Vorkurs Informatik SoSe 14 Algorithmen 2

Transkript

1 Platzhalter für Bild, Bild auf Titelfolie hinter das Logo einsetzen Vorkurs Informatik SoSe 14 Algorithmen Dr. Werner Struckmann / Markus Reschke Stark angelehnt an "Abenteuer Informatik" von Jens Gallenbacher 1. April 21 Referent Kurztitel der Präsentation (bitte im Master einfügen) Seite 1

2 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 2

3 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Eine Möglichkeit: Alle Weg durchprobieren Kürzesten Weg wählen Bei Computern heißt dieser Ansatz Brute-Force : Rechner haben keine Intelligenz Müssen alle Möglichkeiten durchprobieren Menschen können absurde und unwahrscheinliche Möglichkeiten verwerfen Hier schon viele Möglichkeiten, man denke an Karten mit 1 Städten Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 3

4 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 4

5 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? In zur Verfügung stehender Informationen stecken sowohl relevante als auch unwesentliche Anteile. Durch Abstraktion reduzieren Sie die Informationen auf das für die aktuelle Problemlösung Wesentliche: Dadurch können Sie sich besser auf die Aufgabe konzentrieren Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 5

6 Vorüberlegungen Informationen der Karte Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 6

7 Vorüberlegungen Informationen der Karte Namen der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von nach Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 7

8 Vorüberlegungen Welche Informationen werden benötigt? Name der Städte WICHTIG! Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Position der Städte NICHT WICHTIG! Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Größe der Städte NICHT WICHTIG! Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Verlauf der Straßen NICHT WICHTIG! Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Länge der Straßen WICHTIG! Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Namen und Nummern der Straßen NICHT WICHTIG! Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Straßentyp NICHT WICHTIG! Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Straße führt von nach WICHTG! Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 8

9 Vorüberlegungen Abstrakte Form der Landkarte Karte wurde auf Basis der Tabelle neu gezeichnet. Die Städte wurden der Übersicht wegen durch deren Anfangsbuchstaben ersetzt. Jedoch noch Spezialitäten vorhanden: An vier Stellen kreuzen sich die Straßen, ohne Auf- und Abfahrten (Bogen) An drei Stellen schneiden sich die Straßen mit Auf- und Abfahrten (Punkt) Ein Problem sollte möglichst gleichförmig sein, um das Denken zu erleichtern Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 9

10 Vorüberlegungen Methode der Gleichformung Versuchen Sie, die verschiedenen Facetten eines Problems auf die gleichen Grundelemente zurückzuführen. Dadurch wird einerseits das Problem übersichtlicher und andererseits benötigt man weniger Lösungsansätze: Für gleichförmige Teilprobleme kann der gleiche Lösungsansatz verwendet werden Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 1

11 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 11

12 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Auf der Karte sind Städte als Kreise eingezeichnet. Hier kann man offenbar problemlos von einer Straße auf eine angrenzende Straße wechseln. Genau das soll auch an den mit einem Punkt gekennzeichneten Stellen möglich sein. Also tun wir einfach so, als wenn sich dort auch Städte befinden. Um eine Verwechselung mit den anderen Städten zu vermeiden, kennzeichnen wir sie mit X, Y und Z. An allen anderen Stellen ist ein Wechsel nicht möglich, daher kann auch die Kennzeichnung durch einen Bogen entfallen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 12

13 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Sehen wir uns noch einmal die Tabelle mit den ursprünglich vorhandenen Informationen an Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 13

14 Vorüberlegungen Welche Informationen werden benötigt? Name der Städte WICHTIG! Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Position der Städte NICHT WICHTIG! Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Größe der Städte NICHT WICHTIG! Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Verlauf der Straßen NICHT WICHTIG! Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Länge der Straßen WICHTIG! Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Namen und Nummern der Straßen NICHT WICHTIG! Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Straßentyp NICHT WICHTIG! Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Straße führt von nach WICHTG! Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 14

