Vorkurs Informatik WiSe 16/17

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorkurs Informatik WiSe 16/17"

Transkript

1 Institut für Programmierung Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, Technische Universität Braunschweig, IPS

2 Inhaltsverzeichnis Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 2 Institut für Programmierung

3 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3 Institut für Programmierung

4 Schilda-Rallye Stadtplan Der Stadtrat hat vor kurzem beschlossen, alle Straßen zu Einbahnstraßen zu machen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 4 Institut für Programmierung

5 Schilda-Rallye Problemstellung Die Fahrzeuge von Schilda-Taxi warten auf den Hotels Adler und Gozo sowie auf dem Parkplatz der Pension Kapitol: Aufgrund der neuen Verkehrsführung benötigen die Fahrer einen Plan, wie sie auf dem kürzesten Weg von ihrem Standort zu allen anderen Hotels kommen. Eine Entfernungstabelle ist auch zur Berechnung der neuen Tarife notwendig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5 Institut für Programmierung

6 Schilda-Rallye Markierung der Kreuzungen

7 Schilda-Rallye Abstrakte Stadtplan

8 Schilda-Rallye Erste Schritt

9 Schilda-Rallye Fortsetzung (1)

10 Schilda-Rallye Fortsetzung (2)

11 Schilda-Rallye Fortsetzung (3)

12 Schilda-Rallye Fortsetzung (4)

13 Schilda-Rallye Fortsetzung (5)

14 Schilda-Rallye Fortsetzung (6)

15 Schilda-Rallye Fortsetzung (7)

16 Schilda-Rallye Fortsetzung (8)

17 Schilda-Rallye Fortsetzung (9)

18 Schilda-Rallye Fortsetzung (10)

19 Schilda-Rallye Fortsetzung (11)

20 Schilda-Rallye Fortsetzung (12)

21 Schilda-Rallye Fortsetzung (13)

22 Schilda-Rallye Fortsetzung (14)

23 Schilda-Rallye Fortsetzung (16)

24 Schilda-Rallye Fortsetzung (17)

25 Schilda-Rallye Fortsetzung (18)

26 Schilda-Rallye Fortsetzung (19)

27 Schilda-Rallye Fortsetzung (20)

28 Schilda-Rallye Fortsetzung (21)

29 Schilda-Rallye Fortsetzung (22)

30 Schilda-Rallye Ende

31 Schilda-Rallye Entfernungstabelle Hotel Entfernung (km) Adler 0,0 Bogart 11,5 Club 9,7 Doge 8,1 Emilio 3,7 Fromm 6,5 Gozo 6,2 Holunder 7,6 Iliona 11,4 Jorge 9,8 Kapitol 10,7 Lundt 7, Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 31 Institut für Programmierung

32 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 32 Institut für Programmierung

33 Was steckt dahinter? Einleitung Die besprochenen Probleme gehören in das Umfeld der so genannten Graphenalgorithmen. Ein Graph besteht hierbei aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten, die zwischen den Knoten verlaufen. Die Knoten (Vertices) werden oft als Kreise und die Kanten (Edges) als Linien oder Pfeile dazwischen dargestellt. Man unterscheidet ungerichtete Graphen (ohne Pfeil), bei denen die Verbindung zweier Konten in beide Richtungen geht und gerichtete Graphen (mit Pfeil). Wozu ist aber ein Graph gut? Wie andere Modelle in der Informatik kann er ein Ausschnitt der Wirklichkeit modellieren, um diese einfacher zu verstehen und zu analysieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 33 Institut für Programmierung

34 Was steckt dahinter? Anforderungen Aufgrund der vielfältigen Anwendungen gibt es auch eine Menge von Algorithmen auf Graphen. Der Dijkstra-Algorithmus ist hier ein sehr bekannter Vertreter. Was zeichnet einen guten Algorithmus aus? Er muss zuerst einmal die gestellte Aufgabe lösen. Wichtiges Kriterium ist außerdem, dass dieser die Aufgabe möglichst schnell löst und auch bei großen Problemen nicht in die Knie geht Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 34 Institut für Programmierung

