Pythagoräische Zahlentripel und Kettenbrüche

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1 VSMP SSPMP SSIMF Pthagoräische Zahlentripel und Kettenbrüche René Fehlmann, Gmnasium Neufeld, Einleitung Bekanntlich schrieb Pierre de Fermat in seine Ausgabe der Arithmetika des Diophantos von Alexandria folgende Zeilen als Randbemerkung: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Das Beispiel illustriert sehr schön, dass zahlentheoretische Problemstellungen oft sehr einfach zu verstehen sind (sobald die sprachlichen Hürden überwunden wurden). Darunter befinden sich aber oftmals nicht nur für die Lernenden in der Schule zu hoch hängende Früchte. Umso mehr lohnt es sich, die Lernenden diejenigen Früchte ernten zu lassen, die einfach zu erreichen sind. Hier sollen deshalb ein paar Aspekte der diophantischen Gleichung x = z 2 () besprochen werden, die durchaus Platz in einem gmnasialen Unterricht finden. 2 Pthagoräische Zahlentripel Lösungen der diophantischen Gleichung () nennt man pthagoräische Zahlentripel. Falls(x,, z) solch eine Lösung ist, dann löst auch jedes Vielfache (nx, n, nz) mit n IN die Gleichung (). Es genügt deshalb diejenigen Lösungen zu suchen, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Solche Lösungen heissen primitive pthagoräische Zahlentripel. Bekannt ist die bablonische Tontafel mit dem Namen Plimpton 322 aus der Zeit zwischen 800 und 650 v.u.z., die an der Columbia Universit in New York aufbewahrt wird. Abbildung : Plimpton 322. Ausgestellt an der Columbia Universit in New York. 6 Numéro 27 Janvier 205

2 Bulletin Auf dieser Tafel findet man mehrere Zahlentripel. Darunter: Anscheinend stand bereits den Babloniern eine Methode zur Verfügung, um Lösungen der diophantischen Gleichung () zu finden. Nur ist nicht überliefert, wie sie auf diese Lösungen kamen. 2. Die Methode des Pthagoras Es wird Pthagoras zugeschrieben, dass er sich Gleichung () widmete, indem er aufeinanderfolgende Quadratzahlen untersuchte. Vielleicht tatsächlich mittels folgender figurierter Zahlen: Abbildung 2: Figurierte Darstellung aufeinanderfolgender Quadratzahlen. Man erkennt eine graphische Darstellung der binomischen Formel (n +) 2 = n 2 +(2n +)und der Tatsache, dass sich zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen um eine ungerade Zahl unterscheiden. Wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen selbst eine Quadratzahl ist, hat man eine Lösung der diophantischen Gleichung () gefunden. Sei also 2 =(2k +) 2 eine ungerade Quadratzahl, welche der Differenz der aufeinanderfolgenden Quadratzahlen x 2 und z 2 entspricht. Der Abbildung 2 entnimmt man dann, dass die Hälfte von 2 gerade x ergibt. Das heisst x = (2k +)2 = 2k(k +) 2 = 2k + z = (2k +)2 2 + = 2k(k +)+ ist ein pthagoräisches Zahlentripel. Offensichtlich ist solch ein Tripel sogar primitiv (ggt(x, z) =). Pthagoras entdeckte damit, dass es unendlich viele primitive pthagoräische Zahlentripel gibt. Die ersten pthagoräischen Zahlentripel, die man nach dieser Methode erhält, sind: k x z Tabelle : Die ersten pthagoräischen Zahlentripel nach Pthagoras. (2) Die gerade Zahl (also x) jedestripelsin(2)undz unterscheiden sich um. Das Zahlentripel (9, 20, 69) auf der bablonischen Tontafel wird mit der Methode des Pthagoras nicht entdeckt. Es existieren also noch mehr primitive pthagoräische Zahlentripel als diejenigen in(2).allerdings sind alle pthagoräischentripel mit z x =in (2) enthalten. 2.2 Alle primitiven pthagoräischen Zahlentripel Wie man alle pthagoräischen Zahlentripel findet, ist bereits bei Euklid im Buch X der Elemente beschrieben (siehe []). Eine etwas modernere Formulierung als bei Euklid lautet folgendermassen: Man wählt zwei Januar 205 Ausgabe 27 7

