Konzepte der Informatik

Transkript

1 Platzhalter für Bild, Bild auf Titelfolie hinter das Logo einsetzen Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 23/ Dr. Werner Struckmann / Hendrik Freytag. April 2 Referent Kurztitel der Präsentation (bitte im Master einfügen) Seite

2 Der Stadtplan von Schilda Der Stadtrat hat vor kurzem beschlossen, alle Straßen zu Einbahnstraßen zu machen Konzepte der Informatik Seite 2

3 Problemstellung Die Fahrzeuge von Schilda-Taxi warten auf den Hotels Adler und Gozo sowie auf dem Parkplatz der Pension Kapitol: Aufgrund der neuen Verkehrsführung benötigen die Fahrer einen Plan, wie sie auf dem kürzesten Weg von ihrem Standort zu allen anderen Hotels kommen. Eine Entfernungstabelle ist auch zur Berechnung der neuen Tarife notwendig Konzepte der Informatik Seite 3

4 Markierung aller Straßenkreuzungen Konzepte der Informatik Seite 4

5 Der abstrakte Stadtplan Konzepte der Informatik Seite 5

6 Der erste Schritt Konzepte der Informatik Seite 6

7 Fortsetzung () Konzepte der Informatik Seite 7

8 Fortsetzung (2) Konzepte der Informatik Seite 8

10 Fortsetzung (4) Konzepte der Informatik Seite

11 Fortsetzung (5) Konzepte der Informatik Seite

29 Ende Konzepte der Informatik Seite 29

30 Entfernungstabelle Hotel Entfernung (km) Adler, Bogart,5 Club 9,7 Doge 8, Emilio 3,7 Fromm 6,5 Gozo 6,2 Holunder 7,6 Iliona,4 Jorge 9,8 Kapitol,7 Lundt 7, Konzepte der Informatik Seite 3

31 Was steckt dahinter? Einleitung Die besprochenen Probleme gehören in das Umfeld der so genannten Graphenalgorithmen. Ein Graph besteht hierbei aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten, die zwischen den Knoten verlaufen. Die Knoten werden oft als Kringel und die Kanten als Linien oder Pfeile dazwischen dargestellt. Man unterscheidet ungerichtete Graphen (ohne Pfeil), bei denen die Verbindung zweier Konten in beide Richtungen geht und gerichtete Graphen (mit Pfeil). Wozu ist aber ein Graph gut? Wie andere Modelle in der Informatik kann er ein Ausschnitt der Wirklichkeit modellieren, um diese einfacher zu verstehen und zu analysieren Konzepte der Informatik Seite 3

32 Was steckt dahinter? Anforderungen an Algorithmen Aufgrund der vielfältigen Anwendungen gibt es auch eine Menge von Algorithmen auf Graphen. Der Dijkstra-Algorithmus ist hier ein sehr bekannter Vertreter. Was zeichnet einen guten Algorithmus aus? Er muss zuerst einmal die gestellte Aufgabe lösen. Wichtiges Kriterium ist außerdem, dass dieser die Aufgabe möglichst schnell löst und auch bei großen Problemen nicht in die Knie geht Konzepte der Informatik Seite 32

33 Was steckt dahinter? Berechnung des Zeitbedarfs Wir betrachten wie stark der Zeitbedarf mit der Problemgröße ansteigt. Am Beispiel der Landkarte kann dies sehr gut demonstriert werden. Eine Problemgröße ist zum Beispiel die Anzahl der Städte auf der Landkarte. Betrachten wir jetzt noch einmal den Brute-Force-Ansatz zur Bestimmung des kürzesten Weges: Bestimme alle möglichen Wege vom Start zum Ziel und suche davon den kürzesten Konzepte der Informatik Seite 33

34 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Im schlechtesten Fall müssen also alle von einem Punkt ausgehenden Wege bestimmt werden. Außerdem sind im schlechtesten Fall alle Knoten mit allen anderen Knoten verbunden (vollständiger Graph). Für drei Knoten ist es noch kein Problem, die Anzahl möglicher Wege vom Startpunkt S aus zu bestimmen Konzepte der Informatik Seite 34