15 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Die Städte sind immer noch an ihrer geographischen Position eingezeichnet: Ballungszentren vorhanden Straßenführung wird unübersichtlich Wir haben die Position der Städte jedoch als irrelevant eingestuft: Karte kann daher entzerrt werden Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 15

16 Vorüberlegungen Entzerrte Landkarte Es wurde lediglich die Darstellung geändert. Die Verbindungen zwischen den Städten und deren Längenangaben bleiben unverändert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 16

17 Vorüberlegungen Lernen von der Natur Wie kommen wir denn nun zum kürzesten Weg von Imstadt nach Oppenheim? Der direkte Ansatz, alle vollständigen Wege zu betrachten, ist ja bereits gescheitert. Vielleicht können wir von der Natur lernen: Ein Stamm Ameisen hat auf der Suche nach Futter ein ähnliches Problem: Eine Kundschafterin findet ein großes Stück Fleisch. Welchen Weg sollen die Arbeiterinnen nehmen, um die Beute am schnellsten zu sichern? Setzen wir also den Stamm Ameisen auf unseren Ausgangspunkt Imstadt bzw. I: Fünf Wege führen von dort weg, also teilen sich unzählige Ameisen auf, um diese zu erkunden Wir nehmen an, dass alle Ameisen gleich schnell sind: Gedopt schaffen sie einen km pro Minute Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 17

18 Das Ameisen-Prinzip Der Aufbruch Auf der Landkarte verfolgen wir den Weg der Ameisen: Nach 34 Minuten haben sie B erreicht. Was haben wir dadurch gelernt? Um von I nach B zu kommen, gibt es garantiert keinen günstigeren Weg als den mit 34 km. Denn die Ameisen haben ja sämtliche bisher für sie möglichen Wege ausprobiert und sind nach 34 km zuerst bei B angekommen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 18

19 Das Ameisen-Prinzip Die Erkundung geht weiter Wie geht es jetzt weiter? Die Ameisen, die bisher nirgendwo angekommen sind, setzen ihren Weg fort. Die Ameisen bei B teilen sich erneut auf: wieder sind fünf Wege möglich. Den Erfolg dokumentieren sie, indem sie den bisherigen Weg markieren und die Entfernung notieren Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 19

20 Das Ameisen-Prinzip Ameisen auf Kollisionskurs Nach 4 Minuten kommt ein Trupp bei C an: Sie sind die Ersten. Daher: Strecke markieren, Entfernung notieren und auf die weitern Wege aufteilen. In der 43. Minute kommt der Trupp auch als Erster bei M an: Somit stehen die kürzesten Strecken zu B, C und M fest. Die Ameisen sind sowohl von M als auch von C unterwegs und somit auf Kollisionskurs. Bringt ihnen das etwas für ihr Ziel, das Gelände zu erkunden? Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 2

21 Das Ameisen-Prinzip Erste Trupps kehren zurück Der Trupp von C weiß, dass dieses Ziel bereits erreicht ist, die kürzeste Strecke also schon feststeht. Der Trupp von M weiß das Gleiche von seinem Ausgangspunkt zu berichten: Also wird die Strecke als unbrauchbar markiert. Die Ameisen können zurück zu ihrem Stamm, da es sinnlos wäre noch weiter zu marschieren Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 21

22 Das Ameisen-Prinzip Und es geht weiter Als nächstes kommen zwei Trupps gleichzeitig an: In der 55. Minute erreichen sie P und X: Wieder teilen sie sich auf. Von X gibt es nur einen Erfolg versprechenden Weg. Bei den anderen Treffen sie recht schnell auf Kameraden. Die von P ausgehenden Strecken sind alle noch nicht als unbrauchbar markiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 22

