Das Hyperdodekaeder. Einleitung

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1 geometricdesign Einleitung Die fünf Platonischen Körper können nach ihren Proportionen in zwei Gruppen eingeteilt werden: 1. Die Vertreter der mineralischen Natur sind Würfel, Oktaeder und Tetraeder. An ihnen findet man die Zahlen 3 und 4, und die Proportionen 1 : 2 und 1 : 3. Mit beliebig vielen Würfeln lässt sich ein Raum lückenlos ausfüllen. Ebenso lückenlos füllen auch Oktaeder den Raum aus, wenn sie in einem Mengenverhältnis von 1 : 2 mit Tetraedern kombiniert werden. 2. Die Vertreter der lebenden Natur sind Ikosaeder und Pentagondodekaeder. An ihnen findet man die Zahlen 3 und 5 und die Proportion des Goldenen Schnittes, 1 : ½(1 +- 5) oder 1 : Mit einer beliebigen Anzahl von Dodekaedern ist es nun aber nicht möglich, ein Volumen ohne Zwischenräume zu füllen. Jeder beteiligte Körper ist ein unabhängiges Gebilde. Ueli Wittorf 1

2 geometricdesign Ein Cluster von Pentagondodekaedern Es stehen vier verschiedene Sorten von Dodekaedern zur Verfügung. Diese wurden am Teilmodell zur Demonstation zusammengefügt. I Kern, einziges regelmässiges Pentagondodekaeder. II Erste, abschliessende Hülle um den Kern aus zwölf leicht zusammen gedrückten Zellen. III Zwanzig, über den Eckpunkten liegende, auf der Spitze stehende und zusammen gedrückte, dodekaedrische Zellen. IV Die zwölf flachsten Zellen bilden zusammen mit III die abschliessende Schicht. Auf allen zwölf Flächen eines Kern-Pentagondodekaeder (I) werden ebensolche aufgesetzt, die sich zunächst gegenseitig, d.h. seitlich nicht berühren. Werden diese (II) um die Hälfte des Minors ihres Durchmesser zusammen gedrückt, so entsteht ein geschlossener Körper aus 13 Zellen mit 20 Einbuchtungen (II um I). In die Mulden über den 20 Ecken des Kernkörpers passen weitere Dodekaeder mit ihren Spitzen, wenn diese (in Richtung ihrer 3-zähligen Symmetrieachse) auf ihre halbe Höhe reduziert werden (III). Und schliesslich passen in die jetzt gebildeten Mulden 12 Dodekaeder, welche wie in der ersten Schicht, jetzt aber in ihrer Höhe auf die Hälfte des Majors des Durchmessers des Kerndodekaeders zusammen gepresst sind (IV). 2 Ueli Wittorf

3 geometricdesign Der Rauminhalt des Hyperdodekaeders wird gebildet aus den folgenden, dodekaederischen Zellen: Abb. 1: 1 Kernzelle, ein regelmässiges Pentagondodekaeder (I) Abb. 2: 12 Zellen mit reduzierter Höhe, die den Kernkörper umschliessen (II). Abb. 3: 20 Zellen mit halber Höhe und mit einer Ecke in die Mulden passend. Drei ihrer Flächen sind an der Aussenhaut beteiligt (III). Abb. 4: 12 Zellen mit stark reduzierter Höhe die mit einer regulären Fünfecksfläche auf Zellen II aufliegend, während die andere an der Aussenhaut beteiligt ist (IV). Es entsteht ein kugeliges Gebilde, d.h. ein Cluster aus 45 Zellen, dessen Oberfläche aus 12 regulären Fünfecken und 30 rhombenförmigen Sechsecken, die in vier Fünfecke unterteilt sind, zusammengesetzt ist. Jedes dieser Sechsecke ist die Projektion eines Pentagondodekaeders in Richtung der 2-zähligen Symmetrieachse (V). Abb. 5: Streng genommen sind auch die 30 rhombischen Sechsecke mit ihrer Unterteilung in vier Fünfecke Zellen, sie sind aber auf Null zusammengepresst und haben keinen Inhalt (V). Zusammen mit 12 regulären Fünfecken bilden sie die Oberfläche des Hyperdodekaeders. Ueli Wittorf 3

