Einführung in die Theoretische Physik

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1 Einführung in die Theoretische Physik Priv.-Doz. Dr. Reinhard Mahnke Lehrveranstaltung Nr (4 SWS V + 2 SWS Ü) Dienstag bis Uhr, Seminarraum Donnerstag 7.30 bis 9.00 Uhr, Seminarraum Freitag 9.15 bis Uhr, Seminarraum Institut für Physik, Wismarsche Str. 44 Sommersemester 2011 Zum Inhalt der Lehrveranstaltung: 1. Einleitung (15. KW, R. Mahnke) Vorstellung des Themenprogramms (Mechanik, Elektrodynamik, nichtlineare dynamische Prozesse). Hinweis auf das Buch From Newton to Mandelbrot von D. Stauffer und H. E. Standley. Buch Newtonsche Bewegungsgleichung (1dim) plus Anfangsbedingungen. Aufgabe 1 : Das Kettenkarussell: Dynamik einer Masse unter Einfluss von Schwerkraft und Rotation. Siehe Abb. 1 1

2 Abb. 1: Modell eines Kettenkarussells mit Schwerkraft und Rotationskraft. 2. Kettenkarussell I (16. KW, R. Mahnke) Bestimmung der resultierenden Kraft aus Komponenten der Schwerkraft und Rotationskraft. Ermittlung der potentiellen Energie (Potential) aus der Gesamtkraft einschliesslich Normierung. Diskussion des Potentials (Doppelmulde, Einfachmulde, Gleichgewichtszustände, Stabilität), siehe Abbildungen 2 und 3. Nach Wiederholung der Newtonschen Gleichung wird die Anwendung auf die Planetenbewegung diskutiert. Der Begriff des Phasenraums wird eingeführt. Trajektorien (Bahnkurven) werden im Phasenraum dargestellt. Abschliessend stehen die Erhaltungssätze der Mechanik (Impuls, Drehimpuls, Energie) im Mittelpunkt. 2

3 2 1.5 Ω=0.0, A=0.0 Ω=0.8, A=0.0 Ω=2.0, A=0.0 V (α) α Abb. 2: Potential des Kettenkarussells ohne Ausleger. V (α) Ω=0.1, A=0.3 Ω=1.0, A=0.3 Ω=2.0, A= α Abb. 3: Potential des Kettenkarussells mit Ausleger. 3

4 3. Kettenkarussell II (17. KW, R. Mahnke) Hausaufgabe zum Ermitteln Sie die Phasenraumporträts des konservativen Kettenkarussells ohne Ausleger (A = 0) und mit einem Auslegerarm der Länge A = 0.3. Wählen Sie unterschiedliche Anfangsbedingungen. Die kinetische und potentielle Energien lauten (bekanntermaßen) beim Kettenkarussell p 2 α T = ml 2 ω0 2 1, (1) 2 m 2 l 4 ω0 [ 2 V = ml 2 ω0 2 (1 cos α) Ω (A + 12 ) ] sin α sin α. (2) In dimensionsloser Schreibweise gilt analog T ml 2 ω0 2 V ml 2 ω0 2 = 1 ( ) 2 pα, (3) 2 ml 2 ω [ 0 = (1 cos α) Ω (A + 12 ) ] sin α sin α. (4) Unter Verwendung des Energieerhaltungssatzes (konservatives System T + V = E) folgt die Phasenraumtrajektorie p α = p α (α; E) als { [ p α E = ± 2 (1 cos α) Ω (A + 12 ) ]} ml 2 ω 0 ml 2 ω sin α sin α 0 2 (5) mit Gesamtenergie E aus den Anfangsbedingungen α(t = 0); p α (t = 0) mittels E ml 2 ω 0 = 1 2 ( pα (0) ) 2 +[ (1 cos α(0)) Ω (A + 12 ) ] sin α(0) sin α(0). ml 2 ω 0 (6) Die folgenden Abbildungen zeigen Phasenraumporträts des konservativen Kettenkarussells bei ausgewählten Kontrollparametern, siehe Abbildungen 4 und 5. 4

5 p α E=-0.2 E=0.0 E= α Abb. 4: Phasenraumporträt des Kettenkarussells ohne Ausleger (A = 0) und Ω = 2. p α E=0.0 E=0.2 E= α Abb. 5: Phasenraumporträt des Kettenkarussells mit Ausleger A = 0.3 und Ω = 2. 5