3 VSMP SSPMP SSIMF teilerfremde natürliche Zahlen m > n, so dass m + n ungerade ist. Dann liefert x = m 2 n 2, =2mn, z = m 2 + n 2 (3) ein primitives pthagoräisches Zahlentripel und alle primitiven Zahlentripel sind (bis auf Vertauschung von x und ) vondieserform. Es gibt algebraische und geometrische Herleitungen von (3). Eine algebraische Herleitung sei hier kurz skizziert: Aus x = z 2 folgt 2 = z 2 x 2 =(z x)(z + x) und damit z x = z + x = t, wobei t eine rationale Zahl ist. Eine Umformung liefert ( z = t x ) und z und damit erhalten wir das Gleichungssstem + x z = z t t x z x z + z + t z = t = mit der Lösung Mit t = m n x z = t2 t 2 + und (ggt(m, n) =)istjedesganzzahligevielfachevon z = 2t t 2 +. x =(m 2 n 2 ), =2mn, z =(m 2 + n 2 ) ein pthagoräisches Zahlentripel. Wenn wir m = k + und n = k wählen, erhalten wir alle pthagoräischen Zahlentripel aus Abschnitt Näherungen für 2 Wir betrachten folgende speziellen Tripel: m n x z Tabelle 2: Pthagoräische Zahlentripel mit x =. Allen diesen Tripeln ist gemeinsam, dass x =gilt. Diese Beispiele eignen sich gut, um Näherungen für 2 zu bestimmen. Man erhält aus diesen Zahlentripeln Folgen von oberenundunterenschrankenvon 2: < 2 < 5 3 < 2 < < 2 < 69 9 Wie kommt man aber auf die Werte für m und n in Tabelle 2, so dass x =gilt? 8 Numéro 27 Janvier 205

4 Bulletin Abbildung 3: Pthagoräische Zahlentripel (x,, z) geordnet nach x. Eswurdemin(x, ) gegen x aufgetragen. 3 Pthagoräische Zahlentripel und Pellsche Gleichung Wir haben im vorherigen Abschnitt Tripel betrachtet, für die x =galt. Welche Werte kann nun die Differenz x annehmen? Mit der Darstellung der primitiven pthagoräischen Tripeln wie in (3) erhalten wir: Eine diophantische Gleichung der Form x = m 2 n 2 2mn =(m n) 2 2n 2. u 2 dv 2 = a mit d/ IN und a IN nennt man eine Pell-artige Gleichung bzw. eine Pellsche Gleichung, falls a =ist. Es war Euler, der diese Gleichung wohl fälschlicherweise mit John Pell (6 685) in Verbindung brachte und als erster alle Lösungen dieser Gleichung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von d fand. Die Bedingung, x =für pthagoräische Zahlentripel liefert die Pellsche Gleichung u 2 2v 2 = mit u = m n, v = n. Die Differenz x kann nur dann ±a mit a IN ergeben, wenn die Pell-artige Gleichung u 2 2v 2 = ±a (4) eine Lösung hat. In Abbildung 3 ist min(x, ) gegen x für die pthagoräischen Zahlentripel dargestellt. Man erkennt, dass die Pell-artige Gleichung (4) z.b. keine Lösung für a =3oder a =5hat. Zusammenfassend: Die Suche nach pthagoräischen Zahlentripeln (x,, z), fürwelchex =gilt, führt uns also auf eine Pellsche Gleichung, die mit Hilfe des Kettenbruchs 2=+ 2+ Januar 205 Ausgabe

