Der Goldene Schnitt! Hans Walser!

Transkript

1 Der Goldene Schnitt Hans Walser 1

2 Der Goldene Schnitt Wo steckt der Goldene Schnitt? 2

3 Der Goldene Schnitt 3

4 Der Goldene Schnitt Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.) 4

5 Der Goldene Schnitt Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.) 5

6 Der Goldene Schnitt Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.) 6

7 Der Goldene Schnitt 7

8 Der Goldene Schnitt 8

9 Der Goldene Schnitt Was steckt hinter den Sternen? 9

10 Der Goldene Schnitt Pentagon und Pentagramm 10

11 Der Goldene Schnitt % 11

12 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 12

13 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 13

14 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 14

15 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 15

16 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 16

17 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % 50 % + 25 % = 75 % zu klein 60 % + 36 % = 96 % etwas zu klein 61.8 % % = % 62 % % = % 70 % + 49 % = 119 % zu groß 17

18 Der Goldene Schnitt Prozentsatz so, dass Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 % x + x 2 = 1 x =

19 Drohne: Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?

20 Eine männliche Biene (Drohne) hat nur eine Mutter (Königin) Unbefruchtetes Ei

21 Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater

22 Stammbaum einer Drohne 22

23 Stammbaum einer Drohne 23

24 Stammbaum einer Drohne 24

25 Stammbaum einer Drohne 25

26 Stammbaum einer Drohne 26

27 Weibchenanteil % 61.54% 62.5% 60% 66.66% 50% 100% 0% Stammbaum einer Drohne 27

28 Verhältnis Weibchen zu Männchen Stammbaum einer Drohne 28

29 Der Goldene Schnitt als große Zahl Minor Major Der Goldene Schnitt als kleine Zahl Major Minor 29

30 Traditionelle Bezeichnungen Φ = Φ = Goldener Schnitt (1835, Martin Ohm, Bruder von Georg Simon Ohm) Golden Section, Nombre d Or Divina Proportione (Luca Pacioli, ) Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.) 30

31 Werbung Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig ISBN Das alte Rathaus zu Leipzig,

32 Euklid: Elemente Zweites Buch, 11: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. ( ) 2 ganze Strecke ein Abschnitt = anderer Abschnitt 32

33 Euklid: Elemente Zweites Buch, 11: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. ( ) 2 ganze Strecke ein Abschnitt = anderer Abschnitt 33

34 Euklid: Elemente Zweites Buch, 11: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. ( ) 2 ganze Strecke ein Abschnitt = anderer Abschnitt 34

35 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Goldener Schnitt Minor Major 35

36 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit? 36

37 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit? 37

38 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit? Tout change au pareil 38

39 Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden. Der Goldene Schnitt ist irrational. 39

40 Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden. Der Goldene Schnitt ist irrational. Beispiele von irrationalen Zahlen: 2 Euklid (3. Jh. v. Chr.) Φ Hippasos von Metapont (5. Jh. v. Chr.) π Johann Heinrich Lambert (1761) Transzendenz: Ferdinand von Lindemann (1882) e Leonhard Euler (1737) Transzendenz: Charles Hermite (1873) 40

41 Beispiel: π ist irrational Johann Heinrich Lambert ( ) 41

42 Beispiel: e ist irrational Leonhard Euler ( ) 42

43 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit 43

44 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit 44

45 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit 45

46 ganze Strecke ein Abschnitt = ( anderer Abschnitt) 2 Illustration der Flächengleichheit 46

47 47

48 48

49 49

50 Jo Niemeyer 531 o. Titel Acryl auf Leinwand auf Holz

51 Pentagon Pentagramm 51

52 Wie kommen wir zu einem Fünfeck? Knotenmodell aus Papierstreifen Handout 52

53 Wie kommen wir zu einem Siebeneck? Knotenmodell aus Papierstreifen Handout 53

54 Wie kommen wir zu einem Neuneck? Knotenmodell aus Papierstreifen Fünfeck Der Goldene Schnitt ist das einfachste nicht triviale Beispiel 54

55 Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster? 55

56 Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster? When shall we three meet again? In thunder, lightning, or in rain? 56

57 Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster? 57

58 Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster? 58

59 Nun geht s in den Raum 59

60 Nun geht s in den Raum 60

61 Nun geht s in den Raum 61

62 Becher 62

63 Dachdecker 63

64 Dachdecker 64

65 Dachdecker 65

66 Dachdecker 66

67 Dachdecker 67

68 68

69 Dodekader Modell 69

70 Halbregelmäßiges Fünfeck 70

71 Halbregelmäßiges Fünfeck kombiniert mit Fünfeck 71

72 Halbregelmäßiges Fünfeck 72

73 Halbregelmäßiges Fünfeck 73

74 Halbregelmäßiges Dodekaeder 74

75 Die platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder, Würfel (Hexaeder) Ikosaeder, Dodekaeder 75

76 Die platonischen Körper Seitenflächen gleich große regelmäßige Vielecke Alle Ecken von derselben Art Keine Selbstdurchdringung 76

77 Goldener Schnitt beim Dodekaeder und Ikosaeder 77

78 Goldener Schnitt beim Dodekaeder Niveauhöhen im Goldenen Schnitt 78

79 Goldener Schnitt beim Ikosaeder Goldene Rechtecke als Gerüst 79

80 Danke 80