Prüfungsklausur Operations Research,

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, B Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 2 3a 3b gesamt erreichbare P. 2+(5) 2+(4) (9) erreichte P. Bemerkungen: Die angewendeten Algorithmen müssen erkannbar sein. Fragen sind mit einem Satz zu beantworten. Aufgabe : Auf dem Arbeitsblatt ist ein Graph mit einer Kantenbewertung gegeben. Dieser Graph ist das Modell eines Straßennetzes wobei die Kantenbewertung die Länge der entsprechenden Straßen in Längeneinheiten ( Längeneinheit = 00 m) angibt. (a) Ermitteln Sie die kürzesten Wege von Kreuzung 6 zu allen anderen Kreuzungen. Verdeutlichen Sie den Ablauf des Algorithmus (möglichst anhand von Tabellen). Markieren Sie die entsprechenden Kanten im Graphen. (b) Ein Fahrzeug der Straßenreinigung soll am Depot (Kreuzung ) starten, jede Straße mindestens einmal abfahren und zum Depot zurückkehren. Die Länge der vom Fahrzeug zu fahrenden Strecke soll minimiert werden. Bestimmen Sie die Straßen, die das Fahrzeug unter dieser Bedingung doppelt fahren muß. Wieviele Kilometer sind damit zusätzlich (zur Gesamtlänge der zu reinigenden Straßen) zurückzulegen? Der Lösungsweg ist anzugeben. Tipp: Die Länge eines kürzesten Weges von Kreuzung 4 zu Kreuzung 0 ist 6 Längeneinheiten. Von Kreuzung 4 zu Kreuzung 8 und von Kreuzung 8 zu Kreuzung 0 ist der kürzeste Weg die direkte Verbindung. (c) Zusatzaufgabe: Wegen Straßenbauarbeiten ist die Straße zwischen den Kreuzungen 8 und gesperrt und muss logischerweise nicht gereinigt werden. Welche Straßen sind in diesem Fall doppelt zu fahren, wenn wieder die Länge der Fahrstrecke des Reinigungsfahrzeuges minimert werden soll? Tipp: Die Länge eines kürzesten Weges von 4 nach ist 22 Längeneinheiten und von 0 nach ist der kürzeste Weg die direkte Verbindung.

2 Aufgabe 2 : Für das gegebene Netzwerk (s. unten) N = (G, c, s, t) mit s = und t = 4 bestimme man mit Hilfe des Algorithmus von Ford und Fulkerson einen maximalen (s, t)-fluß, sowie einen minimalen (s, t)-schnitt F = I + (A). Es ist bereits ein Fluß f vorgegeben. Die Werte an den Kanten bedeuten f(e)/c(e), wobei c(e) die maximale Kapazität der jeweiligen Kante angibt. Verdeutlichen Sie den Verlauf des Algorithmus, insbesondere die Markierungen mit Tabellen oder/und direkt in der Figur. Geben Sie den Wert des maximalen Flusses und die Kantenmenge des minimalen Schnittes an. Zusatzaufgabe: Ist es sinnvoll zur Erhöhung der Kapazität des Netzwerkes die Kapazität der Kante von 4 nach 8 auf 0 Einheiten zu erhöhen? Welche Maßnahmen könnte man durchführen, um die Kapazität des Netzwerkes um 5 Einheiten zu erhöhen? Begründen Sie Ihre Antwort jeweils mit bis 2 Stichpunkten / /0 3 5/5 4 0/0 5 5/5 5/ /0 0/0 5/0 5/5 0/5 0/0 25 5/ /5 5/5 0/0 5 0/ / /5 35/45 5/ x y V or(y) d(y) Fortsetzung auf dem Arbeitsblatt

3 Aufgabe 3 : Die Firma Data-Fix mit Sitz in S möchte die Orte S, S 2, S 3, S 4 und S 5 mittels Glasfaserkabel verbinden. Die jeweiligen Entfernungen in km zwischen den Orten sind in nebenstehender Tabelle gegeben. (a) (ohne Arbeitsblatt) Die Gesamtlänge des Kabelnetzes soll minimal werden. Wie sollten die Kabel verlegt werden, um dieses Ziel zu erreichen? Beantworten Sie die Frage durch Angabe eines entsprechenden Algorithmus, sowie einer Skizze und der Angabe der Gesamtlänge der Kabel. S S 2 S 3 S 4 S 5 S S S S S (b) Ein Vertreter der Firma soll zu Vorabsprachen alle Orte nacheinander besuchen und dann nach S zurückkehren. Gibt es eine solche Rundtour, die kürzer als 6 km ist? Wenden Sie zur Beantwortung der Frage die Branch & Bound Methode an. Untersuchen Sie insbesondere die Fälle, wenn die Strecke von S nach S 3 zur Tour gehört, bzw. nicht dazu gehört. Benutzen Sie das Arbeitsblatt. Geben Sie auch den Entscheidungsbaum mit den entsprechenden Schranken an. Aufgabe 4 : Eine Agrargenossenschaft besitzt 6 Mähdrescher, die sie für die Ernte auf ihren Feldern einsetzen kann. Aktuell soll auf 5 Feldern geerntet werden. Die jeweiligen Kosten für den Einsatz des Mähdreschers M i für die Ernte auf dem Feld F j in Geldeinheiten sind in nebenstehender Tabelle gegeben. Die Gesamtkosten für den Mähdreschereinsatz sollen minimiert werden. Geben Sie eine Zuordnung der Mähdrescher zu den Feldern an, die die Kosten minimiert. Wie hoch sind die minimalen Gesamtkosten. F F 2 F 3 F 4 F 5 M Der Algorithmus zur Ermittlung der Zuordnung soll erkennbar sein. Nutzen Sie das Arbeitsblatt. Tipp: Beginnen Sie mit einer Spaltenreduktion. Aufgabe 5 : Skizzieren Sie den Graphen G, der nebenstehender Adjazenzmatrix A entspricht. Geben Sie eine Minimalgradfolge, sowie die Coloring Number col(g) an. Färben Sie die Knoten des Graphen unter Verwendung des Greedy- Algorithmus und der angegebenen Minimalgradfolge. A =

