Graphentheorie. Perfekte Graphen. Perfekte Graphen. Perfekte Graphen. Rainer Schrader. 22. Januar 2008

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1 Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 22. Januar / 47 2 / 47 eine Clique in G ist ein induzierter vollständiger Teilgraph Gliederung α- und χ-perfektheit Replikation Klassen perfekter Graphen sei ω(g) die Kardinalität einer größten Clique (Cliquenzahl) bei einer Knotenfärbung müssen die Knoten einer Clique verschiedene Farben tragen daher gilt stets χ(g) ω(g) 3 / 47 4 / 47

2 die Ungleichung χ(g) ω(g) ist i. A. auch strikt: Wir nennen einen Graphen G χ-perfekt, falls gilt: für ungerade Kreise gilt stets χ(g) = 3 > 2 = ω(g) allgemeiner existieren Graphen mit beliebig großer chromatischer Zahl und Cliquenzahl 2 wir wollen Graphen untersuchen, bei denen Gleichheit herrscht d.h. Graphen G mit χ(g) = ω(g) wir verlangen jedoch eine schärfere Bedingung χ(h) = ω(h) für alle induzierten Teilgraphen H G Motivation für diese schärfere Bedingung: (i) sie ermöglicht induktive Argumentationen (ii) für hinreichend großes p (z.b. p = χ(g)) gilt immer χ(g K p ) = p = ω(g K p ) damit liefert die Bedingung χ(g) = ω(g) wenig strukturelle Information 5 / 47 6 / 47 wir suchen eine möglichst große Clique und zerlegen/überdecken mit stabile Mengen (Farbklassen) die Knoten einer stabilen Menge müssen durch verschiedene Cliquen überdeckt werden wir können auch die Rolle von Cliquen und stabilen Mengen vertauschen sei α(g) die Kardinalität einer größten stabilen Menge (Stabilitätszahl) wir überdecken jetzt den Graphen mit Cliquen die Cliquenüberdeckungszahl κ(g) ist die kleinste Anzahl von Cliquen, die die Knoten überdecken daher gilt κ(g) α(g) ein Graph G heißt α-perfekt, falls gilt: κ(h) = α(h) für alle induzierten Teilgraphen H G 7 / 47 8 / 47

3 wir haben damit zwei Perfektheitsbegriffe offensichtlich gilt: G χ-perfekt = G α-perfekt G α-perfekt = G χ-perfekt wir werden zeigen, dass beide Begriffe übereinstimmen Gliederung α- und χ-perfektheit Replikation Klassen perfekter Graphen dazu benötigen wir die folgende Konstruktion 9 / / 47 sei G = (V, E ) ein Graph und x V sei G x der Graph, der entsteht, wenn der Knoten x dupliziert wird x Lemma 1 (Berge) Sei h N n 0. Dann gilt: (i) G χ-perfekt G h χ-perfekt (ii) G α-perfekt G h α-perfekt. die Aussage ist richtig, falls G nur aus einem Knoten besteht sei sie also auch richtig für Graphen, die weniger Knoten haben als G allgemeiner: sei h = (h 1,..., h n ) N n 0 G h ist der Graphen, in dem jeder Knoten x j durch eine stabile Menge der Kardinalität h j ersetzt wird per Induktion über P n i=1 h i können wir annehmen, dass h ein Vektor aus lauter Einsen ist mit einer Komponente 2 wir betrachten also G x mit x als Kopie von x für h {0, 1} n sei G h der von den Knoten x j mit h j = 1 induzierte Teilgraph 11 / / 47