35 Was steckt dahinter? Zeitbedarfs Wir betrachten wie stark der Zeitbedarf mit der Problemgröße ansteigt. Am Beispiel der Landkarte kann dies sehr gut demonstriert werden. Eine Problemgröße ist zum Beispiel die Anzahl der Städte auf der Landkarte. Betrachten wir jetzt noch einmal den Brute-Force-Ansatz zur Bestimmung des kürzesten Weges: Bestimme alle möglichen Wege vom Start zum Ziel und suche davon den kürzesten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 35 Institut für Programmierung

36 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im schlechtesten Fall müssen also alle von einem Punkt ausgehenden Wege bestimmt werden. Außerdem sind im schlechtesten Fall alle Knoten mit allen anderen Knoten verbunden (vollständiger Graph). Für drei Knoten ist es noch kein Problem, die Anzahl möglicher Wege vom Startpunkt S aus zu bestimmen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 36 Institut für Programmierung

37 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Mit jedem zusätzlichen Knoten steigt die Anzahl der möglichen Wege stark an. Zeichnerisch die Lösung zu bestimmen ist dann nicht mehr praktikabel. Man kann die Anzahl der Knoten auch rechnerisch bestimmen. Für den Graphen mit vier Knoten gilt, dass man ihn aus zwei Komponenten zusammensetzen kann: ein einzelner Knoten S plus ein Graph mit drei Knoten. Da der bekannte Graph drei Knoten besitzt, kann vom neuen Knoten S auf drei Arten ein Weg zum bekannten Graphen begonnen werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 37 Institut für Programmierung

38 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im 3er-Graphen wird dann auf die bereits ermittelte Weise ein Weg gesucht. Daher ist die Anzahl möglicher Wege im 4er-Graphen 3 2 = 6. Für einen 5er-Graphen gibt es vier Möglichkeiten, Wege vom neuen Knoten zum 4er-Graphen zu beginnen. Die Anzahl der Wege beträgt daher 4 6 = 24. Auf diese Weise kann man ableiten, dass in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (n 1)! verschiedene Wege von einem gesetzten Startpunkt ausgehen. Da für jeden der Wege n 1 Streckenabschnitte eingerechnet werden müssen, bedarf es für die Brute-Force-Methode ungefähr (n 1)(n 1)! Berechnungen, um den kürzesten Weg zu finden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 38 Institut für Programmierung

39 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode # Knoten Schritte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 39 Institut für Programmierung

40 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Für 100 Knoten sind im schlimmsten Fall bereits Berechnungen nötig. Wenn auch nur alle Gemeinden Deutschlands als Knoten in die Suche einbezogen werden, sind 9, Berechnungen nötig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 40 Institut für Programmierung

41 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 41 Institut für Programmierung

42 Darstellung von Graphen Überlegung Computer kennt keine graphische Darstellung Insbesondere keine Kanten und Knoten Abstraktion notwendig Überführung der graphischen Darstellung in eine Datenstruktur Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 42 Institut für Programmierung

43 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Idee für ungerichtete Graphen: Sei n die Anzahl der Knoten. Benutze eine n n Matrix. Wenn eine Kante zwischen Knoten a und b existiert, dann trage in Zeile a und Spalte b eine 1 ein, andernfalls eine 0. Verfahre ebenso mit Zeile b und Spalte a Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 43 Institut für Programmierung

44 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für ungerichteten Graphen mit Gewichten: Symmetrie bleibt erhalten. Anstelle von einer 1 trage das Kantengewicht ein Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 44 Institut für Programmierung

45 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für gerichteten Graphen mit Gewichten: Keine Symmetrie mehr Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 45 Institut für Programmierung

46 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Anstatt einer Matrix wird eine verkettete Liste benutzt. Besonders geeignet für gerichtete Graphen Die Basisstruktur bildet die Liste aller Knoten. Für jeden Knoten wird eine Liste der Nachfolger entlang gerichteter Kanten abgespeichert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 46 Institut für Programmierung

47 Darstellung von Graphen Inzidenzmatrix Anstatt Verbindungen von Knoten zu Knoten darzustellen, wird hier die Nachbarschaft der Kanten zu den Knoten dargestellt. Jede Spalte enthält 2 von Null verschiedene Einträge e1 e2 e3 e4 e5 e6 e Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 47 Institut für Programmierung

