Effiziente Algorithmen II

Transkript

1 10. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe Q Betrachten Sie das Knapsackpolytop P = conv(v ) mit V = {x n i=1 a ix i α} {0, 1} n für gegebenes α und a i 0 (insbesondere ist a i > α möglich). a) Welche Dimension hat P? b) Untersuchen Sie, in welchen Fällen die Ungleichungen x i 0 bzw. x i 1 eine Facette von P definieren. Aufgabe R Zu jedem ungerichten Graphen G = (V, E) ist das Stabile Mengen Polytop definiert als STAB(G) = conv{χ S S V ist stabile Menge in G}. Die folgenden Ungleichungen sind offensichtlich gültig für STAB(G): a) x u 1, x u 0, b) x u + x v 1, für (u, v) E, c) x(k) K 2, für K ungerader Kreis in G, d) x(c) 1, für C Clique in G. Als IP-Formulierung genügen die Ungleichungen aus a) und b). Zeigen Sie, wie die Kreisungleichungen c) und die Cliqueungleichungen d) durch elementare Abschlussoperationen aus a) und b) erhalten werden können.

2 9. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am & Eine Matrix A heißt total unimodular, wenn die Determinante jeder quadratischen Untermatrix von A einen Wert aus { 1, 0, 1} hat. Aufgabe N Sei A = (a ij ) eine ganzzahlige (m, n)-matrix. Ist A total unimodular, so gibt es für jedes R {1,..., m} eine disjunkte Aufteilung R = R 1 R 2 mit a ij a ij { 1, 0, 1} i R 1 i R 2 für alle j = 1,..., n. (Tipp: Betrachten Sie die Blockmatrix, die sich aus A T, A T und der Einheitsmatrix I zusammensetzt.) Aufgabe O Die Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix eines ungerichteten Graphen G = (V, E) ist genau dann total unimodular, wenn G bipartit ist. (Sie dürfen sowohl den Satz aus Aufgabe N als auch dessen umgekehrte Implikationsrichtung verwenden, da diese ebenfalls wahr ist.) Aufgabe P Verwenden Sie den Satz aus Aufgabe O, um zu zeigen: In einem bipartiten Graphen G = (V, E) ist die Kardinalität eines maximalen Matchings gleich der Kardinalität einer minimalen Knoten-Überdeckung.

3 8. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe M a) Skizzieren Sie, wie das asymmetrische Traveling-Salesman-Problem (ATSP) durch dynamische Programmierung gelöst werden kann. b) Eignet sich dieses Vorgehen auch zur Lösung des Target-Visitation-Problems (TVP) aus Aufgabe 16?

4 7. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe L Gegeben sei das folgende ganzzahlige lineare Programm. max 2x 1 + 5x 2 4x 1 + x 2 28 (1) x 1 + 4x 2 27 (2) x 1 x 2 1 (3) x 1, x 2 Z +. a) Stellen Sie die folgenden drei Lagrange-Relaxierungen auf: 1. Bezüglich der Nebenbedingung (1), 2. bezüglich der Nebenbedingungen (1) und (2), 3. bezüglich der Nebenbedingungen (2) und (3). b) In welchen dieser drei Fälle ist der Wert der Lagrange-Relaxierung besser als der Wert der LP- Relaxierung?

5 6. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe K Betrachten Sie die LP-Relaxierung max c T x a T x b 0 x i 1 des 0/1-Knapsack-Problems. Wie erhält man die Optimallösung dieser Relaxierung in O(n log n)? Beweisen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus.

6 5. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe I Das folgende lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: x y = 7 2x + 3y = 5 3x + y = 1. Es soll daher ein Vektor (x, y) bestimmt werden, der den Fehlerterm d 1 + d 2 + d 3 minimiert mit d 1 = x y 7, d 2 = 2x + 3y 5, d 3 = 3x + y + 1. Formulieren Sie dieses Problem als lineares Programm. Aufgabe J Betrachten Sie das System 4x 2y 2 (1) 5x + 5/2y 5/2 (2) x 1 (3) y 1 (4) 2x 3/2y 7/2 (5) x + 4y 14 (6) 7x 3y 5 (7) x 3. (8) a) Stellen Sie den Lösungsraum graphisch dar. b) Welche der acht Ungleichungen sind redundant?

7 4. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe G Beim Linear-Ordering-Problem sind n Objekte in eine Reihenfolge zu bringen. Dabei wird ein Bonus c ij für alle verschiedenen i, j {1..., n} gutgeschrieben, wenn sich Objekt i weiter vorne in der Anordnung als Objekt j befindet. Gesucht ist eine Reihenfolge, welche den Gesamtbonus maximiert. Geben Sie eine möglichst gute Gütegarantie für die folgende Heuristik an. Bestimme zufällig eine Anordnung L der n Objekte. Sie L die Anordnung, welche durch Invertierung der Anordnungsreihenfolge in L entsteht. Gib die bessere der beiden Anordnungen L und L zurück (oder L, falls sie gleich gut sind). Aufgabe H Das Knotenfärbungsproblem besteht darin, in einem Graphen G = (V, E) eine Färbung f : V N der Knoten V = {v 1,..., v n } mit möglichst wenigen Farben zu bestimmen, sodass zwei benachbarte Knoten stets unterschiedliche Farben zugewiesen bekommen. Betrachten Sie die folgende Greedy-Heuristik: 1. Für i = 1,..., n: 1.1 Setze f(v i ) := min{k N k f(v j ) für alle j < i mit v i v j E}. Beweisen Sie: a) Es gibt für jedes n N + einen bipartiten Graphen mit 2n Knoten, für den die Greedy-Heuristik n Farben benötigt. Gibt es eine Gütegarantie für die Greedy-Heuristik? b) Es gibt immer eine Reihenfolge der Knoten, für welche der Greedy-Algorithmus die optimale Lösung findet.