4 sei G induzierter echter Teilgraph von G x (ii) sei K eine Cliquenüberdeckung von G mit K = κ(g) = α(g) dann ist entweder G G oder G = H x für ein H G sei K x die Clique, die x enthält in beiden Fällen folgen (i) und (ii) per Induktion es bleibt also nur G x zu betrachten (i) da x und x nicht benachbart sind, liegen sie nicht in einer Clique somit ω(g x) = ω(g) da G χ-perfekt ist, existiert eine Färbung von G mit ω(g) Farben färbe x wie x dies liefert eine zulässige Färbung von G x mit ω(g) Farben wir unterscheiden zwei Fälle (a) x liegt in einer maximalen stabilen Menge sei S eine stabile Menge mit S = α(g) und x S dann ist S {x } stabil in G x, d.h. α(g x) = α(g) + 1 K {x } eine Cliquenüberdeckung von G x d.h. κ(g x) κ(g) / 47 damit folgt κ(g x) κ(g) + 1 = α(g) + 1 = α(g x) κ(g x), und somit α(g x ) = κ(g x ). 14 / 47 (b) x ist in keiner maximalen stabilen Menge: dann ist α(g x) = α(g) da κ(g) = α(g), schneidet jede Clique in K jede maximale stabile Menge genau einmal K x schneidet jede maximale stabile Menge genau einmal nach Voraussetzung liegt x in keiner maximalen stabilen Menge damit schneidet auch D = K x {x } jede maximale stabile Menge genau einmal sei H der von V D induzierte Untergraph dann ist α(h) = α(g) 1 stabile Mengen per Induktion gilt: κ(h) = α(h) = α(g) 1 = α(g x) 1 damit auch K x Cliquen K x sei K eine Cliquenüberdeckung von H der Kardinalität α(g x) 1 dann liefert K zusammen mit D {x } eine Cliquenüberdeckung mit κ(g x ) = α(g x) 15 / / 47

5 es war lange Zeit vermutet worden, dass die beiden Perfektheitsbegriffe äquivalent sind diese Vermutung ist schließlich von Lovász bewiesen worden: sei also G α-perfekt per Induktion ist ω(h) = χ(h) bewiesen für alle H G wir unterscheiden wieder zwei Fälle: Satz 2 (Lovász) G ist α-perfekt genau dann, wenn G χ-perfekt ist. die stabilen Mengen von Graphen G entsprechen den Cliquen von G daher reicht es zu zeigen, dass die α-perfektheit die χ-perfektheit impliziert (a) G enthält eine stabile Menge S, die jede maximale Clique schneidet dann ist ω(v S) = ω(g) 1 färbe: V S mit ω(g) 1 Farben S mit einer zusätzlichen Farbe d.h. ω(g) = χ(g). 17 / / 47 (b) keine stabile Menge S schneidet alle maximalen Cliquen sei S die Menge aller stabilen Mengen von G zu jedem S S existiert eine Clique K (S) mit K (S) = ω(g), S K (S) = für jedes v i V sei h i = {S S : v i K (S)} h i ist die Anzahl der stabilen Mengen S, so dass die zugehörige maximale Clique K (S) v i enthält wir ersetzen jeden Knoten v i sei also H = G h nach Lemma 1 ist H ebenfalls α-perfekt. durch eine stabile Menge der Größe h i weiter gilt: V (H) = X vi V h i = X X {v i } K (S) vi V = X S S = X S S S S X v i V K (S) {v i } K (S) = ω(g) S, nach Definition von K (S) nach Konstruktion von H enthält jede Clique von H höchstens eine Kopie eines Knoten somit ω(h) ω(g) 19 / / 47

