Begegnungen mit Mathematik

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Nelly Fromm
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1 Markus Stroppel Begegnungen mit Mathematik Regeln im Unregelmäßigen Rational im Angesicht des Irrationalen Häufiges Umsteigen: Der Weg ist das Ziel In alle Richtungen gleich dicktlst das ein Kreis? Logik, eine Menge Formalismus und das Formen von Mengen Irrungen und Wirrungen Vielseitig, aber mit Ecken und Kanten Oft gedreht und doch noch gleich Teile, und beherrsche den Rest Öffentliche Geheimnisse Mathematik, Kaninchen und Ästhetik Wie man endlich das Unendliche beherrscht Die sich im Unendlichen treffen...

2 0 Ziele und Inhalte Abstrakt oder konkret? Hochaktuell oder uralt? Hinweise zur Lektüre Literaturhinweise 3 1 Regeln im Unregelmäßigen Primzahlen Es gibt unendlich viele Primzahlen Gibt es auch unendlich viele Primzahl-Zwillinge? Es gibt beliebig große Lücken in der Reihe der Primzahlen 7 2 Rational im Angesicht des Irrationalen Genügen natürliche Zahlen? Kommensurable Größen Eine berühmte irrationale Zahl: n Der Satz des Pythagoras Irrationale Zahlen..! Ein Irrationalitäts-Beweis am Fünfeck Dezimal-Entwicklungen Periodische Dezimal-Entwicklungen Eine Kennzeichnung rationaler Zahlen 20 3 Häufiges Umsteigen: Der Weg ist das Ziel Straßenbahn-Netze « Ringbahnen Der Stern Allgemeine Argumente Ein grundsätzliches Problem Eine evolutionäre Strategie 26

3 3.7 Ein allgemeines Ergebnis Abstraktion Es gibt Graphen, die nicht planar sind Zusatz-Struktur in planaren Graphen 31 4 In alle Richtungen gleich dick: ist das ein Kreis? Breite Unerwartete Gleichdicke Stützgeraden Kreisbogen-Vielecke sind Gleichdicke Gleichdicke als Zahlungsmittel Material-Einsparung? Das isoperimetrische Problem Äquivalenz der Probleme (gl) und (ku) Wieder eine evolutionäre Strategie? Konvexität Ein Symmetrie-Argument Das Steinersche Viergelenk-Verfahren Höhere Dimensionen 44 5 Logik, eine Menge Formalismus, und das Formen von Mengen Grundlagen Konstruktion von Ausdrücken Äquivalenz logischer Ausdrücke Das Prinzip des Widerspruchs-Beweises Prädikative Ausdrücke Quantoren Mengen, Aussonderung von Teilmengen Junktoren und Mengen-Operationen 52 6 Irrungen und Wirrungen Nur ein Scherz? Abstraktion und das geht dann immer so weiter Eine Primzahl-Fabrik? Das Maximierungsproblem von Malfatti Die Nadel im Stachelhaufen 61

4 7 Vielseitig, aber mit Ecken und Kanten Konvexe Polyeder Kantengraphen _Schlegel-Diagramme Reduktion durch Überflutung Zusammenhängende planare Graphen Der Polyeder-Satz Die regulären Polyeder Dualität Ein viel getretener Vertreter 75 8 Oft gedreht und doch noch gleich Drehungen 76 '8.2 Spiegelungen Kleinste Drehungen Gruppen von Bewegungen Abstrakte Gruppen Permutationen Wie groß sind Permutationsgruppen? Die Drehgruppe des Würfels Die Drehgruppe des Tetraeders Platonische Körper 88 9 Teile, und beherrsche den Rest Division mit Rest Ein wohl bekanntes Beispiel Abstra-ktion: Addieren von Resten Mehr Rechnungen mit Resten Kompliziertere Rechnungen Gemeinsa.me Vielfache und gemeinsame Teiler Der Chinesische Restsatz ^ Dividieren? Öffentliche Geheimnisse Warum (asymmetrische) Verschlüsselung? Kryptosysteme Ein Satz von Euler 100

5 10.4 RSA Wie wird RSA benutzt? Asymmetrie und Sicherheit Eine mögliche Anwendung Mathematik, Kaninchen und Ästhetik Der Goldene Schnitt als Strecken-Verhältnis Der Goldene Schnitt als (irrationale) Zahl Konstruktionen Goldene Zirkel Der goldene Schnitt in der Kunst? Kaninchen Eine rekursive Formel für die Fibonacci-Zahlen Eine Anwendung der rekursiven Formel Lucas-Folgen 111 ll.lodie Formel von Binet Wie man endlich das Unendliche beherrscht Zenons Paradox: Achilles und die Schildkröte Geometrische Veranschaulichung Geometrische Reihen Konvergenz geometrischer Reihen Noch ein Blick auf die Konvergenz Die harmonische Reihe...t Die sich im Unendlichen treffen Grund-, Auf- und Seitenrisse Parallel-Projektion Warum benutzt man Zentral-Projektion? Horizontale Fluchtpunkte Nicht horizontale Fluchtpunkte und Fluchtgeraden Spezielle Fälle: Ein- und Zweipunktperspektive Was bringt die Theorie?...'" Ein letztes Beispiel: Rekonstruktion aus einer Fotografie 130 L Literatur 132

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