6 4. Bahnkurve, Geschwindigkeit und Impuls (18. KW, M. Brics) Die Dynamik eines mechanischen Systems wird durch ihre Ortskurve (Bahnkurve, Trajektorie) r = r(t) beschrieben. Die Bewegung in einer Ebene ist zweidimensional und wird in kartesischen Koordinaten durch den Ortsvektor r(t) = (x(t), y(t), z = 0) und die Geschwindigkeit v(t) = d r(t)/ = (v x (t), v y (t), v z = 0) angegeben. e r sin(α) y e y e α α e α cos(α) e α e r e α er e y e x α r e α sin (α) x e x α e r cos(α) e r Abb. 6: Kartesische und Polar Koordinaten Transformation der Ortskoordinaten (siehe Abb. 6): x = r cos α y = r sin α r = x 2 + y 2 α = arctan (y/x) (7) Transformation der Geschwindigkeiten: dx dy = cos αdr = sin αdr r sin αdα + r cos αdα dr = cos αdx + sin αdy dα = 1 sin αdx r + 1 cos αdy r (8) Transformation der Impulse: p x = m dx p y = m dy p r = m dr p α = mr 2 dα (9) 6

7 5. Harmonischer Oszillator (18. KW, M. Brics) Model des Federschwingers, Hook sches Gesetz, Federkraft, Newton sche Bewegungsgleichung, Anfangsbedingungen, dynamisches System aus zwei gekoppelten Bewegungsgleichungen, verschiedene Lösungsmethoden (exp Ansatz, Eigenvektoren, Energieerhaltung). Ermittlung der zeitabhängigen Lösungen x = x(t) (Ort über Zeit) und v = v(t) (Geschwindigkeit über Zeit) des Federschwingers. Zuerst lineare Transformation der Ortskoordinate zur Verschiebung des Koordinatenursprungs. Verschiedene Lösungsmethoden: 1.) Anwendung der Energieerhaltung 2.) Anwendung des Ansatzes exp(λt) 3.) Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen Die mathematische Form der Lösungen ist unterschiedlich. Sie können aber ineinander überführt werden. Es gibt nur eine physikalische Lösung des Federschwingers, aber verschiedene mathematische Schreibweisen. 6. Lagrange und Hamilton Formalismus (19. KW, R. Mahnke) Einführung von generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten im Rahmen des Lagrange Formulismus; Definition der Lagrange Funktion und korrespondierender Bewegungsgleichung (Lagrange Gleichung 2. Art). Einführung von generalisierten Koordinaten und Impulsen (mittels erster Ableitung) im Rahmen des Hamilton Formulismus; Definition der Hamilton Funktion und korrespondierender Hamiltonscher Bewegungsgleichungen (kanonische Gleichungen). Diskussion von Beispielen (harmonischer Oszillator, Kettenkarussell). 7. Mathematisches Pendel (20. KW, R. Mahnke) Modellbildung, Dynamik einer Masse an einem Faden unter Einfluss der Schwerkraft. Newton Formalismus, Tangentialkraft, dynamisches System. Hamilton Formalismus, kanonische Bewegungsgleichungen, Energieerhaltung. Diskussion des Phasenraumporträts (Ruhelage, Schwingungsregime, Separatrix (Grenzkurve), Rotationsregime). Integration der Bewegungsgleichung unter Verwendung der Energieerhaltung zur Bestimmung α = α(t). Es gibt eine spezielle Situation (Grenzfall): Bewegung auf der Separatrix. 7

8 Abb. 7: Modell eines Mathematischen Pendels im Lagrange- und Hamilton- Formalismus mit Hamilton-Funktion und Bewegungsgleichungen. 8

9 Abb. 8: Mathematischen Pendel im Hamilton-Formalismus: Bestimmung des Drehimpulses unter Ausnutzung der Energieerhaltung. 9

10 Abb. 9: Mathematischen Pendel im Hamilton-Formalismus: Bewegung α sx = α sx (t) entlang der Separatrix sx. 10

11 8. Vorstellung der Themen für die Projektwoche ( , R. Mahnke) Konservative Systeme (Hamiltonsche Systeme: Mathematisches Pendel, Federschwinger) im Vergleich zu dissipativen mit (passiver und aktiver) Reibung. 1. Freier Fall mit Reibung (1dim) = Matthias Schönbeck Bewegung im Schwerefeld der Erde unter Einfluss von Stokescher Reibung (linear zur Geschwindigkeit) 2. Reibung im zähen Medium (1dim) = Tim Meyer Bewegung unter Einfluss von Newtonscher Reibung (quadratisch zur Geschwindigkeit) 3. Gekoppeltes dynamisches System (2dim) = Oliver Schade dx = x + y (10) dy = x y (11) Lösung mittels Transformation in Polarkoordinaten 4. Räuber Beute System (2dim) = Matthias Kapell dx = k 1Ax k 12 xy (12) dy = k 21xy k 2 y (13) Analyse der Dynamik mittels Zustandsraumtopologie 5. Zentralkörperproblem in Hamiltonscher Formulierung = Nadine Weinberg Bewegung der Erde um die Sonne (ebene Bewegung, Ellipse) unter Einfluss der Gravitationskraft; zwei Erhaltungssätze (Energie, Drehimpuls) 6. Automobildynamik (1dim) = Rayk Wilhelm Bewegung eines fahrenden Autos (auf freier Strecke) bzw. Abbremsen vor einem Hindernis 11

