5 Der quantenmechanische Hilbertraum

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1 5 Der quantenmechanische Hilbertraum 5.1 Die Wellenfunktion eines Teilchens Der Bewegungs- Zustand eines Teilchens Elektrons zu einem Zeitpunkt t, in der klassischen Mechanik das Wertepaar r,p von Ort und Impuls des Teilchens, wird in der Quantenmechanik beschrieben durch eine Wellenfunktion ψ : R 3 C, r ψr. 122 Diese muß quadratintegrabel sein, d 3 r ψr 2 < +, und wird gegebenenfalls durch Einführung eines geeigneten Vorfaktors auf eins normiert, d 3 r ψr Wie der klassische Zustand r,p, so variiert auch der Quantenzustand ψr im allg. mit der Zeit t Abschnit Dies führt auf eine kontinuierliche Schar ψ t r von Wellenfunktionen. Nicht zuletzt im Hinblick auf die Spezielle Relativitätstheorie ist es sinnvoll, den Scharparameter t als gleichberechtigte Variable neben r anzusehen, ψ t r ψr, t Wahrscheinlichkeits-Interpretation In dem durch eine Wellenfunktion ψr beschriebenen Quantenzustand ist der Ort r des Teilchens nicht scharf bestimmt. Die nicht-negative Funktion ρr : ψr 2 ist dabei die W keitsdichte seines Ortsvektors r. Die W keit, das Teilchen nach Ortsmessung in einem beliebig vorgegebenen Volumenbereich Ω zu finden, ist also gegeben durch das Integral p Ω Ω d 3 r ψr Bsp. 1: Mit r : r und einer beliebigen Konstante a gilt d 3 r e r/a dr 4πr 2 e r/a 4πa 3 du u 2 e u 8πa Daher ist eine korrekt normierte Wellenfunktion etwa gegeben durch ψ a r e r/2a 8πa

2 Die W keitsdichte ρ a r ψ a r 2 hat die Eigenschaft a ρa r { r, r. 127 Andererseits gilt d 3 rρ a r 1, für beliebiges a >. Daraus folgern wir, daß für jede beliebige Funktion fr gelten muß, a d 3 r ρ a r r fr fr. 128 Der Grenzwert 127 ist also eine Darstellung der Diracschen Deltafunktion, a ρa r δr Vektorraum Während in der klassischen Mechanik die Gesamtheit aller möglichen Zustände r, p eines Teilchens den 6-dimensionalen Phasenraum bidet, sind die Elemente des quantenmechanischen Zustandsraumes H die quadratintegrablen Funktionen ψ : R n C. Es gilt also H F, wobei F die Menge aller beliebigen Funktionen ψ : R n C bezeichnet. Mit beliebigen ψ 1, ψ 2 H und λ 1, λ 2 C ist stets auch die Linearkombination ψr λ 1 ψ 1 r + λ 2 ψ 2 r 13 eine quadratintegrable Funktion. Dies folgt aus ψr λ 1 ψ 1 r + λ 2 ψ 2 r und also ψr 2 λ 1 2 ψ 1 r 2 + λ 2 2 ψ 2 r Daher bildet H einen abstrakten Vektorraum über dem Körper C. Die übrigen Kriterien lassen sich leicht nachprüfen. Die Dimension dieses Vektorraums ist allerdings! Um dies einzusehen, betrachten wir die quadratintegrablen Funktionen ψ a n r : rn e r/2a n 1, 2, 3,..., d 3 r ψ a n r 2 dr 4πr 2 r 2n e r/a 4πa 2n+3 du u 2n+2 e u 4πa 2n+3 2n + 2!