8 3. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe E Das in der Vorlesung vorgestellte Knapsack-Problem beschränkt sich auf den Fall, dass sowohl die Gewichte a i als auch die Zielfunktionskoeffizienten c i nur nichtnegative ganze Zahlen annehmen können. Wie kann man den Fall behandeln, dass auch negative ganze Zahlen zugelassen werden? a) 0/1-Knapsack-Problem: Erlaubt sind i mit c i < 0, wenn a i 0. b) Allgemeines Knapsack-Problem: Erlaubt sind i mit c i < 0, wenn a i 0. c) 0/1-Knapsack-Problem: Erlaubt sind i mit a i < 0, wenn c i 0. d) Allgemeines Knapsack-Problem: Erlaubt sind i mit a i < 0, wenn c i 0. Aufgabe F Betrachten Sie den folgenden Algorithmus doubletree zur Berechnung einer Näherungslösung für das Traveling-Salesman-Problem. Eine eulersche Tour ist ein geschlossener Pfad im Graphen, der jede Kante genau einmal durchläuft. doubletree(g) (1) Berechne einen minimalen aufspannenden Baum B von G. (2) Verdopple alle Kanten von B, um einen eulerschen Graphen G B zu erhalten. (3) Berechne eine eulersche Tour T im Graphen G B. Die Knotenabfolge von T sei v i0, v i1, v i2,.... (4) Rufe obtainhamiltontour(t ) auf, um eine hamiltonsche Tour H zu erhalten. obtainhamiltontour(t ) (1) Setze Q = {v i0 }, H =, v = v i0 und l = 1. (2) Solange Q < n (2.1) Falls v il / Q dann setze Q = Q {v il }, H = H {vv il } und v = v il. (2.2) Setze l = l + 1. (3) Setze H = H {vv i0 } (4) H ist eine hamiltonsche Tour. Zeigen Sie, dass diese Heuristik bei Problemen mit Dreiecksungleichung 1-approximativ ist.

9 2. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe C Betrachten Sie das Problem, auf einer Maschine n verschiedene Jobs mit Ausführungszeiten p i und Wartezeit- Kosten w i > 0 möglichst günstig zu bearbeiten. Die Kosten w i entstehen für jeden Zeitpunkt, zu welchem der Auftrag i noch nicht begonnen wurde. Wenn t i die Startzeit von Job i bezeichnet, ist demzufolge w i t i zu minimieren. Zeigen Sie, dass die Greedy-Algorithmen a) und b) keine Gütegarantien besitzen, Greedy-Algorithmus c) jedoch stets die Optimallösung findet. a) Starte die Jobs nichtaufsteigend nach w i. b) Starte die Jobs nichtabsteigend nach p i. c) Starte die Jobs nichtabsteigend nach pi w i. Aufgabe D Betrachten Sie das Parallel-Shop-Problem: n Jobs T 1,..., T n mit Bearbeitungszeiten t 1,..., t n sind auf m Maschinen M 1,..., M m zu verteilen, sodass die späteste Fertigstellungszeit minimiert wird. Betrachten Sie den folgenden Algorithmus: Für ein vorgegebenes natürliches k werde das Problem für die k längsten Jobs exakt gelöst, dann die verbleibenden Jobs mit dem List-Algorithmus platziert (nächsten Job stets auf erste frei werdende Maschine platzieren). Der Algorithmus besitzt eine Worst-Case-Schranke von 1 + m 1. k a) Zeigen Sie, dass die Laufzeit des Algorithmus polynomiell in der Eingabelänge (in n und m) ist. b) Wie muss k in Abhängigkeit von m und ɛ > 0 gesetzt werden, damit der Algorithmus ein polynomiales Approximationsschema (PAS) für jede feste Anzahl von Maschinen ist.

10 1. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am Aufgabe A Die beiden folgenden Probleme sind NP-vollständig: a) SUBSET-SUM: Gegeben natürliche Zahlen a 1, a 2,..., a n und eine Zahl b. Gibt es eine Teilmenge von {a 1,..., a n } mit Summe gleich b? b) 3-DIMENSIONAL-MATCHING: Gegeben drei paarweise disjunkte n-elementige Mengen X, Y, Z und eine Menge T X Y Z von geordneten Tripeln. Gibt es eine Menge von n Tripeln, so dass jedes Element von X Y Z in genau einem dieser Tripel vorkommt? Weisen Sie durch geeignete polynomiale Transformationen nach, dass auch die folgenden Probleme NPvollständig sind: zu a) PARTITION: Gegeben eine Menge n ganzer Zahlen A = {a 1,..., a n }. Gibt es eine Teilmenge A A mit der Eigenschaft a A a = a A\A a? zu b) SET-COVER: Gegeben eine n-elementige Menge U, ein System S 1, S 2,..., S m von Teilmengen von U und eine Zahl k. Gibt es eine Auswahl von höchstens k Teilmengen S i, so dass ihre Vereinigung gleich U ist? Aufgabe B Die Heuristik Next-Fit verwaltet im Unterschied zu First-Fit aus Kapitel 10.3 immer nur eine aktive Kiste. Falls das aktuelle Objekt nicht hinein passt, wird diese Kiste dauerhaft geschlossen und eine neue geöffnet. Leiten Sie eine asymptotische Gütegarantie von Next-Fit her und beweisen Sie mithilfe eines Beispiels, dass diese nicht verbessert werden kann.