35 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Mit jedem zusätzlichen Knoten steigt die Anzahl der möglichen Wege stark an. Zeichnerisch die Lösung zu bestimmen ist dann nicht mehr praktikabel. Man kann die Anzahl der Knoten auch rechnerisch bestimmen. Für den Graphen mit vier Knoten gilt, dass man ihn aus zwei Komponenten zusammensetzen kann: ein einzelner Knoten S plus ein Graph mit drei Knoten. Da der bekannte Graph drei Knoten besitzt, kann vom neuen Knoten S auf drei Arten ein Weg zum bekannten Graphen begonnen werden Konzepte der Informatik Seite 35

36 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Im 3er Graphen wird dann auf die bereits ermittelte Weise ein Weg gesucht. Daher ist die Anzahl möglicher Wege im 4er-Graphen 3 * 2 = 6. Für einen 5er-Graphen gibt es vier Möglichkeiten, Wege vom neuen Knoten zum 4er-Graphen zu beginnen. Die Anzahl der Wege beträgt daher 4*6 = 24. Auf diese Weise kann man ableiten, dass in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (n-)! verschiedene Wege von einem gesetzten Startpunkt ausgehen. Da für jeden der Wege n- Streckenabschnitte eingerechnet werden müssen, bedarf es für die Brute-Force-Methode ungefähr (n-)(n-)! Berechnungen, um den kürzesten Weg zu finden Konzepte der Informatik Seite 36

37 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode # Knoten Schritte Konzepte der Informatik Seite 37

38 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Für Knoten sind im schlimmsten Fall bereits Berechnungen nötig. Wenn auch nur alle 2.93 Gemeinden Deutschlands als Knoten in die Suche einbezogen werden, sind 9,88 * Berechnungen nötig. Um sich diese Zahl vorstellen zu können, folgende Analogie: Konzepte der Informatik Seite 38

39 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Wenn sich die verfügbaren Rechenleistungen wie momentan jedes Jahr fast verdoppeln, haben im Jahre 2 alle Rechner der Erde zusammengenommen etwa die Möglichkeit 28 Petaflops durchzuführen, also 28 Billiarden Fließkommaoperationen pro Sekunde. Nehmen wir an, wir vereinigen alle Rechner zu einer gigantischen Maschine, die sich dann um unser Wegeproblem kümmert. Dann würde sie immer noch etwa 4*4745 Jahre für das Ergebnis benötigen. Das Alter des Universums wird heute auf etwa 2 Milliarden Jahre geschätzt. Die Maschine würde also immer noch 333*474 Mal so lange benötigen, wie das gesamte Universum alt ist Konzepte der Informatik Seite 39

40 Darstellung von Graphen Überlegung Computer kennt keine graphische Darstellung Insbesondere keine Kanten und Knoten Abstraktion notwendig Überführung der graphischen Darstellung in eine Datenstruktur Konzepte der Informatik Seite 4

41 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Idee für ungerichtete Graphen: Sei n die Anzahl der Knoten. Benutze eine n x n Matrix. Wenn eine Kante zwischen Knoten a und b existiert, dann trage in Spalte a und Zeile b eine ein, andernfalls eine. Verfahre ebenso mit Spalte b und Zeile a Konzepte der Informatik Seite 4

42 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für ungerichteten Graphen mit Gewichten: Symmetrie bleibt erhalten. Anstelle von einer trage das Kantengewicht ein Konzepte der Informatik Seite 42

43 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für gerichteten Graphen mit Gewichten: Keine Symmetrie mehr Konzepte der Informatik Seite 43

44 Darstellung von Graphen Adjazenzliste Anstatt einer Matrix wird eine verkettete Liste benutzt. Besonders geeignet für gerichtete Graphen Die Basisstruktur bildet die Liste aller Knoten. Für jeden Knoten wird eine Liste der Nachfolger entlang gerichteter Kanten abgespeichert Konzepte der Informatik Seite 44

45 Darstellung von Graphen Inzidenzmatrix Anstatt Verbindungen von Knoten zu Knoten darzustellen, wird hier die Nachbarschaft der Kanten zu den Knoten dargestellt. Jede Spalte enthält 2 von Null verschiedene Einträge e e2 e3 e4 e5 e6 e Konzepte der Informatik Seite 45

46 Zusammenfassung Datenstrukturen Listen Array's (zusammenhängender Speicher) n (doppelt) Verkettete Listen Stapel Konzepte der Informatik Seite

47 Zusammenfassung Datenstrukturen Graphen Bäume Konzepte der Informatik Seite

48 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Konzepte der Informatik Seite 48