5 VSMP SSPMP SSIMF gelöst werden kann. Der Fall x = ist allerdings gesondert zu behandeln. Dieses Vorgehen, um sstematisch alle pthagoräischen Tripel zu finden, für welche sich die beiden kleineren Zahlen nur um unterscheiden, ist für den gmnasialen Unterricht kaum geeignet. Wir verfolgen hier deshalb ein alternatives Vorgehen, das für den Unterricht eher geeignet ist: Wenn x = m 2 n 2 und =2mn zu einem pthagoräischen Zahlentripel gehören, mit x =dann sind also x und fast gleich und damit ist m 2 n 2 2mn = 2 ( m n m n fast gleich. Wir untersuchen deshalb die quadratische Gleichung ( s ) =. 2 s Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind s,2 =± 2. Hier interessiert uns nur die positive Lösung s =+ 2.DieKettenbruchentwicklungdieserZahllautet: s = Numéro 27 Janvier Es handelt sich hier um einen unendlichen Kettenbruch. Wir verwenden die übliche Notation für einen Kettenbruch mit Hilfe von eckigen Klammern: a 0 + =[a 0 ; a,a 2,a 3,...] a + a 2 + a Man nennt die Zahl C i =[a 0 ; a,...,a i ] die i-te Konvergente des Kettenbruchs. Für unseren obigen Kettenbruch von s gilt z.b. C 0 =2, C =2+ 2 = 5 2,etc. Die i-te Konvergente ist eine Näherung des Kettenbruchs, die sich auchalsgekürzterbruchc i darstellen lässt. Mit Hilfe eines Induktionsbeweises kann man zeigen, dass sich diese Zähler und Nenner rekursiv folgendermassen berechnen lassen: p i = a i p i + p i 2 bzw. q i = a i q i + q i 2 ; p 2 =0, p =, q 2 =, p =0. Für die Lernenden ist es oft hilfreich, Zähler und Nenner der Konvergenten zu berechnen, indem sie folgende Tabelle nach den obigen Rekursionsregeln ausfüllen: i a i p i q i Für unseren unendlichen Kettenbruch von + 2 erhält man folgende Rekursionsformel für Zähler und Nenner der Konvergenten: p i =2p i + p i 2 ; p 0 =2,p =5 und q i = p i für i>0 und q 0 =.BeiderFolge0,, 2, 5, 2, 29,...handelt es sich um die sogenannte Pell-Folge. Eine Analogie zur Fibonacci-Folge ist offensichtlich. Der Grenzwert zweier aufeinanderfolgender Pell-Zahlen ist lim i ) p i p i = lim i p i q i =+ 2 = p i q i

6 Bulletin also wieder die positive Lösung unserer quadratischen Gleichung. Diese Zahl ist auch unter dem Namen silberner Schnitt bekannt (siehe z.b. [4]). Enstprechend kann man auch eine explizite Darstellung der Pell-Zahlen angeben. Eine schöne Herleitung der Formel von Binet, die für dengmnasialenunterrichtdurchausgeeignet ist, habe ich von Peter Gallin gelernt [2]. Diese Methode lässt sich analog auf die Pell-Zahlen und den silbernen Schnitt übertragen und man erhält p i = ( + 2) i+2 ( 2) i Wir nutzen nun die Eigenschaften der Konvergenten eines Kettenbruchs. Die Konvergenten des Kettenbruchs einer irrationalen Zahl stellen beste Näherungen der Zahl darunddamitsindp i und q i die gesuchten Kandidaten für m und n, umdarauspthagoräischezahlentripelzuberechnen,fürwelche x =gilt. Wir können also unsere Tabelle 2 beliebig fortsetzen: m n x z Tabelle 3: Die ersten pthagoräischen Zahlentripel mit x =erzeugt mit Hilfe der Pell-Zahlen.. Tatsächlich kommt man auf das gleiche Resultat wie in Tabelle 3,indem man die Pellsche bzw.pell-artige Gleichung u 2 2v 2 = ± löst. 4 Weitere Resultate Zuletzt sei noch erwähnt, dass pthagoräische Zahlentripel, obwohl sie seit tausenden von Jahren bekannt sind, einige Schätze in sich bergen, die erst in jüngster Zeit entdeckt wurden. Eine etwas überraschende Beobachtung stammt von D.N. Lehmer (siehe [3] auf Seite 328): Satz 4.. Es bezeichne α(n) die Anzahl primitiver pthagoräischer Tripel mit c<n.dann gilt: 2πα(n) lim = n n Es bezeichne β(n) die Anzahl primitiver pthagoräischer Tripel mit (a + b + c) <n.danngilt: π 2 β(n) lim n n log 2 = Literatur [] Euklid. Die Elemente. Buch X, 28a. [2] Peter Gallin. Die Wiedergeburt der Fibonacci-Zahlen. Bulletin des VSMP, 05:20, [3] D.N. Lehmer. Asmptotic evaluation of certain totient sums. Am. J. Math., 22: , 990. [4] Hans Walser. DIN A4 in Raum und Zeit, Silbernes Rechteck Goldenes Trapez DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig, 203. Januar 205 Ausgabe 27 2