12 Hinweis zur Automobildynamik (N-dim) Gegeben sei ein System von N Auto-Teilchen auf einem Kreis der Länge L, d. h. es gelte x i [0, L), i = 1,..., N für ihre Orte. Die Bewegungsgleichungen seien dann gegeben durch wobei m dv i dx i = F kons ( x i ) + F diss (v i ), = v i, F kons ( x i ) = m τ (v opt( x i ) v max ) 0 mit v opt ( x i ) = v max ( x i ) 2 D 2 + ( x i ) 2, F diss (v i ) = m τ (v max v i ) 0 und die Abstände x i zwischen den Autos zyklisch gegeben sind durch i = 1,..., N 1 : x i = x i+1 x i und x N = x 1 x N. Die deterministische Bewegung wird durch Schwankungen (Fluktuationen) gestört. Überwiegen die zufälligen Ereignisse wird die Bewegung stochastisch (Physik stochastischer Prozesse). 7. Zufallswanderer (1dim) = Paul Blank Münzwurf bzw. drunken sailor, Galton Brett, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Pascalsches Dreieck, diskrete Bewegungsgleichung 8. Diffusion als zufälliger Prozess (1dim) = Sebastian Rißer Original Arbeit von Albert Einstein 1905 (Annalen der Physik) lesen, Diffusionsgleichung als kontinuierliche Bewegungsgleichung und deren Lösung, zeitliche Entwicklung des Dichteprofils, Mittelwert und Schwankung Rein deterministische Prozesse erscheinen unvorhersehbar, wenn die (nichtlineare) Dynamik eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingen aufweist. Dieses sog. deterministische Chaos kann schon mittels einfacher Iterationsgleichungen erzeugt werden. 12

13 9. Diskrete Abbildung = Nils Grzech Untersuchen Sie mit Hilfe numerischer und analytischer Methoden die bekannte nichtlineare diskrete Abbildung (logistische Gleichung) x n+1 = rx n (1 x n ) mit n = 0, 1, 2,... für den Kontrollparameterbereich 0 < r 4 und Anfangswerte aus dem Einheitsintervall 0 x 0 1. Hinweis: Feigenbaumdiagramm 10. Kettenkarussell mit äußerer Anregung = Felix Engel Diskutieren Sie die gedämpfte Bewegung im Doppelmuldenpotential V (q) = q 2 /2 + q 4 /4 (auch den ungedämpften Grenzfall). Vergleichen Sie mit dem Potential beim Kettenkarussell. Füge eine äußere Anregungskraft dem System hinzu (z. B. eine periodische Kraft mit der Anregungsfrequenz ω A ). Wie verändert sich die deterministische Dynamik? Hinweis: deterministisches Chaos Bearbeitung der o. g. Projektaufgaben 1-10 mit dem Ziel einer schriftlichen physikalischen (inkl. mathematischen) Analyse (Ausarbeitung) und einem mündlichen Vortrag (Präsentation). Abgabe der Ausarbeitung am Ende der Projektwoche (bis zum 18. Juni 2011) Präsentationen (10-15 Minuten) in der 25. und 26. Kalenderwoche 13

14 9. Verhulst Gleichung (21. KW, R. Mahnke) Abb. 10: Diskussion einer Wachstumsgleichung (Populationsdynamik). 14