23 Das Ameisen-Prinzip Idee Statt immer nur einen Weg auszuprobieren und wieder zu verwerfen, wenn sich ein besserer gefunden hat, erkunden die Ameisen gleichzeitig alle sich bietenden Möglichkeiten. Kommen sie bei einer Stadt als Erste an, wissen sie, dass der genommene Weg der kürzeste ist, denn sonst wäre ja schon ein anderer Trupp da. Treffen die Ameisen irgendwo auf Artgenossen, wissen sie, dass ihre Reise zu Ende ist. Andere haben also das Ziel früher erreicht. Am Ende des Verfahrens erhalten wir die folgende Karte Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 23

24 Das Ameisen-Prinzip Die vollständig erschlossene Karte Was für Informationen haben wir dadurch eigentlich gewonnen? Um von Imstadt zu einem beliebigen anderen Ort zu kommen, folgen sie dem Pfad der Ameisen. Von Imstadt nach Oppenheim kommt man so am günstigsten über Pappstadt, Krupsing und Flughafen (123km). Es wurde nicht nur die ursprüngliche Aufgabe gelöst, sondern auch die kürzesten Wege von Imstadt zu allen anderen Städten ermittelt Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 24

25 Das Ameisen-Prinzip Zusammenfassung Warum ist das Ameisen-Prinzip für einen Informatiker interessant? Es führt in absehbarer Zeit zum Ziel. Da die Ameisen ständig in Bewegung sind und keine Wege doppelt gehen, müssen sie recht bald alle Wege erkundet haben (maximal nach der Zeit, die dem kürzesten Weg zur am weitesten entfernten Stadt entspricht) Es werden immer wieder die gleichen, sehr einfachen Anweisungen benutzt, um die Ameisen zu steuern: 1. Teile den Trupp auf und folge allen Routen 2. Wenn ein Ort erreicht wird: günstigste Strecke dorthin gefunden, weiter bei Wenn man einem anderen Trupp begegnet: Strecke verwerfen. Ende Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 25

26 Das Ameisen-Prinzip Übertragung des Ameisen-Prinzips auf den Computer Wie könnten also unsere Routenplaner im Auto das Problem des kürzesten Weges lösen? Ein Simulieren der vorgestellten Vorgehensweise wäre gegenüber der BruteForce-Methode von Vorteil. Trotzdem ist der Informatiker hier gefragt, das gefundene Verfahren für den Computer zu optimieren. Überlegen Sie, welche Teile des Ameisenprinzips für die Problemlösung relevant sind Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 26

27 Der Dijkstra-Algorithmus Der erste Schritt Die Ameisen liefen in alle direkt erreichbaren Städte, um zu ermitteln, wie lange sie unterwegs sind: Ein Computer muss diese Zeiten nicht ermitteln. Er kennt sie bereits, da die Längen zwischen den Strecken an den Pfaden verzeichnet sind. Um die Entfernung zuordnen zu können, wird die dazugehörige Strecke markiert. Die Ameisen, die zuerst bei einer Stadt ankamen, markierten die Strecke als günstig und teilten sich auf: Der Computer muss nur die Stadt mit der kleinsten Zahl bestimmen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 27

28 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (1) In diesem Beispiel also B: Von B aus werden alle Entfernungen zu allen Nachbarn bestimmt. Über B wurden schon 34 km zurückgelegt, daher müssen diese dazu addiert werden. Bei H steht schon ein Wert. Von I direkt sind es 65, über B jedoch nur 64 km. Der Ameisen Trupp über B würde also zuerst ankommen. Daher gilt für das Dijkstra-Verfahren: Wenn die neue Zahl kleiner ist, wird die alte durch diese ersetzt und der Weg entsprechend markiert. Wenn die neue Zahl größer ist, passiert nichts Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 28

29 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (2) Wie geht es nun weiter? Prinzipiell wie am Anfang: Aus allen mit Zahlen markierten Städten, die noch nicht von Ameisen besucht wurden, wird die mit der kleinsten Zahl herausgesucht. Dort kommen die Ameisen als Nächstes an. In diesem Fall ist das C Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 29