6 somit ω(h) ω(g) weiter gilt T K (S) 1 für alle T S und S K (S) = 0 somit: α(h) = max T S = max T S = max T S = max T S S 1 X h i v i T X v i T X S S X {vi K (S)} S S X {v i K (S)} v i T X T K (S) S S somit gilt: (i) α(h) S 1, (ii) ω(h) ω(g) (iii) V (H) = ω(g) S da die Cliquen in einer Cliquenüberdeckung die Größe höchstens ω(h) haben können, folgt: somit: κ(h) V (H) ω(h) V (H) ω(g) = S κ(h) S > S 1 α(h), im Widerspruch zur α-perfektheit von H. 21 / / 47 Wir nennen einen Graphen perfekt, wenn er α-perfekt oder χ-perfekt ist Eine andere Formulierung des Satzes 2 ist somit: Korollar 3 Ein Graph ist genau dann perfekt, wenn sein Komplement perfekt ist. im nächsten Abschnitt werden wir spezielle Klassen von perfekten Graphen betrachten sie enthalten alle keine induzierte ungerade Kreise der Länge mindestens fünf wegen der Abgeschlossenheit unter Komplementbildung enthalten sie auch deren Komplemente nicht Berge hat 1966 die starke-perfekte-graphen-vermutung aufgestellt, dass diese Eigenschaft perfekte Graphen charakterisiert nach vielen vergeblichen Versuchen, diese Vermutung zu beweisen, ist sie im Jahr 2002 bewiesen worden. 23 / / 47

7 Satz 4 (Chudnovsky, Robertson, Seymour und Thomas) Ein Graph G ist genau dann perfekt, wenn weder G noch sein Komplement G einen induzierten ungeraden Kreis der Länge mindestens 5 enthält. für perfekte Graphen existieren polynomielle Verfahren, um eine minimale Färbung oder Knotenüberdeckung bzw eine maximale Clique oder stabile Menge zu bestimmen Gliederung α- und χ-perfektheit Replikation Klassen perfekter Graphen die Algorithmen beruhen jedoch auf Methoden, die den Rahmen dieser Vorlesung sprengen für spezielle Klassen von perfekten Graphen, von denen wir drei im folgenden Abschnitt einführen, gibt es dagegen einfache Verfahren, um die genannten Probleme optimal zu lösen. 25 / / 47 im folgenden geben wir einige Beispiele von Klassen perfekter Graphen an wir beweisen jeweils ihre Perfektheit wir beschreiben jedoch i. A. keine Verfahren zur Bestimmung einer minimalen Färbung oder einer maximalen Clique 1. bipartite Graphen für jeden bipartiten Graphen G mit mindestens einer Kante gilt offensichtlich χ(g) = 2 und ω(g) = 2 da ihre induzierten Teilgraphen wiederum bipartit sind, sind bipartite Graphen perfekt 2. Kantengraphen von bipartiten Graphen sei G ein Graph und L(G) sein Kantengraph eine unabhängige Menge in L(G) entsprecht einem Matching in G eine Clique in L(G) entspricht einer Menge von Kanten in G, die entweder einen K 3 bilden oder einen gemeinsamen Endknoten haben ist G bipartit, so folgt: eine Cliquenüberdeckung von L(G) entspricht einer Teilmenge von Knoten von G, die alle Kanten überdecken maximales Matching = minimale Knotenüberdeckung (König und Egerváry) damit gilt κ(l(g)) = α(l(g)) für bipartite Graphen G wegen der Abgeschlossenheit unter induzierten Teilgraphen, sind auch Kantengraphen bipartiter Graphen perfekt. 27 / / 47

