Chaos Oder Mandelbrot und Peitsche

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1 Chaos Oder Mandelbrot und Peitsche Warum kann man das Wetter nicht genau vorhersagen? Du kennst sicher das Problem: du planst mit deiner Familie ein Picknick, dass in letzter Minute abgesagt werden muss, weil das Wetter nicht gut genug ist. Ein Woche vorher war an diesem Tag noch strahlender Sonneschein angesagt. Warum sind Wettervorhersagen so unzuverlässig? Die Menschen hatten immer schon ein Interesse daran zu wissen, wie das Wetter der nächsten Tag sein würde. Aber erst ab 1800 wurde Wettervorhersage im heutigen Sinne überhaupt möglich der Telegraf wurde erfunden. Erst mit dieser Erfindung, die es ermöglichte Nachrichten schnell über große Entfernungen zu transportieren, war es machbar Wetterdaten weiterzuleiten, die schneller waren als das Wetter selbst ankamen. Das wäre mit Briefen noch unmöglich gewesen. Während die Wetterforschung (Meteorologie) in den letzten zwei Jahrhunderten große Fortschritte gemacht hat, ist es uns immer noch nicht möglich zuverlässige Aussagen über das Wetter von nächster Woche zu machen. Ein Grund dafür ist sicher, dass das Wetter ein sehr kompliziertes System ist, auf das viele Faktoren einwirken. Das stimmt aber nur zum Teil. Es gibt nämlich Systeme, die sehr einfach aufgebaut sind. Trotzdem können wir ihr Verhalten nicht vorhersagen. Schülerversuch: Das Doppelpendel Lenke das Doppelpendel senkrecht nach oben aus und lass es los. Wie bewegt sich das Pendel? Versuche das Pendel dazu zu bringen immer genau die gleiche Bewegung zu durchlaufen, indem du es immer genau gleich auslenkst. Gelingt es?

2 Du wirst herausfinden, das es unmöglich ist, dass das Pendel noch einmal genau die Bewegung macht, die es davor gemacht hat, selbst wenn du das Pendel sehr sorgfältig immer vom gleichen Ausgangszustand fallen lässt. In der Physik nennt man das Chaos. Der Laplac`sche Dämon Pierre Simon Marqius de Laplace ( ), formulierte in einem Gedankenexperiment diesen Dämon und beschrieb ihn folgendermaßen: Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen. Pierre Simon Marquis de Laplace Also, es handelt sich hierbei um einen Dämon, der alles versteht und alle Naturgesetze kennt. Nachdem das Universum sich auch zeitlich verändert, geht es von einem Zustand in den nächsten über. Sollte zu einem einzigen Zeitpunkt jede Kraft kennt, die vorhanden ist, wäre er somit in der Lage, über das zukünftige Verhalten Auskunft zu geben. Dies ist aufgrund mehrerer Gründe nicht möglich, unter anderem durch: Zur Lösung des sogenannten Dreikörperproblems benötigt man Differentialgleichungssysteme, die sich nur selten analytisch lösen lassen. Dies wäre also eine mathematische Hürde für den Dämon. Relativistisch betrachtet ist es nicht möglich, dass Informationen mit einer Geschwindigkeit, die Größer als die Lichtgeschwindigkeit (C=3*10 8 m/s) ist transportiert werden. Da das Universum doch eine enorme Größe hat (Forscher Wissen selbst nicht genau wie groß) bräuchten die Informationen