4 geometricdesign als Zellenstruktur Aus dünnen, transparenten Hart-PVC-Platten gebaut, grenzen sich die einzelnen Zellen des Hyperdodekaeder voneinander ab und das Erscheinungsbild ist ein völlig anderes, als wenn es aus Stäben als Skelett zusammengesetzt ist, wie es eingangs gezeigt wurde. Das Hyperdodekaeeder (Ø 66cm) setzt sich zusammen aus: 1 zentralen Kernzelle 12 den Kern umschliessenden Zellen 20 äusseren, zusammenhängenden und mit einer Ecke zum Zentrum weisenden Zellen.Sie sind mit drei Seiten an der Oberfläche beteiligt, und 12 äusseren Zellen, welche mit einer regelmässigen (im Modell offenen) und fünf weiteren Fünfecksseite an der Oberfläche beteiligt sind. Die 336 Zellwände beschränken sich auf drei Formen: A 36 regelmässige Fünfecke, diese wurden offen gelassen. B 150 in der Höhe reduzierte Fünfecke. C 150 stark reduzierte Fünfecke. 4 Ueli Wittorf

5 geometricdesign Das transparente Modell der Hyperdodekaeder-Sphäre setzt sich zusammen aus : 12 regulären Fünfekcken 30 rhombischen Sechsecken (welche am Zellenmodell, oben, in 4 reduzierte Fünfecke unterteilt sind). Die ganze Oberfläche ist mit x 4 = 132 Fünfecken besetzt. Zeichnerische Darstellung des Hyperdodekaeders, und der Körper als Stern ausgebildet, wenn jede Fläche über die benachbarten Flächen hinausragt, bis sie eine übernächste, benachbarte schneidet. als Skelettstruktur als Skelett-Gebilde (hier in der Sichtrichtung der 3-zähligen Symmetrieachse) wurde zum Vergleich in gleicher Grösse gebaut (Ø 66cm). Es besteht aus 680 Stäben verschiedener Längen. a 70 mm 180 Stk. b 66.5 mm 120 Stk. c 60.5 mm 260 Stk. d 41 mm 120 Stk. total 680 Stäbe Ueli Wittorf 5

6 geometricdesign Projektionsbilder des Hyperdodekaeders Als Parallelprojektion zeigt sich das Hyperdodekaeder in den Symmetrieachsen in drei verschiedenen Mustern: In der 2-zähligen Symmetrie In der 3-zähligen Symmetrie In der 5-zähligen Symmetrie Werden die Fünfecke durch Fünfsterne ersetzt, so ergibt sich ein ganz anderes Bild. Die Teilbilder sollen den Vorgang des Auswechseln verdeutlichen. Vom Fünfeck zum Fünfstern Vier Fünfecke im rhombischen Sechseck werden ersetzt durch vier Fünfsterne Und an den drei Projektionen vorgenommen: 6 Ueli Wittorf

7 geometricdesign Ueli Wittorf 7

8 geometricdesign Die Sterne sind in der Strichfigur nicht leicht auszumachen. Erst das Ausfüllen macht sie eindeutig sichtbar. In der Projektion der 5-zähligen Symmetrie sind 46 Fünfsterne sichtbar, 46 liegen dahinter und 40 liegen an der Peripherie und würden nur als gerade Linienstücke erscheinen. In der Projekton der 3-zähligen Symmetrie zählen wir 54 Fünfsterne. In der Projektion der 2-zähligen Symmetrie zählen wir 56 Fünfsterne. Die Strichzeichnungen regen an, durch Färbung bestimmter Felder besondere Figuren hervorzuheben, z.b. alle Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke anzufärben, oder die Bänder als geflecht sichtbar werden zu lassen. Oder man stellt sich die Frage: Wie viele regelmässige Fünfecke gibt es? 8 Ueli Wittorf

9 geometricdesign alle Fünfecke alle Vierecke alle Dreiecke driezählige Symmetrie fünfzählige Symmetrie Ueli Wittorf 9

10 geometricdesign Ein Malbogen Wo sind die Sterne? Das Malbogen-Set enthält die Stern-Skelettdarstellungen in den drei Symmetrieprojektionen, wie sie auf Seite 8 in der rechten Spalte übereinander abgebildet sind je 3 mal auf 160g Papier- A4-Blättern. Für CHF abzugeben. Zürich, im Jahre 2005 Ueli Wittorf 10 Ueli Wittorf