = G Definition: F und G sind äquivalent gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: A = F gdw. A = G. Notation: F G. Erweiterung auf Formelmengen N in natürlicher Weise, z.b.: N = G gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: falls A = F, für alle F N, so A = G. 123

124 Beispiel F = (A C) (B C) Überprüfe, ob F = G: Ja, F = G G = (A B) A B C (A C) (B C) (A C) (B C) (A B)

125 Beispiel F = (A C) (B C) G = (A B) Überprüfe, ob F = G: Ja, F = G... aber es ist nicht wahr dass G = F (Notation: G = F) A B C (A C) (B C) (A C) (B C) (A B)

126 Zusammenfassung Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen (Valuationen, Modelle) Wahrheitstafel für die logischen Operatoren Auswertung von Formeln / Wahrheitstabellen Modell einer Formel(menge) Gültigkeit und Erfüllbarkeit Tautologien und Kontradiktionen Folgerung und Äquivalenz 126

127 2. Aussagenlogik Teil

128 Tautologien und Kontradiktionen Tautologien, allgemeingültige Formeln: Formeln, die stets wahr sind. Kontradiktionen, unerfüllbare Formeln: Formel, die stets falsch sind. Die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion Die Negation einer Kontradiktion ist eine Tautologie Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Beweis 1: Aus der Wahrheitstafel. Beweis 2: F allgemeingültig gdw. A(F)=1 für alle A:Π {0, 1} gdw. A( F)=0 für alle A:Π {0, 1} gdw. F unerfüllbar 128

129 Erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Erfüllbarkeitstest: Jede Formel F enthält endlich viele Aussagenvariablen. A(F) ist nur von den Werten dieser Aussagenvariablen abhängig. F enthält n Aussagenvariablen: 2 n Wertbelegungen notwendig um zu überprüfen, ob F erfüllbar ist oder nicht. Wahrheitstafel Das Erfüllbarkeitsproblem ist entscheidbar (Cook s Theorem: NP-vollständig) Es existieren viel bessere Methoden als Wahrheitstafeltests um die Erfüllbarkeit einer Formel zu überprüfen. 129

130 Folgerung Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: Wenn A = F, dann A = G. Notation: F = G Erweiterung auf Formelmengen N in natürlicher Weise, z.b.: N = G gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: falls A = F, für alle F N, so A = G. 130

131 Äquivalenz Definition: F und G sind äquivalent gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: A = F gdw. A = G. Notation: F G. Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind Beispiel: (P Q) ( Q P) (Kontraposition) 131

132 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: (F F) F (F F) F (Idempotenz) (F G) (G F) (F G) (G F) (Kommutativität) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) 132

133 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: ( F) F (F G) ( F G) (F G) ( F G) (Doppelte Negation) (De Morgan s Regeln) (F G) ( G F) (Kontraposition) (F G) ( F G) (Elimination Implikation) F G (F G) (G F) (Elimination Äquivalenz) 133

134 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: (F G) F, falls G Tautologie (F G), falls G Tautologie (Tautologieregeln) (F G), falls G unerfüllbar (F G) F, falls G unerfüllbar (Tautologieregeln) 134

135 Wichtige Äquivalenzen mit / (A A) (A A) (Tertium non datur) (A ) A (A ) 135

136 Wichtige Äquivalenzen (Zusammengefasst) (F F) F (F F) F (Idempotenz) (F G) (G F) (F G) (G F) (Kommutativität) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) ( F) F (Doppelte Negation) (F G) ( F G) (F G) ( F G) (De Morgan s Regeln) (F G) ( G F) (Kontraposition) (F G) ( F G) (Elimination Implikation) F G (F G) (G F) (Elimination Äquivalenz) 136

137 Terminologie Eine Formel F, die als Teil einer Formel G auftritt, heißt Teilformel von G. F ist eine Teilformel von F F = G und H Teilformel von F H Teilformel von G F = F 1 ρ F 2 (wo ρ {,,, }) H Teilformel von F 1 oder F 2 H Teilformel von F 137

138 Substitutionstheorem Theorem. Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H, wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beispiel: A B B A impliziert (C (A B)) (C (B A)) 138

139 Substitutionstheorem Theorem. Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H, wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. p(h) Beweis: Strukturelle Induktion. Induktionsbasis: Beweisen, dass p(h) für alle Formeln H in {, } Π gilt. Beweis: Falls H {, } Π und F Teilformel von H, so muss F = H sein. Dann ist die Formel H, die aus H hervorgeht, indem F (= die ganze Formel H) durch G ersetzt wird, gleich G. Aber dann: H = F G = H. 139

140 Substitutionstheorem Beweis: (Fortsetzung) Sei H eine Formel, H {, } Π. Sei F eine Teilformel von H. Fall 1: F = H. Dann H = G (wie vorher), so H = F G = H. Fall 2: F H. Induktionsvoraussetzung: Annahme: p(h ) gilt für alle dir. Teilformeln H von H. Induktionsschritt: Beweis, dass p(h) gilt (durch Fallunterscheidung): Fall 2.1: H = H 1. Da F H, ist F eine Teilformel von H 1. Induktionvoraussetzung: p(h 1 ) gilt, d.h. H 1 H 1, wobei H 1 aus H 1 hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H 1 durch G ersetzt wird. Da H = H 1, ist H = H 1. DannfüralleA : Π {0,1}:A(H)=A( H 1 )= A(H 1 ) I.V. = A(H 1 )=A( H 1 )=A(H ). Somit ist bewiesen, dass H H. 140