3 so lange um zum Laplac`schen Dämon zu gelangen, bis die Information über die Zukunft nicht mehr wichtig wäre, da es sich bei der berechneten Zukunft mittlerweile über die Vergangenheit handelt. In der Quantenmechanik gibt es die sogenannten Heisenberg`schen Unschärferelationen. Sie wurde von Werner Heisenberg formuliert. Die Grundannahme ist: Es existieren komplementäre Größen. Wenn ich zwei solche von einem Quantenobjekt betrachte so werde ich nie beide gleich genau erhalten. Je genauer ich die eine Größe messe umso ungenauer, bzw. unschärfer wird die andere. Komplementäre Größen sind: Ort und Impuls, Zeit und Energie. Das heißt, dass es für den Dämon quantenmechanisch nicht möglich wäre, genaue Informationen über den Zustand jedes Teilchens zu erhalten. Gedankenexperiment - Diskurs in die Philosophie: Überlege dir, wie sich dein Leben bzw. das aller Menschen durch den Umstand verändern würde, wenn alles bekannt wäre, wenn wir über alle zukünftigen Ereignisse Bescheid wissen würden. Versuche eine Pro und Kontra Liste oder einen kurzen Aufsatz zu erstellen, in dem du diese Thematik diskutierst. Was ist Chaos? Es gibt verschiedene Bedeutungen des Begriffs Chaos. Man muss streng unterscheiden zwischen dem alltäglichen Begriff Chaos (z.b.: Chaos im Sinne von Unordnung, Unstrukturiertheit) und einem wissenschaftlichen Chaosbegriff. Wenn deine Mutter dir etwa sagt, dass du das Chaos in deinem Zimmer beseitigen sollst, oder der Lehrer meint du seist chaotisch, dann ist damit gemeint, dass jemand unordentlich ist bzw. Ordnung schaffen soll. In den Naturwissenschaften ist damit etwas anderes gemeint: nämlich, dass das Verhalten eines Systems nicht vorhersagbar ist. In der Physik betrachtet man daher das sogenannte deterministische Chaos.

4 Unter deterministischen Chaos versteht man Systeme deren zeitliche Entwicklung sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, wodurch ihr Verhalten für längere Zeitspannen unvorhersehbar ist. Die Physik die sich mit diesem Thema auseinandersetzt wird Chaosforschung genannt, in der rein mathematischen Betrachtungsweise spricht man jedoch von Chaostheorie. Die Geburtssunde des Chaos Im Jahre 1900 reichte ein Herr namens Henri Bèrnard seine Doktorarbeit ein, in der er gezielt Experimente zur Wärmeströmungen behandelte. Ein Wärmestrom (Q), durch eine Flüssigkeitsschicht lässt sich mit Hilfe des Temperaturunterschiedes ( T) zwischen oberer und unterer Platte und deren Abstand H einstellen, auf die Erdatmosphäre umegelegt, sorgt dieser Wärmestrom für die Abkühlung der Erde bei klarem Himmel. In dem sogenannten Raighley-Bèrnard Experiment erkannte man folgenden Zusammenhang: Eigenschaften chaotischer Systeme Chaotische Systeme haben ein paar Eigenheiten gemeinsam, die sich beschreiben lassen. Die in einem chaotischen System gemessene Größe 1. ist andauernd zeitlich veränderlich. 2. ist beschränkt. 3. wiederholt sich nicht periodisch. 4. hängt empfindlich vom Anfangszustand ab.

5 Was heißt das genau? Betrachten wir wieder unser Doppelpendel. Es verändert sich ständig, das heißt, es bleibt nie stehen. Das stimmt natürlich nicht ganz, weil wir nicht vergessen dürfen, dass wir durch Reibung Energie verlieren. Aber wäre unser Pendel reibungsfrei, würde es immer weiter schwingen und drehen. Obwohl es sich immer bewegt, vollführt es keine periodische Bewegung, wie etwa ein einfaches Pendel. Außerdem hat die Bewegung des Pendels klare Grenzen. Wer außerhalb dieser Reihweite steht ist sicher, wird niemals vom Pendel getroffen werden. Was du durch das Experiment mit dem Doppelpendel vielleicht schon bemerkt hast, ist, dass schon kleine Änderungen am Anfang große Änderungen in der Bewegung danach bewirken können. Wenn man ähnliche Anfangsbedingungen hat, wird sich das Pendel anfangs ähnlich bewegen aber bald unterscheiden sich die Bewegungen deutlich voneinander. Chaos erzeugende Gesetze Die Regeln, die für ein System gelten müssen, damit es chaotisches Verhalten aufweist, lauten: 1. Der Zustandsraum ist beschränkt. 2. Das Bewegungsgesetz ist nichtlinear. 3. Das Bewegungsgesetz ist intern expandierend. Das klingt jetzt schon sehr mathematisch, ist aber gar nicht so schwer zu verstehen. Der Zustandsraum ist die Menge aller Zustände, die ein dynamisches System einnehmen kann. Diese Menge der möglichen Zustände muss beschränkt sein, es kann also nur endlich viele geben. Ähnliches haben wir weiter oben schon mit Beschränktheit und Grenzen festgestellt. Das Bewegungsgesetz besteht aus einer oder mehreren Formeln, die nicht linear sein dürfen. Linearität bedeutet so viel wie doppelte Ursache erzeugt doppelte Wirkung oder noch einfacher: aus mehr wird mehr. Die Bewegunsggesetze chaotischer Systeme müssen aber gerade nichtlinear sein, das heißt das große