48 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 48 Institut für Programmierung

49 Zusammenfassung Datenstrukturen Listen Array s (zusammenhängender Speicher) (doppelt) Verkettete Listen Stapel Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 49 Institut für Programmierung

50 Zusammenfassung Datenstrukturen Graphen Bäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 50 Institut für Programmierung

51 Zusammenfassung Graphentheorie Brute-Force-Methode vs. Greedy-Algorithmen Darstellung von Graphen Datenstrukturen (Zusammenfassung) Morgen: Codierungen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 51 Institut für Programmierung

52 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 52 Institut für Programmierung

Konzepte der Informatik

Konzepte der Informatik Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens

Mehr

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

Vorkurs Informatik WiSe 15/16

Vorkurs Informatik WiSe 15/16 Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, 16.10.2015 Technische Universität Braunschweig, IPS Inhaltsverzeichnis Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume 16.10.2015 Dr. Werner

Mehr

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten

Mehr

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d ) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h: c 7 a b f 5 h 3 4 5 i e 6 g 2 2 d Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten jener

Mehr

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale

Mehr

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 1 von 8 Klausur Informatik B April 1998 Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 2 von 8 Aufgabe 1: Fragekatalog (gesamt 5 ) Beantworten Sie folgende Fragen kurz in ein oder zwei Sätzen.

Mehr

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Seminar: Proseminar Graphentheorie Dozentin: Haibo Ruan Sommersemester 2011 Ausarbeitung zum Modulabschluss Graphentheorie spannende Bäume, bewertete Graphen,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Datenstrukturen: Anordnung von Daten, z.b. als Liste (d.h. in bestimmter Reihenfolge) Beispiel: alphabetisch sortiertes Wörterbuch... Ei - Eibe - Eidotter... als Baum (d.h.

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Lehrerbildungszentrum Informatik an der Universität Göttingen

Lehrerbildungszentrum Informatik an der Universität Göttingen Lehrerbildungszentrum Informatik an der Universität Göttingen Lehrermaterial: Graphen zum Themenschwerpunkt 2, Zentralabitur Niedersachsen 2010 / 2011 1. Graphen als Modellierungswerkzeug Im ersten Beispiel

Mehr

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Angewandte Informatik

Angewandte Informatik Angewandte Informatik Analyse des Graphs G zur Bestimmung von Parallel- undreihenschaltung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Gewichteter Multigraph Die Adjazenzmatrix eines Graphen eignet sich auch zur Analyse

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

Vorkurs Informatik WiSe 16/17

Vorkurs Informatik WiSe 16/17 Java Rekursion Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, 11.10.2016 Technische Universität Braunschweig, IPS Überblick Einleitung Beispiele 11.10.2016 Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke,

Mehr

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen . Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Minimal spannender Baum

Minimal spannender Baum Minimal spannender Baum 16 1 2 21 5 11 19 6 6 3 14 33 10 5 4 18 Die Kreise zeigen die vorgesehenen Standorte neu zu errichtender Filialen einer Bank. Entlang der bestehenden Straßen sollen Telefonleitungen

Mehr

Dynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik

Dynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (20 Graphen) T. Lauer 1 Motivation Wie komme ich am besten von Freiburg nach Ulm? Was ist die kürzeste Rundreise durch eine gegebene Menge von Städten?

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Kombinatorische Optimierung Zuweisungsprobleme 2 1 3 5 4 Kombinatorische Optimierung Rucksackpackproblem 1 10 2 4 6 3 5 8 6 Aufspannende Bäume Travelling Salesman VLSI Design C. Kanzow, M. Gerdts Kombinatorische

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Graphenalgorithmen I

Graphenalgorithmen I enalgorithmen I Tobias Pröger 21. Dezember 2016 Erklärung: Diese Mitschrift ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Wir sind froh über

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen 4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Graphen. Leonhard Euler ( )

Graphen. Leonhard Euler ( ) Graphen Leonhard Euler (1707-1783) 2 Graph Ein Graph besteht aus Knoten (nodes, vertices) die durch Kanten (edges) miteinander verbunden sind. 3 Nachbarschaftsbeziehungen Zwei Knoten heissen adjazent (adjacent),