3 Das Funktionensystem {ψ a 1,..., ψ a N } ist für beliebig großes N N linear unabhängig, denn die Nulldarstellung λ 1 ψ a 1 r λ N ψ a N r N ist nur mit den trivialen Koeffizienten λ 1... λ N möglich. n1 λ n r n e r/2a Wellenfunktionen als Einheitsvektoren Wie wir in Abschnitt sehen werden, ist in H durch die Vorschrift ψ 1 ψ 2 : d 3 rψ 1rψ 2 r 134 ein Skalarprodukt erklärt vgl. Abschnitt Die Normierungsbedingung 123, d 3 r ψr 2 1 ψ ψ 1, 135 bedeutet also, daß nur Vektoren ψ der Länge 1 eine Rolle spielen. Die Dynamik eines Quantenteilchens spielt sich gewissermaßen auf der -dimensionalen Oberfläche der Einheitskugel im Raum H ab. Wir wollen diese Aussage präzisieren Dynamik In der klassischen Mechanik wird die zeitliche Entwicklung rt, pt des Zustands r, p eines Teilchens durch eine DGl Bewegungsgleichung bestimmt, die von erster Ordnung in der Zeit t ist. Fassen wir r,p als 6-komponentigen Spaltenvektor ξ auf, 1 so kann diese Gleichung geschrieben werden in der Form d r dt p p Hr,p r Hr,p, 136 mit der Hamilton-Funktion Hr,p des Teilchens. Ist diese bekannt, so wird ξt für alle t > t eindeutig durch ξt vorherbestimmt, da Gl. 136 von erster Ordnung in t ist Determinismus. 1 Hier ist D Ph 6 die Dimension des Phasenraums. Allgemein ist D Ph 2ND, wobei N die Anzahl der Teilchen des Systems hier: N 1 und D seine räumliche Dimension hier: D 3 ist. 25

4 Bsp. 2: Beim harmonischen Oszillator mit D 1 also D Ph 2 gilt Hx, p p2 2m + mω2 2 x Daher lautet Gl. 136 in diesem Fall d xt dt pt ẋt ṗt 1 pt m mω 2 xt, 138 Die durch die Anfangsbedingung {x x, p p } eindeutig bestimmte Lösung ist xt pt x cosωt + p mω sinωt p cosωt mωx sinωt. 139 Auch in der Quantenmechanik wird die zeitliche Entwicklung ψr, t des Zustands eines Teilchens durch seinen Zustand ψr, zur Zeit t eindeutig vorherbestimmt sofern das System nicht von außen gestört wird. Entsprechend genügt ψr, t einer partiellen DGl von erster Ordnung in der Zeit t, der sog. Schrödinger-Gleichung, i h ψr, t Ĥψr, t D t Der Hamilton-Operator Ĥ ist allgemein ein hermitescher linearer Operator Kapitel 7, der aus der klassischen Hamiltonfunktion Hr,p des jeweiligen Systems abgeleitet wird. Dazu werden die drei klassischen Variablem p x, p y, p z in Hr,p p2 +V r ersetzt durch 2m die drei Komponenten ˆp x, ˆp y, ˆp z des quantenmechanischen Impulsoperators ˆp, ˆp : ˆp x ˆp y ˆp z i h x i h y i h z ˆp 2 : ˆp 2 x+ˆp 2 y+ˆp 2 z h2 2m 2 x y z Bsp. 3a: Im Fall des harmonischen Oszillators mit D 1 gilt 2 Ĥ h2 2m x + mω2 2 2 x2 142 und die Schrödinger-Gleichung 14 lautet explizit i h h2 2 ψx, t ψx, t + mω2 t 2m x 2 2 x2 ψx, t

5 Man kann zeigen, daß die partielle DGl 14 zu jeder Anfangsbedingung ψr, t ψ r, 144 t mit beliebig vorgegebener Funktion ψ r, eine eindeutig bestimmte Lösung ψr, t hat. Bsp. 3b: Die Schrödinger-Gleichung 143 hat zur speziellen Anfangsbedingung /2a 2 h ψ x e x2 a π, a : mω 145 die eindeutige Lösung ψx, t ψ x e iωt/ Es handelt sich um den speziellen Fall einer stationären Lösung, denn wegen e iωt/2 1 ist die W keitsdichte ρx, t : ψx, t 2 ψ x 2 zeitlich konstant. Die Hermitezität von Ĥ garantiert, daß sich bei der zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion ψr, t gemäß Gl. 14 deren Norm nicht ändert, d 3 r ψr, t 2. Bsp. 3c: Im Fall des harmonischen Oszillators mit D 1 haben wir i h d dt [ ψ x, tψx, t ] dx ψx, t 2 dx i h t dx [ i h ψ ] ψ + }{{ t} Für x ± muß gelten: ψ ψ x i h d dt Ĥψ + h2 dx 2 ψ 2m x ψ h2 2 2m d dt dxψ [ i h ψ ] }{{ t} Ĥψ dxψ 2 ψ x Daher liefert partielle Integration schließlich dx ψx, t 2 h2 dx ψ ψ 2m x x + h2 dx ψ ψ 2m x x