Alexandra Kuhls Proseminar Das Buch der Beweise

Transkript

1 Der Fünf Farben Satz Alexandra Kuhls Proseminar Das Buch der Beweise

2 Der Fünf Farben Satz Ist es möglich, die Gebiete einer ebenen Karte so Ist es möglich, die Gebiete einer ebenen Karte so mit fünf Farben zu färben, dass Gebiete mit einer gemeinsamen Grenze (und nicht nur mit einem Grenzpunkt) immer verschiedene Farben erhalten?

3 Gliederung Geschichte Anwendungen Grundlagen Graphentheorie Färbbarkeit Wie macht man aus einer Landkarte einen Graphen? Eulersche Polyederformel Proposition 6 Färbbarkeit 5-Farben-Satz

4 Geschichte Vier Farben Satz: 1852 von Francis Guthrie als Vermutung aufgestellt 2 Mal fehlerhaft bewiesen (1878 Alfred Kempe, 1880 Peter Guthrie Tait) Vollständiger Beweis 1976 (Appel, Haken) & 1997 (Robertson, Sander, Seymour) Anreiz zu massiven Computereinsatz

5 Geschichte Fünf Farben Satz Percy Heawood bewies den fehlerhasten Beweis von Alfred Kempe Daraufhin bewies er 1890 den Fünf Farben Satz

6 Anwendungen Landkartenfärbung Stundenplanprobleme Veranstaltungen sind die Knoten, Kante zwischen Knoten die nicht gleichzeitig stattfinden können Die möglichen Farben entsprechen den zuteilbaren Zeitfenstern Viele andere Probleme aus der Mathematik als Graphfärbungsproblem formulierbar z.b. Das Museumswächterproblem

7 Grundlagen Graphentheorie Graph: Geordnetes Paar (V,E) wobei V Menge der Knoten und E Menge der Kanten Planarer Graph: Graph, der auf der Ebene dargestellt werden kann (keine kreuzenden Kanten)

8 Grundlage Färbbarkeit Färbung ordnet jedem Knoten eine Farbe zu Ist G ungerichtet und f ist eine gültige Knotenfärbung, falls zwei benachbarte Knoten nicht dieselbe Farbe haben Wobei die Menge der Nachbarn von v ist

9 Wie macht man aus einer Karte einen Graphen?

10 Wie macht man aus einer Karte einen Graphen?

11 Eulersche Polyederformel n Knoten, e Kanten, f Gebiete Beispiel:

12 Proposition Aus der Eulerschen Formel kann man direkt die folgenden Aussagen erschließen: Sei G ein einfacher, planarer Graph mit n>2 Knoten. Dann gilt: (A) G hat höchstens 3n 6 Kanten (B) G hat einen Knoten vom Grad höchstens 5

13 Grundlagen Grad eines Knoten = Anzahl der ausgehenden Kanten n i = Anzahl der Knoten mit Grad i im Graph G Knoten anhand ihres Grades gezählt: (1) Beispiel:

14 Grundlagen Jede Kante hat genau zwei Enden Sie trägt 2 zur Summe der Grade aller Knoten bei, daher erhalten wir: (2) Beispiel:

15 Grundlagen Verbinden die Anzahl der Knoten mit der Summe der Grade aller Knoten Durchschnittsgrad d des Knotens ist somit: Beispiel:

16 Grundlagen Zählen der Gebiete eines ebenen Graphen in Abhängigkeit ihrer Seitenzahl f k = Anzahl der Gebiete, die durch k Kanten begrenzt werden Daraus folgt: (3) Beispiel:

17 Grundlagen Abzählen der Kanten anhand der Gebiete, die sie begrenzen: (4) Beispiel: Durchschnittliche Kantenzahl der Gebiete: Beispiel:

18 Proposition Aus der Eulerschen Formel kann man direkt die folgenden Aussagen erschließen: Sei G ein einfacher, planarer Graph mit n>2 Knoten. Dann gilt: (A) G hat höchstens 3n 6 Kanten (B) G hat einen Knoten vom Grad höchstens 5

19 Beweis (A): G hat höchstens 3n-6 Kanten Für alle Aussagen können wir annehmen dass G zusammenhängend ist Jedes Gebiet wird durch mindestens 3 Kanten begrenzt (da G einfach ist) Also liefern (3) und (4):