4 Aufgabe 6 : Wenn man vom vollständigen Graphen K n je zwei Kanten entfernt, entstehen 8 (n4 2n 3 n 2 +2n) verschiedene Graphen. Es gibt also 5 Graphen mit 4 Knoten und 4 Kanten (s. Skizze) (a) Welche dieser Graphen sind isomorph zueinander? (b) Geben Sie die chromatischen Zahlen χ(g 5 ) und χ(g 6 ) an. G G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G G 8 G 9 G 0 G G 2 G 3 G 4 G 5 (c) Sei G ein Graph der durch Entfernung zweier Kanten aus dem K n entstanden ist. Setzen Sie in der Ungleichung für die chromatische Zahl a χ(g) b die bestmöglichen Grenzen a und b ein. (d) Der vollständige Graph K 8 hat 28 Kanten. Wieviele Stunden benötigen Sie ungefähr, um alle Graphen mit 8 Knoten und 26 Kanten zu skizzieren, wenn Sie für einen solchen Graphen 0 Sekunden benötigen? (e) Welche Laufzeit hat der folgende Algorithmus K? Wählen Sie eine der folgenden Angaben: O(n 2 ), O(n 4 ), O(n 6 ) oder exponentiell. Begründen Sie Ihre Antwort mit bis 2 Stichpunkten. Algorithmus K: (e) Eingabe: n N (e2) Ausgabe: Alle Graphen G mit n Knoten, die durch Entfernung zweier Kanten aus dem K n entstehen, mittels ihrer Adjazenzmatrix. (f) Wieviele Jahre benötigen Sie ungefähr, wenn Sie alle Graphen mit 8 Knoten skizzieren wollen, wobei Sie für einen Graphen 0 Sekunden benötigen und täglich (365 Tage im Jahr) 2 Stunden arbeiten?

5 Ergebnisse B: : (a) kürzeste Wege Gerüst: {69, 56, 45, 9, 6, 89, 35, 0, 0, 23} (b) doppelt zu fahren sind: {45, 56, 8 0}, das sind 2,5 km zusätzlich (c) doppelt zu fahren sind: {45, 56, 0 } 2.: Wert(f) = 0, I + (A) = {26, 36,, 2 4, 3 4} Es macht keinen Sinn die Kapazität der Kante 48 zu erhöhen, da diese vor dem minimalen Schnitt liegt, der aktuelle Fluss also dort nicht beschränkt wird. Um die Kapazität des Netzwerkes zu erhöhen könnte man die Kapazität der Kante, oder 2 4 oder 3 4 erhöhen oder die Richtung der Kante 2 umkehren. 3: (a) Minimalgerüst: {S S 3, S 3 S 4, S 4 S 5, S 4 S 2 }, Gesamtlänge: 49 km (b) allgemeine Schranke (nach Zeilen- und Spaltenreduktion): 62 km, Schranke mit S S 3 : 6 km, Schranke ohne S S 3 : 6 km eine Rundtour kann nicht kürzer als 6 km sein. 4.: Achtung: es muss eine fiktive Spalte F 6 (von Beginn an) eingeführt werden. Zuordnung: M F 3, F 2, F 5, F 4, F, Gesamtkosten: 54 GE 5:. Folge (z.b.) 4(2),(3), 2(3),3(3),6(2),5(2),(2),8(),9(0) Minimalgradfolge + Färbung: 9(),8(2),(3),5(3),6(),3(2), 2(4), (), 4(), col(g) = 4 6: (a) G, G 6, G sind paarweise isomorph und alle anderen sind ebenfalls paarweise isomorph. (b) χ(g 5 ) = 3, χ(g 6 ) = 2 (c) n 2 χ(g) n (d).05 Stunden (e) Die Laufzeit des Algorithmus ist O(n 6 ), da es 8 (n4 2n 3 n 2 + 2n) solche Graphen gibt (s. Aufgabenstellung) und die Ausgabe jedes dieser Graphen O(n 2 ) Operationen (Adjazenzmatrix) erfordert. (f) etwa 0,24 Jahre

6 B: Arbeitsblatt Aufgabe : Antwort (b): Antwort (c):

7 B: Arbeitsblatt Aufgabe 2: /5 2 /0 3 /5 4 /0 5 /5 6 /0 /0 /0 /5 /5 /5 /30 /0 8 /5 9 0 /0 /5 /0 2 /0 3 /5 /45 4 /0 x y V or(y) d(y) /5 2 /0 3 /5 4 /0 5 /5 6 /0 /0 /0 /5 /5 /5 /30 /0 8 /5 9 0 /0 /5 /0 2 /0 3 /5 /45 4 /0 x y V or(y) d(y) Wert(f )= Kantenmenge des minimalen Schnittes: I + (A) = Antworten zu Fragen der Kapazitätserhöhungen:

8 B: Arbeitsblatt Aufgabe 3(b): S S 2 S 3 S 4 S 5 S S S S S S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S - S S 2 S 3 S 4 S 5 S -

9 B: Arbeitsblatt Aufgabe 4: F F 2 F 3 F 4 F 5 M M F F 2 F 3 F 4 F 5 M F F 2 F 3 F 4 F 5 M F F 2 F 3 F 4 F 5 M F F 2 F 3 F 4 F 5 M F F 2 F 3 F 4 F 5