Algorithmische Graphentheorie

Transkript

1 Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 2: Einführung in die Graphentheorie - Teil 2 Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 2. März /48

2 OPERATIONEN MIT GRAPHEN DISJUNKTE VEREINIGUNG Definition Seien G 1 = (V 1, E 1 ) und G 2 = (V 2, E 2 ) zwei Graphen mit disjunkten Knotenmengen (V 1 V 2 = ). Die disjunkte Vereinigung der beiden Graphen ist der Graph G 1 G 2 = (V 1 V 2, E 1 E 2 ). 2/48

3 OPERATIONEN MIT GRAPHEN VEREINIGUNG Falls V 1 = V 2, die Vereinigung G 1 G 2 ist definiert als der Graph mit allen Kanten aus G 1 und G 2. Im Allgemeinen, ist die Vereinigung zweier Graphen G 1 = (V 1, E 1 ) und G 2 = (V 2, E 2 ) definiert als G 1 G 2 = (V 1 V 2, E 1 E 2 ), mit V 1 V 2 oder V 2 V 1 oder V 1 = V 2 oder V 1 V 2 =. 3/48

4 OPERATIONEN MIT GRAPHEN DURCHSCHNITT Definition Seien G 1 = (V 1, E 1 ) und G 2 = (V 2, E 2 ) zwei Graphen. Der Durchschnitt der beiden Graphen ist der Graph G 1 G 2 = (V 1 V 2, E 1 E 2 ). 4/48

5 BEISPIEL (a) G (b) G (c) G 1 G (d) G 1 G 2 Abbildung 1: Vereinigung und Durchschnitt von Graphen. 5/48

6 OPERATIONEN MIT GRAPHEN SYMMETRISCHE DIFFERENZ Definition Die symmetrische Differenz zweier Graphen G 1 = (V 1, E 1 ) und G 2 = (V 2, E 2 ) ist definiert als der Graph G 1 G 2 = (V, E), mit V = V 1 V 2 und die Kantenmenge ist definiert als E = (E 1 E 2 )\{uv u V 1 V 2 or v V 1 V 2 }. Zur Erinnerung, die symmetrische Differenz zweier Mengen S 1 und S 2 ist definiert als S 1 S 2 = {x S 1 S 2 x / S 1 S 2 }. 6/48

7 BEISPIEL (a) G 1 1 (b) G (c) G 1 G 2 7/48

8 OPERATIONEN MIT GRAPHEN Entfernen von Knoten und Kanten Sei G = (V, E, γ) ein Graph. Das Entfernen einer Kante e E erzeugt aus G einen neuen Graphen G {e} = (V, E \ {e}, γ). Analog für eine Kantenmenge F E. G {v} der Graph, der aus G durch Entfernen des Knotens v hervorgeht. Das Entfernen von v schließt das gleichzeitige Entfernen aller zu v inzidierenden Kanten ein. Analog für einen Kantenmenge X V 8/48

9 BEISPIEL c a b e d (a) G 9/48

10 BEISPIEL c a e d (b) G {b} 10/48

11 BEISPIEL c e d (c) G {a, b} 11/48

12 BEISPIEL c d (d) G {a, b, e} 12/48

13 BEISPIEL (e) G {a, b, c, d, e} 13/48

14 BEISPIEL MIT SAGE KNOTENENTFERNUNG 14/48

15 BEISPIEL KANTENENTFERNUNG b c (f) G a 15/48

16 BEISPIEL KANTENENTFERNUNG b c (g) G {ac} a 16/48

17 BEISPIEL KANTENENTFERNUNG b c (h) G {ab, ac, bc} a 17/48

18 BEISPIEL MIT SAGE KANTENENTFERNUNG 18/48

19 FUSION UND KONTRAKTION Fusion Identifizieren der Knoten v und w in einem Knoten, der zu allen Kanten inzident ist, die vorher einen dieser Knoten als Endknoten hatten. Wir bezeichnen den entstehenden Graphen mit G uv. (Analog G X ). Kontraktion...der Kante e, mit γ(e) = {u, v} ist das Entfernen von e mit der anschließenden Fusion der Endknoten u und v. Wir bezeichnen den durch Kontraktion von e aus G hervorgehenden Graphen mit G/e. 19/48

20 BEISPIEL KONTRAKTION d e f c a b (i) G 1 20/48

21 BEISPIEL KONTRAKTION d e f c v ab = g (j) G 2 = G 1 /ab 21/48

22 BEISPIEL KONTRAKTION d f e v cg = h (k) G 3 = G 2/cg 22/48

23 BEISPIEL KONTRAKTION f e v dh = i (l) G 4 = G 3/dh 23/48

24 BEISPIEL KONTRAKTION e v fi = j (m) G 5 = G 4 /fi 24/48

25 BEISPIEL KONTRAKTION v ej (n) G 6 = G 5/ej 25/48

26 KOMPLEMENTGRAPH Definition Ein Komplementgraph ist ein Graph mit gleicher Knotenmenge aber die Kantenmenge besteht aus genau die Knoten, die im Ursprungsgraph nicht vorhanden sind. Ein schlichter Graph, der isomorph ist zu seinem Komplementgraph, heißt Selbstkomplementär. 26/48

27 Theorem Falls der Graph G = (V, E) Selbstkomplementär ist, dann ist die Ordnung von G gleich mit V = 4k oderr V = 4k + 1 für k N. Falls die Ordnung von G gleich n = V ist, dann gilt E = n(n 1)/4. 27/48