15 Abb. 11: Intergration einer Wachstumsgleichung der Populationsdynamik (Verhulst-Kurve). 15

16 Hausaufgaben zur Verhulst Gleichung mit Lösungen: 1.) Diskutieren Sie für die Verhulst-Gleichung das Zustandsraumporträt P (Fixpunkte und ihre Stabilität). Resultat: P st1 = 0 instabiler Fixpunkt P st2 = K stabiler Fixpunkt 2.) Berechnen Sie den Zeitpunkt des maximalen Wachstums t max der Verhulst-Kurve. Resultat: t max = 1 ( ) K + r ln P0 P 0 3.) Es gilt die Verhulst-Gleichung dp/ = F (P ) mit der Kraft F (P ) = rp (1 P/K). Berechnen und zeichnen Sie das zur Kraft gehörende Potential V (P ) mit der Normierung V (P = 0) = 0. Diskutieren Sie nochmals das Zustandsraumporträt P im Zusammenhang mit Kraft F (P ) und Potential V (P ). Resultat: V (P ) = r 2 P 2 + r 3K P Elektrodynamik I (21. KW, R. Mahnke) Grundbegriffe der klassischen Elektrodynamik (u. a. skalare und vektorielle Feldfunktionen); wichtige Entwicklungsetappen (Coulomb, Oersted, Faraday, Maxwell); Symbole und SI Einheiten (m, kg, s, A, K, mol, cd); Punktladung; Coulomb Kraft zwischen zwei Punktladungen; Einführung von Ladung bzw. Ladungsdichte und Strom bzw. Stromdichtevektor; Ladungserhaltung als Zusammenhang zwischen zeitlicher Änderung der Ladungsdichte und Divergenz des Stromdichtevektors. 11. Elektrodynamik II (22. KW, R. Mahnke) Grundgleichungen der Elektrodynamik sind als Maxwell Gleichungen bekannt. Sie bestehen aus Quellen und Wirbelgleichungen für das elektrische und das magnetische Feld. Äquivalenz zwischen lokaler (bzw. differentialer) und globaler (bzw. integraler) Formulierung. Materialgleichungen als Zusatzbeziehungen. Ladungserhaltung (Kontinuitätsgleichung) wird durch die Maxwellgleichungen erfüllt. 12. Elektrodynamik III (23. KW, R. Mahnke) Stationäre Felder. Analyse von Spezialfällen: Elektrostatik und Magnetostatik. Die elektrostatischen Feldgleichungen führen unter Benutzung des elektrostatischen Potentials auf die Poisson Gleichung bzw. 16

17 auf die Laplace Gleichung im ladungsfreien Fall. Das Coulombsche Gesetz ist die Lösung des elekrischen Feldes im Aufpunkt bei Existenz einer Punktladung im Quellpunkt. Es gilt das Superpositionsprinzip bei einem System von N Punktladungen. 13. Projektwoche (24. KW, R. Mahnke) Abgabe der Projektresultate bis zum , 11 Uhr 1. Freier Fall mit Reibung (1dim) = Matthias Schönbeck Abgabe am ; Vortrag am geplant 2. Reibung im zähen Medium (1dim) = Tim Meyer Abgabe am ; Vortrag am geplant 3. Gekoppeltes lineares dynamisches System (2dim) = Oliver Schade Abgabe am elektronisch; Vortrag am geplant 4. Räuber Beute System (2dim) = Matthias Kapell Abgabe am ; Vortrag am geplant 5. Zentralkörperproblem in Hamiltonscher Formulierung = Nadine Weinberg Leider hat die Studentin kein Resultat vorgelegt. 6. Automobildynamik (1dim) = Rayk Wilhelm Abgabe am (nur erster Teil); Vortrag am geplant 7. Zufallswanderer (1dim) = Paul Blank Abgabe am ; Vortrag am geplant 8. Diffusion als zufälliger Prozess (1dim) = Sebastian Rißer Abgabe am (verspätet); Vortrag am geplant 9. Diskrete Abbildung = Nils Grzech Abgabe am elektronisch; Vortrag am geplant 10. Kettenkarussell mit äußerer Anregung = Felix Engel Abgabe am (verspätet); Vortrag am geplant 17

18 14. Elektrodynamik IV (25. KW, R. Mahnke) 1. Vortrag am : Oliver Schade Thema: Gekoppeltes lineares dynamisches System (2dim) Leistung zu 0 % erbracht (mathematische Rechungen fehlerhaft) Wiederholung geplant 2. Vortrag am : Matthias Kapell Thema: Räuber Beute System (2dim) Leistung zu 80 % erbracht (kleinere Fehler) Aufgabe zur Elektrostatik besprochen: Gegeben ist eine im Koordinatenpunkt ruhenden homogen geladenen Kugel. Das elektrostatische Potential und das elektrische Feld sind zu berechnen. 15. Numerische Lösungsmethoden (25. KW ( ), M. Brics) Numerische Lösung von Differentialgleichungen (Bewegungsgleichungen) mittels Diskretisierung der Zeit (Schrittweite). Aus der Differentialgleichung entsteht eine Differenzengleichung, und zwar mit Vorwärtsdifferenzenquotienten D + (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h bzw. Rückwärtsdifferenzenquotienten D (x 0 ) = f(x 0) f(x 0 h) h oder zentralen Differenzenquotienten, (14), (15) D(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 h) 2h. (16) Diese drei Finite Differenzen Methoden zeigen bei kleinen Schrittweiten gute Ergebniss. Die beste Näherung erhält man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten. An einfachen Beispielen (u. a. Wurf mit und ohne Reibung, siehe Abb. 12) ist die Genauigkeit dieser numerischen Näherungslösungen mit der analytischen Lösung verglichen worden. 18

19 2.5 2 mit Reibung ohne Reibung 1.5 y x Abb. 12: Veränderung der Wurfparabel unter Einfluß einer linear geschwindigkeitsabhängigen Reibung. 16. Quantenphysik (26. KW, R. Mahnke) 4 Vorträge am Vorträge am