30 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (3) Von C werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet: Nach M käme man in 71 km, nach X in 63 km. Beides wird jedoch von der bereits vorhandenen Zahl unterboten, also passiert nichts Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl wird gesucht Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 3

31 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (4) Jetzt also M: Es werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet. Hier zeigt sich, dass sowohl die Strecke zu A als auch zu X kürzer ist. Die alten Markierungen und Entfernungen werden gestrichen. Die neuen Wege und Entfernungen markiert bzw. notiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 31

32 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (5) Die Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt P: Es gibt Verbindungen zu H, K, F und O. Bei K, F und O wird jeweils wieder die Summe der Entfernungen notiert und die Strecke markiert. Bei H steht schon eine Entfernung kleiner der Summe von I zu P zu H. Daher passiert hier nichts Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 32

33 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (6) Nun ist X die Stadt mit der kleinsten Zahl: Wieder werden die Entfernungen zu den Nachbarstädten ermittelt. C und B sind bereits markiert, die kürzesten Wege dorthin sind also bereits gefunden. Strecke zu N wird markiert und die Entfernung notiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 33

34 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (7) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt H: Nachbarstädte I und P sind bereits markiert. Die Zahl an K ist kleiner als die Summe der Entfernungen von B aus. Die Strecken L und Z werden markiert und die Entfernung notiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 34

35 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (8) Jetzt folgt Y: Die Summe der Entfernungen zu L und Z sind kleiner als die bisherigen. Daher Streichung der bisherigen Markierungen und Zahlen. Neue Strecken werden markiert bzw. deren Entfernungen notiert. Da die bisherige Summe bei N kleiner ist, passiert hier nichts Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 35

36 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (9) Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist A: Die Nachbarstadt B ist schon markiert. Stadt D und N haben kleinere Zahlen, hier passiert nichts Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 36

37 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (1) Nun wird K markiert: Summe der Entfernungen über K zu F ist kleiner als die bisherige. Strecke zu F wird markiert und die neue Zahl notiert. Strecken zu den Nachbarstädten G und E werden markiert und deren Zahlen zugewiesen. Nachbarstadt Z hat schon eine Zahl kleiner der Summe der Entfernungen über K, daher passiert hier nichts Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 37

38 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (11) Jetzt ist N die Stadt mit der kleinsten Zahl: Nachbarstädte A und Y sind bereits markiert. Zahl von D ist kleiner als die Summe der Entfernungen über N Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 38

39 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (12) Als nächstes folgt Z: H und K sind schon markiert. Summe der Entfernungen über Z zu G ist jedoch kleiner als die bisherige. Strecke wird markiert und die neue Zahl notiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 39

40 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (13) Nun wird die Stadt D markiert: Nachbarstädte A und N sind bereits markiert. L hat eine kleinere Zahl als die von D aus berechnete Entfernung Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 4

41 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (14) Die nächste noch unmarkierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist L: Nachbarstädte D, H und Y sind bereits markiert. Summe der Entfernungen zu G ist jedoch größer als die bisher notierte Summe Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 41

42 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (15) Nun kommt F an die Reihe: Nachbarstadt P ist schon markiert. bei E ist die bisherige Summe kleiner. bei O ist die Summe der Entfernungen kleiner als die bisherige und wird daher ersetzt und die Strecke zu O markiert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 42

43 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (16) Jetzt ist E die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe: In diesem Schritt ändert sich nichts. F ist schon markiert. Summe der Entfernungen von G und O ist kleiner Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 43

44 Der Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (17) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe ist G: Alle Nachbarstädte sind schon markiert. Hier passiert nichts weiter Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 44

45 Der Dijkstra-Algorithmus Ende Die letzte unmarkierte Stadt ist O: Alle Nachbarstädte sind schon markiert Hier passiert also nichts mehr Und da es keine verbliebenen Städte mehr gibt, ist hier der Algorithmus zu Ende. Der kürzeste Weg von Imstadt nach Oppenheim führt also über Pappheim, Krupsing und Flughafen und ist 123 km lang Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 45