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange

Mehr

DynaTraffic Modelle und mathematische Prognosen. Simulation der Verteilung des Verkehrs mit Hilfe von Markov-Ketten

DynaTraffic Modelle und mathematische Prognosen. Simulation der Verteilung des Verkehrs mit Hilfe von Markov-Ketten DynaTraffic Modelle und mathematische Prognosen Simulation der Verteilung des Verkehrs mit Hilfe von Markov-Ketten Worum geht es? Modelle von Verkehrssituationen Graphen: Kanten, Knoten Matrixdarstellung

Mehr

Durchschnitt von Matroiden

Durchschnitt von Matroiden Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert?

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert? Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? 1 Königsberger Brückenproblem Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Westfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld

Westfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld Westfählische Wilhelms-Universität Eulersche Graphen Autor: 21. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Das Königsberger Brückenproblem 1 2 Eulertouren und Eulersche Graphen 2 3 Auffinden eines eulerschen Zyklus

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Schnelle und genaue Routenplanung

Schnelle und genaue Routenplanung Sanders/Schultes: Routenplanung 1 Schnelle und genaue Routenplanung Peter Sanders Dominik Schultes Institut für Theoretische Informatik Algorithmik II Universität Karlsruhe Uni für Einsteiger, 22. November

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Einführung in die Informatik I (autip)

Einführung in die Informatik I (autip) Einführung in die Informatik I (autip) Dr. Stefan Lewandowski Fakultät 5: Informatik, Elektrotechnik und Informationstechnik Abteilung Formale Konzepte Universität Stuttgart 24. Oktober 2007 Was Sie bis

Mehr

Customization (Zuschneiden)

Customization (Zuschneiden) Customization (Zuschneiden) Anpassen der (Graph)Datenstruktur an die Anwendung. I Ziel: schnell, kompakt. I benutze Entwurfsprinzip: make the common case fast I Listen vermeiden Mögliches Problem: Software-Engineering-Alptraum

Mehr

Kapitel 3: Untere Schranken für algorithmische Probleme Gliederung

Kapitel 3: Untere Schranken für algorithmische Probleme Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen 3. Untere Schranken für algorithmische Probleme 4. Sortier- und Selektionsverfahren 5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 6. Ausgewählte

Mehr

M. Anderegg, E. Müller Graphentheorie

M. Anderegg, E. Müller Graphentheorie Graphentheorie In den nächsten zwei Doppellektion lernen Sie ein Gebiet der Mathematik kennen, dass sich komplett von allem bisher Gehörten unterscheidet: Die Graphentheorie. Sie wurde vom Schweizer Mathematiker

Mehr

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

16. All Pairs Shortest Path (ASPS) . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik

Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme

Mehr

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E

Mehr

Very simple methods for all pairs network flow analysis

Very simple methods for all pairs network flow analysis Very simple methods for all pairs network flow analysis Tobias Ludes 02.07.07 Inhalt Einführung Algorithmen Modifikation der Gomory-Hu Methode Einführung Nach Gomory-Hu nur n-1 Netzwerk-Fluss- Berechnungen

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...)

Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...) Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...) Inhalt: Einleitung, Begriffe Baumtypen und deren Kodierung Binäre Bäume Mehrwegbäume Prüfer

Mehr

Universität Bremen. Graphenalgorithmen. Thomas Röfer. Begriffe Repräsentationen Kürzeste Wege Minimale spannende Bäume

Universität Bremen. Graphenalgorithmen. Thomas Röfer. Begriffe Repräsentationen Kürzeste Wege Minimale spannende Bäume Graphenalgorithmen Thomas Röfer Begriffe Repräsentationen Kürzeste Wege Minimale spannende Bäume Rückblick Geometrische Algorithmen Scan-Line-Prinzip Graham-Scan Divide and Conquer Voronoi-Diagramm Eigenschaften

Mehr

Graphen. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60)

Graphen. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60) Graphen Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60) Teil II: Graphen 1. Einführung 2. Wege und Kreise in Graphen, Bäume 3. Planare Graphen / Traveling Salesman Problem 4. Transportnetzwerke