141 Substitutionstheorem Beweis: (Fortsetzung) Induktionsschritt: Beweis, dass p(h) gilt (durch Fallunterscheidung): Fall 2.2: H = H 1 op H 2. Da F H, ist F Teilformel von H 1 oder von H 2. Fall F ist eine Teilformel von H 1. Induktionvoraussetzung: p(h 1 ) gilt, d.h. H 1 H 1, wobei H 1 aus H 1 hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H 1 durch G ersetzt wird. Da H = H 1 op H 2, und F in H 1 vorkommt, so H = H 1 op H 2. Dann für alle A : Π {0,1}: A(H)=A(H 1 op H 2 )=A(H 1 ) op A(H 2 ) I.V. = A(H 1 ) op A(H 2)=A(H 1 op H 2) = A(H ). Somit ist bewiesen, dass H H. Fall F ist eine Teilformel von H 2. Analog. 141

142 Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Definition: Äquivalenzumformung (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch äquivalente Formel Anwendung des Substitutionstheorems Theorem Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül: Wenn F und G logisch äquivalent sind, kann F in G umgeformt werden. 142

143 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) ( P Q) (( Q P R) ) (Äquivalenzen mit ) ( P Q) ( Q P R) (Äquivalenzen mit ) ( P Q P R) (Q Q P R) (Distributivität) ( P P Q R) (Q Q P R) (Kommutativität) (( P P) Q R) ((Q Q) P R) (Assoziativität) (Äquivalenzen mit ) 143

144 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln Theorem. F = G gdw. = F G. Beweis: F = G g.d.w. für alle A : Π {0,1}, falls A(F) = 1 so A(G) = 1 g.d.w. für alle A : Π {0,1}, (A(F) A(G)) = 1 g.d.w. für alle A : Π {0,1}, A(F G) = 1 g.d.w. = F G 144

145 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. N {F} = G gdw. N = F G. Beweis: Annahme: N {F} = G d.h. für alle A:Π {0,1}, falls [A(H)=1 für alle Formeln H N {F}] so A(G)=1. Wir beweisen, dass N = F G, d.h. für alle A : Π {0,1} falls [A(H) = 1 für alle Formeln H N] so A(F G) = 1. Sei A : Π {0,1} mit A(H) = 1 für alle Formeln H N. Fall 1: A(F) = 0. Dann A(F G) = 1. Fall 2: A(F) = 1, d.h. [A(H) = 1 für alle Formeln H N {F}]. Dann A(G) = 1 und somit A(F G) =

146 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. N {F} = G gdw. N = F G. Beweis: Annahme: N = F G d.h. für alle A:Π {0,1}, falls [A(H)=1 für alle Formeln H N] so A(F G)=1. Wir beweisen, dass N {F} = G, d.h. für alle A : Π {0,1} falls [A(H) = 1 für alle Formeln H N {F}] so A(G) = 1. Sei A : Π {0,1} mit A(H) = 1 für alle Formeln H N {F}. Dann (i) A(F) = 1 und (ii) [A(H) = 1 für alle Formeln H N], also A(F G) = 1. Es folgt, dass 1 = A(F G) = (A(F) A(G)) = (1 A(G)) = A(G), so A(G) =

147 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln. Theorem. F G gdw. = F G. Beweis: F F g.d.w. für alle A : Π {0,1}, A(F) = A(G) g.d.w. für alle A : Π {0,1}, (A(F) A(G)) = 1 g.d.w. für alle A : Π {0,1}, A(F G) = 1 g.d.w. = F G 147

148 Allgemeingültigkeit/Folgerung: Zusammenfassung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F = G gdw. = F G. Theorem. N {F} = G gdw. N = F G. Theorem. F G gdw. = F G. 148

149 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln. Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Beweis auf Seite 128. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. Beweis: F = G gdw. = F G d.h. F G allgemeingültig gdw. (F G) unerfüllbar. gdw. F G unerfüllbar.... da (F G) ( F G) F G F G. 149

150 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. Beweis: Annahme: N = G d.h. für alle A:Π {0,1}, falls [A(H)=1 für alle Formeln H N] so A(G)=1. Zu zeigen: N G unerfüllbar. Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, N G erfüllbar, d.h. es gibt A:Π {0,1}, mit [A(H)=1 für alle Formeln H N { G}]. Dann [A(H)=1 für alle Formeln H N] und A( G) = 1 (d.h. A(G) = 0). Widerspruch. 150

151 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. Beweis: Annahme: N G unerfüllbar. Zu zeigen: N = G d.h. für alle A:Π {0,1}, falls [A(H)=1 für alle Formeln H N] so A(G)=1. Beweis: Sei A:Π {0, 1}, mit [A(H)=1 für alle Formeln H N]. Falls A(G) = 0, wäre A ein Modell für N { G}. Das ist aber unmöglich, da wir angenommen haben, dass N { G} unerfüllbar ist. Es folgt, dass A(G) =

152 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung: Zusammenfassung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. Nota bene: falls N unerfüllbar, so N = G für jede Formel G... auch für. Notation: N = für N unerfüllbar. 152

153 Zusammenfassung Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit Erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Folgerung, Äquivalenz Wichtige Äquivalenzen Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung 153

154 2. Aussagenlogik Teil

155 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Dazu brauchen wir Normalformen 155

156 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder Negation eines Atoms Beispiel. Sei Π = {P,Q,R}. Atome: P, Q, R Literale: P, P, Q, Q, R, R 156

157 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder Negation eines Atoms Definition: Klausel: Eine Disjunktion von Literalen mehrstellige Disjunktionen (P Q R), (P P Q) einstellige Disjunktionen P die nullstellige Disjunktion (leere Klausel) 157

158 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 158

159 Normalformen Definition: Disjunktive Normalform (DNF): Eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen. mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 159

160 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden 160

161 Beispiel: DNF F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F DNF: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) 161

162 Beispiel: KNF F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F F DNF für F: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) KNF für F: (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) 162