46 Der Dijkstra-Algorithmus Edsger Wybe Dijkstra Geboren 193 in Rotterdam Professor an der Universität in Eindhoven Vorstellung des Algorithmus zur Berechnung des kürzesten Weges in einem Graphen im Jahr 1959 Wechsel an die Universität von Texas im Jahr 1984 Beitrag zur Einführung der strukturierten Programmierung Erhielt den Turing-Preis 1972 Verstarb 22 in seiner Heimat Nuenen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 46

47 Der Dijkstra-Algorithmus Der Algorithmus Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 47

48 Die Schilda-Rallye Der Stadtplan von Schilda Der Stadtrat hat vor kurzem beschlossen, alle Straßen zu Einbahnstraßen zu machen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 48

49 Die Schilda-Rallye Problemstellung Die Fahrzeuge von Schilda-Taxi warten auf den Hotels Adler und Gozo sowie auf dem Parkplatz der Pension Kapitol: Aufgrund der neuen Verkehrsführung benötigen die Fahrer einen Plan, wie sie auf dem kürzesten Weg von ihrem Standort zu allen anderen Hotels kommen. Eine Entfernungstabelle ist auch zur Berechnung der neuen Tarife notwendig Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 49

50 Die Schilda-Rallye Markierung aller Straßenkreuzungen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 5

51 Die Schilda-Rallye Der abstrakte Stadtplan Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 51

52 Die Schilda-Rallye Der erste Schritt Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 52

53 Die Schilda-Rallye Fortsetzung (1) Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 53

75 Die Schilda-Rallye Ende Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 75

76 Die Schilda-Rallye Entfernungstabelle Hotel Entfernung (km) Adler, Bogart 11,5 Club 9,7 Doge 8,1 Emilio 3,7 Fromm 6,5 Gozo 6,2 Holunder 7,6 Iliona 11,4 Jorge 9,8 Kapitol 1,7 Lundt 7, Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 76

77 Was steckt dahinter? Einleitung Die besprochenen Probleme gehören in das Umfeld der so genannten Graphenalgorithmen. Ein Graph besteht hierbei aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten, die zwischen den Knoten verlaufen. Die Knoten werden oft als Kringel und die Kanten als Linien oder Pfeile dazwischen dargestellt. Man unterscheidet ungerichtete Graphen (ohne Pfeil), bei denen die Verbindung zweier Konten in beide Richtungen geht und gerichtete Graphen (mit Pfeil). Wozu ist aber ein Graph gut? Wie andere Modelle in der Informatik kann er ein Ausschnitt der Wirklichkeit modellieren, um diese einfacher zu verstehen und zu analysieren Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 77

78 Was steckt dahinter? Anforderungen an Algorithmen Aufgrund der vielfältigen Anwendungen gibt es auch eine Menge von Algorithmen auf Graphen. Der Dijkstra-Algorithmus ist hier ein sehr bekannter Vertreter. Was zeichnet einen guten Algorithmus aus? Er muss zuerst einmal die gestellte Aufgabe lösen. Wichtiges Kriterium ist außerdem, dass dieser die Aufgabe möglichst schnell löst und auch bei großen Problemen nicht in die Knie geht Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 78

79 Was steckt dahinter? Berechnung des Zeitbedarfs Wir betrachten wie stark der Zeitbedarf mit der Problemgröße ansteigt. Am Beispiel der Landkarte kann dies sehr gut demonstriert werden. Eine Problemgröße ist zum Beispiel die Anzahl der Städte auf der Landkarte. Betrachten wir jetzt noch einmal den Brute-Force-Ansatz zur Bestimmung des kürzesten Weges: Bestimme alle möglichen Wege vom Start zum Ziel und suche davon den kürzesten Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 79