Mehr

Prüfungsklausur Operations Research,

Prüfungsklausur Operations Research, HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 10.7.2008 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 : In drei Porzellanwerken W 1, W 2 und W 3 werden Speiseservice hergestellt,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Graphen - Einführung

Algorithmen und Datenstrukturen Graphen - Einführung Algorithmen und Datenstrukturen Graphen - Einführung Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Definition / Eigenschaften Anwendungen Repräsentation

Mehr

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Massive Parallelität : Neuronale Netze

Massive Parallelität : Neuronale Netze Massive Parallelität : Neuronale Netze PI2 Sommer-Semester 2005 Hans-Dieter Burkhard Massive Parallelität : Neuronale Netze Knoten: Neuronen Neuronen können erregt ( aktiviert ) sein Kanten: Übertragung

Mehr

Algorithmische Mathematik

Algorithmische Mathematik Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Binärbäume. Prof. Dr. E. Ehses, 2014 1

Binärbäume. Prof. Dr. E. Ehses, 2014 1 Binärbäume Grundbegriffe der Graphentheorie Bäume und Ihre Anwendungen Unterschiedliche Darstellungen von Bäumen und Binärbäumen Binärbäume in Java Rekursive Traversierung von Binärbäumen Ebenenweise Traversierung

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

Graphentheorie. Graphen sind Modelle für Netzwerke.

Graphentheorie. Graphen sind Modelle für Netzwerke. Graphentheorie GraphensindModellefürNetzwerke. HierhabeicheinekleineÜbersichtzusammengestellt,worumesbeidemThemageht. DieBeispielesindzunächstganzeinfachundkleingewählt.Mankannabergutsehen, wieschnelldieaufgaben

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume Minimal spannende Bäume Ronny Harbich 4. Mai 006 (geändert 19. August 006) Vorwort Ich danke Patrick Bahr und meinem Bruder Steffen Harbich für die Unterstützung bei dieser Arbeit. Sie haben sowohl zu

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Dynamische Programmierung Einführung Ablaufkoordination von Montagebändern Längste gemeinsame Teilsequenz Optimale

Mehr

Schulinterner Lehrplan für das Fach Informatik der Sekundarstufe II an der Bettine von Arnim Gesamtschule

Schulinterner Lehrplan für das Fach Informatik der Sekundarstufe II an der Bettine von Arnim Gesamtschule des Zweckverbandes Langenfeld / Hilden - Sekundarstufen I und II - B.V.A-Gesamtschule Hildener Str. 3 40764 Langenfeld 02173 / 9956-0 Fax 02173 / 9956-99 Email: mail@bva-gesamtschule.de Web: www.bva-gesamtschule.de

Mehr

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965).

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965). 5. Graphenprobleme Im folgenden bezeichnen G = (E, K) einen endlichen Graphen mit der Eckenmenge E und der Kantenmenge K. G kann ungerichtet, gerichtet, schlicht oder nicht schlicht sein. 5.1 Spannende

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Vorkurs Informatik WiSe 15/16

Vorkurs Informatik WiSe 15/16 Java 1 Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, 12.10.2015 Technische Universität Braunschweig, IPS Überblick Organisatorisches Arbeitsablauf Hello! 12.10.2015 Dr. Werner Struckmann / Stephan

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63 Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders

Mehr

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche

Mehr

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Bäume 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Inhalt Grundbegriffe: Baum, Binärbaum Binäre Suchbäume (Definition) Typische Aufgaben Suchaufwand Löschen allgemein, Methode Schlüsseltransfer

Mehr

Was bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone

Was bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone Was bisher geschah Motivation, Beispiele geometrische Objekte im R 2 : Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon, ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen) maschinelle Repräsentation geometrischer

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Entwurf und Umsetzung eines Werkzeugs für die Fluchtwegplanung

Entwurf und Umsetzung eines Werkzeugs für die Fluchtwegplanung Entwurf und Umsetzung eines Werkzeugs für die Fluchtwegplanung Diplomarbeit Christian Weiprecht Bauhaus-Universität Weimar Fakultät Bauingenieurwesen Professur CAD in der Bauinformatik Inhaltsübersicht

Mehr