8 3. Intervallgraphen sei T 1,..., T n eine Menge von abgeschlossenen Intervallen des R sie definiert einen Graphen auf n Knoten v 1,..., v n mittels (v i, v j ) E T i T j um an unser einführendes Beispiel anzuknüpfen: Prüfungen finden jeweils in einem Zeitintervall T i statt die Anzahl der benötigten Räume ist die Färbungszahl des zugehörigen Intervallgraphen entsprechend: ein Compiler legt Variableninhalte in Register ab die Variablen werden in Zeitintervallen T i benötigt die Färbungszahl des zugehörigen Intervallgraphen bestimmt die Anzahl der benötigten Register ein Graph heißt Intervallgraph, wenn er so erzeugt werden kann wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass Intervallgraphen perfekt sind. 29 / / chordale Graphen sei C = {v 1,..., v k } ein Kreis in einem Graphen G = (V, E ) eine Kante heißt Sehne (engl.: chord), falls sie zwei Knoten des Kreises miteinander verbindet, die im Kreis nicht benachbart sind ein Graph heißt chordal oder trianguliert, falls jeder Kreis der Größe mindestens 4 eine Sehne hat sei G ein Intervallgraph, v 1,..., v k ein sehnenfreier Kreis in G mit k > 3 und T i die zu den Knoten gehörenden Intervalle da sich die Intervalle benachbarter Knoten schneiden, können wir für 1 i k 1 Punkte p i T i T i+1 wählen sei p i < p i+1 dann ist ˆp i, p i+1 Ti+1 wäre p i+2 < p i+1, so wäre p i+2 T i+1 T i+3 Sehne und (v i+1, v i+3 ) eine somit bilden die p i s eine strikt steigende oder strikt fallende Folge. Lemma 5 Intervallgraphen sind chordal. dann können sich aber T 1 und T k nicht schneiden. 31 / / 47

9 chordale Graphen lassen sich ebenfalls über Schnitte geeigneter Objekte definieren: zu jedem chordalen Graph existiert ein Baum, die Knoten des Graphen entsprechen einer Menge von Teilbäumen des Baumes zwei Teilbäume schneiden sich genau dann, wenn die entsprechenden Knoten im Graphen benachbart sind chordale Graphen lassen sich einfach dekomponieren ein Knoten v eines Graphen heißt simplizial, wenn seine Nachbarn N(v ) eine Clique bilden Lemma 6 Jeder chordaler Graph G hat einen simplizialen Knoten. wir können annehmen, dass G nicht vollständig ist sei U eine maximale Teilmenge von Knoten, so dass gilt: G(U) ist zusammenhängend und U N(U) V eine solche Teilmenge existiert, da mindestens ein Knoten u mit dieser Eigenschaft existieren muss sei W = V (U N(U)) U W N(U) 33 / / 47 angenommen u, v N(U) sind nicht benachbart: U W N(U) angenommen für v N(U) und w W gilt (v, w ) / E : setze U = U v dann ist G(U ) zusammenhängend und U N(U ) V zur Maximalität von U sei (u, P, v ) ein kürzester Weg mit P U, der u und v verbindet ein solcher Weg existiert, da u, v N(U) und G(U) zusammenhängend ist sei w W u v w da w / N(U), induzieren P und u, v, w einen sehnenlosen Kreis der Länge mindestens vier zur Chordalität von G 35 / / 47

10 per Induktion enthält der von W indzuzierte Teilgraph einen simplizialen Knoten w für die Nachbarn von w in V W gilt: sie sind zu jedem Knoten in W benachbart sie sind untereinander benachbart damit ist w auch simplizial in G. Satz 7 Chordale Graphen sind perfekt. induzierte Teilgraphen von chordalen Graphen sind chordal per Induktion gilt für jeden echten Teilgraphen H bereits ω(h) = χ(h) sei v ein simplizialer Knoten von G dann ist offensichtlich N(v ) ω(g v ) per Induktion können wir G v mit ω(g v ) Farben färben ist N(v ) < ω(g v ), so haben wir eine dieser Farben frei, um v zu färben ist N(v ) = ω(g v ), so folgt ω(g) = ω(g v ) + 1 und wir färben v mit einer neuen Farbe damit ist G χ-perfekt und nach Satz 2 perfekt. 37 / / 47 Berechnung der Cliquenzahl sei G ein chordaler Graph sei v n,..., v 1 eine Anordnung der Knoten mit v i ist simplizial in G({v i,..., v 1 }) für i = n,..., 2 sei C eine Clique in G sei v i C der Knoten mit dem größten Index dann ist v i N(v i ) {v i 1,..., v 1 } eine Clique damit gilt C {v i } N(v i ) {v i 1,..., v 1 } somit ist jede maximale Clique von der Form {v i } N(v i ) {v i 1,..., v 1 } insbesondere gibt es höchstens n maximale Cliquen damit ist Färbungen sei k = ω(g) j ff ω(g) = max {v i } (N(v i ) {v i 1,..., v 1 }) 1 i n wende die Färbungsheuristik in der Reihenfolge v 1,..., v n jedes v i ist zu höchstens k 1 Knoten in {v i 1,..., v 1 } benachbart damit benötigt die Heuristik auch höchstens k Farben und liefert eine optimale Färbung. an 39 / / 47