80 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Im schlechtesten Fall müssen also alle von einem Punkt ausgehenden Wege bestimmt werden. Außerdem sind im schlechtesten Fall alle Knoten mit allen anderen Knoten verbunden (vollständiger Graph). Für drei Knoten ist es noch kein Problem, die Anzahl möglicher Wege vom Startpunkt S aus zu bestimmen Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 8

81 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Mit jedem zusätzlichen Knoten steigt die Anzahl der möglichen Wege stark an. Zeichnerisch die Lösung zu bestimmen ist dann nicht mehr praktikabel. Man kann die Anzahl der Knoten auch rechnerisch bestimmen. Für den Graphen mit vier Knoten gilt, dass man ihn aus zwei Komponenten zusammensetzen kann: ein einzelner Knoten S plus ein Graph mit drei Knoten. Da der bekannte Graph drei Knoten besitzt, kann vom neuen Knoten S auf drei Arten ein Weg zum bekannten Graphen begonnen werden Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 81

82 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Im 3er Graphen wird dann auf die bereits ermittelte Weise ein Weg gesucht. Daher ist die Anzahl möglicher Wege im 4er-Graphen 3 * 2 = 6. Für einen 5er-Graphen gibt es vier Möglichkeiten, Wege vom neuen Knoten zum 4er-Graphen zu beginnen. Die Anzahl der Wege beträgt daher 4*6 = 24. Auf diese Weise kann man ableiten, dass in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (n-1)! verschiedene Wege von einem gesetzten Startpunkt ausgehen. Da für jeden der Wege n-1 Streckenabschnitte eingerechnet werden müssen, bedarf es für die Brute-Force-Methode ungefähr (n-1)(n-1)! Berechnungen, um den kürzesten Weg zu finden Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 82

83 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode # Knoten Schritte Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 83

84 Was steckt dahinter? Beispiel: Brute-Force-Methode Für 1 Knoten sind im schlimmsten Fall bereits Berechnungen nötig. Wenn auch nur alle Gemeinden Deutschlands als Knoten in die Suche einbezogen werden, sind 9,88 * Berechnungen nötig Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 84

85 Darstellung von Graphen Überlegung Computer kennt keine graphische Darstellung Insbesondere keine Kanten und Knoten Abstraktion notwendig Überführung der graphischen Darstellung in eine Datenstruktur Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 85

86 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Idee für ungerichtete Graphen: Sei n die Anzahl der Knoten. Benutze eine n x n Matrix. Wenn eine Kante zwischen Knoten a und b existiert, dann trage in Zeile a und Spalte b eine 1 ein, andernfalls eine. Verfahre ebenso mit Zeile b und Spalte a Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 86

87 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für ungerichteten Graphen mit Gewichten: Symmetrie bleibt erhalten. Anstelle von einer 1 trage das Kantengewicht ein Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 87

88 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für gerichteten Graphen mit Gewichten: Keine Symmetrie mehr Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 88

89 Darstellung von Graphen Adjazenzliste Anstatt einer Matrix wird eine verkettete Liste benutzt. Besonders geeignet für gerichtete Graphen Die Basisstruktur bildet die Liste aller Knoten. Für jeden Knoten wird eine Liste der Nachfolger entlang gerichteter Kanten abgespeichert Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 89

90 Darstellung von Graphen Inzidenzmatrix Anstatt Verbindungen von Knoten zu Knoten darzustellen, wird hier die Nachbarschaft der Kanten zu den Knoten dargestellt. Jede Spalte enthält 2 von Null verschiedene Einträge e1 e2 e3 e4 e5 e6 e Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 9

91 Zusammenfassung Datenstrukturen Listen Array's (zusammenhängender Speicher) n (doppelt) Verkettete Listen Stapel Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite

92 Zusammenfassung Datenstrukturen Graphen Bäume Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite

93 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Vorkurs Informatik Algorithmen 2 Seite 93