28 KARTESISCHER PRODUKT Definition Der kartesischer Produkt G H der Graphen G und H ist ein Graph so dass die Menge der Knoten von G H ist das kartesische Produkt V(G H) = V(G) V(H). Zwei Kanten (u, u ) und (v, v ) sind adjazent in G H genau dann, wenn entweder 1 u = v und u ist adjazent zu v in H; oder 2 u = v und u ist adjacent zu v in G. Die Knotenmenge von G H ist V(G H) und die Kantenmenge von G H ist E(G H) = ( V(G) E(H) ) ( E(G) V(H) ). 28/48

29 BEISPIEL MIT SAGE KARTESISCHES PRODUKT 29/48

30 BEISPIEL MIT SAGE KARTESISCHES PRODUKT (o) K 3 (p) P 3 (q) K 3 P 3 30/48

31 n-dimensionaler HYPERCUBE Definition Der n-dimensionale Hypercube Q n = (V n, E n ) ist definiert wie folgt: V n ist die Menge der Bitstrings der Länge n. Für zwei Bitstrings p, q V n gilt {p, q} E n genau dann, wenn p und q sich in genau einem Bit unterscheiden. Das kartesische Produkt von K 2 Graphen ist das Hypercube: (K 2 ) n = Q n. (r) Q 1 (s) Q 2 31/48

32 BEISPIEL HYPERCUBE GRAPHEN 32/48

33 BEISPIEL MESHGRAPHEN (v) M(3, 4) (w) M(3, 2, 3) 33/48

34 MINOREN Definition Ein Graph H heißt Minor eines Graphen G, falls H isomorph ist zu einem Graph, welcher als eine Reihenfolge von Kantenkontraktionen aus G entsteht. 34/48

35 UNTERGRAPH Definition Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Graph H = (W, F) mit W V und F E heißt Untergraph (subgraph) von G. Gilt W = V, dann heißt H aufspannender Untergraph (spanning subgraph) von G. Gilt F = {{v, w} {v, w} E, v, w W}, dann heißt H induzierter Untergraph (induced subgraph) von G. Für solch einen induzierten Untergraphen schreiben wir auch G(W). 35/48

36 UNTERGRAPH (2) 36/48

37 UNTERGRAPH (3) (x) (y) 37/48

38 UNTERGRAPH (4) 38/48

39 UNTERGRAPH (5) Jeder Graph mit mindestens 5 und höchstens 9 Knoten ist ein Untergraph dieser vollständiger Graphen. Wieviele gibt es? 39/48

40 UNTERGRAPH (5) Jeder Graph mit mindestens 5 und höchstens 9 Knoten ist ein Untergraph dieser vollständiger Graphen. Wieviele gibt es? 68 Milliarden... 39/48

41 ANZAHL DER KANTEN Sei G = (V, E, γ) ein endlicher Graph mit V = n. Wie groß ist die maximale Anzahl der möglichen Kanten? 40/48

42 ANZAHL DER KANTEN Sei G = (V, E, γ) ein endlicher Graph mit V = n. Wie groß ist die maximale Anzahl der möglichen Kanten? Satz Ein Graph mit n Knoten hat maximal n(n 1)/2 Kanten Beweis: Es gibt höchstens n 2 mögliche Kanten, davon n Schlingen, Alle Kanten sind doppelt gezählt. Somit beträgt die maximale Anzahl der Kanten (n 2 n)/2 = n(n 1)/2 40/48

43 CLIQUE Definition Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenmenge U V (bzw. der von U induzierte Untergraph G(U)) heißt Clique genau dann, wenn G(U) ein vollständiger Graph ist. Die maximale Größe einer Clique in G wird mit ω(g) bezeichnet, d.h. ω(g) := max{ U U ist Clique in G}. 41/48

44 CLIQUE (2) 42/48

45 WEGE Definition Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Folge v 0, v 1,..., v n ) von Knoten mit e i := {v i 1, v i } E für i = 1, 2,..., n heißt Kantenzug (walk). Ein Kantezug, bei dem die Kanten e i alle verschieden sind, heißt Weg (trail). Die Länge des Weges ist n. Ein Weg heißt einfacher Weg (path) gdw. die Knoten v j paarweise verschieden sind. 43/48

46 WEGE (2) 44/48

47 KREISE Definition Die folgenden Bezeichnungen beziehen sich auf die vorige Definition: Gilt in einem Kantezug v 0 = v n, so sprechen wir von einem geschlossenen Kantenzug (closed walk). Ein Weg für den v 0 = v n gilt heißt Kreis (closed trail). Ein Kreis, bei dem die Knoten v j mit Ausnahme von v 0 = v n paarweise verschieden sind, heißt einfacher Kreis (cycle). 45/48

48 KREISE (2) 46/48

49 BEMERKUNGEN ZU WEGE UND KREISE 47/48

50 HILFSSÄTZE ZU WEGE UND KREISE Lemma Es sei G = (V, E) ein Graph und es seien a, b V, a b zwei verschieden Knoten von G. Dann gilt: Wenn ein Kantenzug von a nach b existiert, dann existiert auch ein einfacher Weg von a nach b. Lemma Wenn ein Graph G einen geschlossenen Kantenzug K enthält, in dem eine Kante von K nicht mehrfach vorkommt, dann enthält G auch einen einfachen Kreis. 48/48