20 Beweis (A): G hat höchstens 3n-6 Kanten Aus der Eulerschen Polyederformel schließen wir: Mit 2e 3f 0 folgt:

21 Beweis (B): G hat einen Knoten vom Grad höchstens 5 Aus (A) erhalten wir für den Durchschnittsgrad d die Abschätzung:

22 Beweis (B): G hat einen Knoten vom Grad höchstens 5 Daraus folgt: Also muss es einen Knoten vom Grad höchstens 5 geben

23 6-Färbbarkeit Induktion über Anzahl der Knoten Induktionsanfang: Induktionsanfang: Graph mit einem Knoten ist 6-färbbar Induktionsannahme: Der Graph mit n-1 Knoten ist 6-färbbar Induktionsbehauptung: Der Graph mit n Knoten ist 6-färbbar

24 6-Färbbarkeit Induktionsschritt: G hat einen Knoten v vom Grad höchstens 5 (Proposition) Entfernen von v und allen Kanten, die v inzidieren Ergibt ebenen Graphen G 1 =G\v mit n-1 Knoten Nach Induktionsannahme ist G 1 6-färbbar

25 6-Färbbarkeit Da v höchstens 5 Nachbarn hat werden durch diese höchstens 5 Farben verwendet v eine Farbe zuweisen, die für seine Nachbarn nicht verwendet wird Wir können jede 6-Färbung von G 1 zu einer 6- Färbung von G erweitern Damit ist auch G 6-färbbar

26 5-Farben-Satz Vollständige Induktion über Anzahl der Knoten Induktionsanfang: Induktionsanfang: Ein Graph mit einem Knoten ist 5-färbbar Induktionsannahme: Graph mit n-1 Knoten ist 5-färbbar Induktionsbehauptung: Graph mit n Knoten ist 5-färbbar

27 5-Farben-Satz Induktionsschritt: G hat einen Knoten v vom Grad höchstens 5 Fall (1): Im Graph existiert ein Knoten v mit Knotengrad<5: G 1 =G\v G 1 ist nach Induktionsannahme 5-färbbar Da v in G nur 4 Nachbarn hat, kann dieser mit einer übrigen Farbe gefärbt werden Graph G ist gültig gefärbt

28 5-Farben-Satz Fall (2) Im Graph gibt es keinen Knoten mit K Knotengrad<5: Aus der Proposition folgt: Es existiert ein Knoten v mit Kantengrad 5 G 2 =G\v Der Graph G 2 ist nach Induktionsannahme 5-färbbar

29 5-Farben-Satz Fall (2.1) Die Nachbarknoten von v sind nur mit höchstens 4 unterschiedlichen Farben gefärbt: G 3 =G\v ist 5-färbbar Dann wird v mit einer der übrigen Farben gefärbt G hat eine gültige Färbung

30 5-Farben-Satz Fall (2.2) Die Nachbarn von v sind mit 5 verschiedenen Farben gefärbt: Bezeichnen der Nachbarknoten von v mit v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 im Uhrzeigersinn v 1 v v 2 v 5 v 3 v 4

31 5-Farben-Satz Gibt es einen Weg W von v 1 nach v 3 der nicht über v führt und die Farben von v 1 und v 3 verwendet? v 1 v v 2 v 5 v 4 v 3

32 5-Farben-Satz Fall (2.2.1) Nein: Knoten v1 auf Farben von v3 umgefärbt Benachbarte Knoten von v1 mit Farbe von v3 werden auf ehemalige Farbe von v1 umgefärbt (usw) v 1 v 1 v v v 3 v 3

33 5-Farben-Satz Nachbarn von v sind nur noch mit 4 unterschiedlichen Farben gefärbt v kann mit der 5. Farbe gefärbt werden G hat eine gültige Färbung v 1 v 2 v v 3

34 5-Farben-Satz Fall Ja: Durch Umfärben, wie bei erreicht man nur, dass v 1 und v 3 die Farben wechseln Betrachte Knoten v 2 und v 4 kein Weg W 2 geben, der abwechselnd die Farben von v 2 und v 4 benutzt v 1 (kreuzt W) v 5 v v 2 v 4 v 3

35 5-Farben-Satz Somit können wir wie in das Umfärbprinzip anwenden Gültige Färbung v 1 G ist somit 5-färbbar v 5 v v 2 v 3 v 4

36 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit.

37 Quellen Bildquellen: Textquellen: Das Buch der Beweise, Martin Aigner und Günter M. Ziegler C3%B6pfel%20-%205%20Farben%20Satz%20- %20Ausarbeitung.pdf

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