11 5. transitiv orientierbare Graphen sei G = (V, E ) ein Graph Beispiele: die folgenden Graphen sind transitiv orientierbar: sei A eine Orientierung der Kanten in E A heißt transitive Orientierung, falls gilt: (u, v ), (v, w ) A = (u, w ) A insbesondere muss die Kante (u, v ) in E liegen G heißt transitiv orientierbar, wenn er eine transitive Orientierung besitzt der folgende Graph ist nicht transitiv orientierbar: 41 / / 47 Ein gerichteter G heißt azyklisch, wenn er keine gerichteten Kreise enthält Lemma 8 Eine transitive Orientierung eines transitiv orientierbaren Graphen ist azyklisch. sei v 1, v 2,..., v k ein gerichteter Kreis mit k 3 die Kanten (v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ) erzwingen die Kante (v 1, v 3 ) die Kanten (v 3, v 4 ),..., (v k, v 1 ) erzwingen die Kante (v 3, v 1 ) Widerspruch transitive Orientierungen induzieren daher eine binäre Relation auf den Knoten: u v es gibt einen gerichteten Weg von u nach v zwei Knoten heißen vergleichbar, wenn sie in Relation stehen andernfalls heißen sie unvergleichbar eine Teilmenge K V heißt Kette, falls je zwei Elemente von K vergleichbar sind eine Teilmenge T V heißt Antikette, falls keine zwei Elemente von T vergleichbar sind beides sind Eigenschaften des Graphen und nicht der Orientierung Ketten entsprechen Cliquen und Antiketten entsprechen stabilen Mengen 43 / / 47

12 sei G ein transitiv orientierbarer Graph und A eine transitive Orientierung sei K = {u 1,... u r } eine Kette in K existiert ein u 1, so dass u 1 < u i für i = 2,..., r per Induktion lässt sich K damit vollständig anordnen d.h. es gilt u 1 < u 2 <... < u r K hat die Länge l(k ) = r K beginnt in u 1 und endet in u r Satz 9 Die maximale Länge einer Kette ist gleich der minimalen Anzahl disjunkter Antiketten, in die V zerlegt werden kann. für die Zerlegung einer Kette K werden sicherlich l(k ) Antiketten benötigt daher kann keine Kette länger sein als die Anzahl der Antiketten in einer Antiketten-Zerlegung umgekehrt ordnen wir jedem Element v V eine Höhe h(v ) zu sei h(v ) die maximale Länge einer Kette, die in v endet Es gilt folgende Dualitätsaussage: offensichtlich bilden Knoten mit gleicher Höhe eine Antikette wir erhalten somit eine Zerlegung in k Antiketten, wobei k = max v V h(v ) = max{l(k ) : K Kette in V }. 46 / / 47 induzierte Teilgraphen von transitiv orientierbaren Graphen sind transitiv orientierbar somit besagt Satz 9, dass transitiv orientierbare Graphen χ-perfekt sind zusammen mit Satz 2 ergibt sich die folgende Aussage: Satz 10 (Dilworth) Die minimale Anzahl von Ketten, in die V zerlegt werden kann, ist gleich der maximalen Größe einer Antikette. Es gilt genauer (ohne Beweis): Lemma 11 G ist Intervallgraph G ist chordal und und G transitiv orientierbar. 47 / 47