6 Ursachen auch kleine Wirkungen haben können und ebenso umgekehrt kleine Ursachen können große Wirkungen haben. Der Begriff intern expansiv, sagt im Wesentlichen nur, dass das zukünftige Verhalten eines Systems sich enorm empfindlich gegenüber den Anfangsbedingungen verhält. Schmetterlingseffekt Der Schmetterlingseffekt tritt in Systemen auf, die zeitlich veränderlich (also zeitabhängig) und nichtlinear sind. Was bedeutet nichtlinear? In der sogenannten Systemtheorie, welche ein Spezialgebiet der Mathematik darstellt, werden komplexe Phänomene anhand von unterschiedlichen Systemen erklärt. Wie bereits erwähnt, ist die Wettervorhersage ein gutes Beispiel dafür, es ist von vielen Variablen abhängig, aber anhand eines Systems kann man versuchen es zu beschreiben. Wenn in diesem aufgestellten System, welches im Normalfall aus mehreren Gleichungen besteht, Größen mit Potenzen Größer 1 (zum Beispiel hoch 2) auftreten, so handelt es sich um ein nichtlineares System. Aber was hat das jetzt mit Chaos zu tun? Wenn eine Größe mit einer Potenz größer Eins vorkommt, dann wirkt sie stark in das Ergebnis ein. Wenn ich die Zahl, dieser Größe um auch nur einen wenig verändere, kommt es zu einer stärkeren Veränderung des Ergebnisses, als wenn ich eine Zahl hoch Eins verändere. Gehen wir nun wieder zurück zu den Systemen. Ich will etwas über mein System wissen und setze in die Gleichungen ein und erhalte ein Ergebnis. Mache ich das selbe nochmals, nur mit leicht veränderten Werten, so werde ich ein anderes und je nach Potenz gravierend anders Ergebnis erhalten. Somit stellt sich die Frage, inwiefern etwas vorhersagbar ist? Der Name einer Präsentation im Jahr 1972, der Amerivan Association for Advancement of Science, verdeutlicht dies: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornardo in Texas auslösen? Diese enorme Empfindlichkeit einer zeitlichen Entwicklung eines Systems, wird auch Schmetterlingseffekt genannt. Die sogenannte Mandelbrotmenge ein Fraktal

7 Was sind Fraktale und sind Attraktoren attraktiver? Der Begriff Fraktal wurde von Benoit Mandelbrot geprägt. Es beschriebt eine geometrische Form, mit einer nichtganzzahligen Dimension und einer Selbstähnlichkeit. Was ist damit jetzt gemeint? Mit nichtganzzahligen Dimensionen ist gemeint, dass es bei dieser Geometrie der Fall ist, dass es keine 3 (x-y-z) oder 4 (x-y-z-t) Dimensionen gibt, sondern gebrochene, also nicht ganze Dimensionen. Wenn man es nicht streng mathematisch sieht, ist dies natürlich enorm schwer zu erfassen bzw. sich vorzustellen. Eine Selbstähnlichkeit heißt, dass ich immer weiter in das Fraktal blicken kann und ein Fraktal erkenne, dass meinem betrachteten Fraktal wieder ähnlich sieht. Also, solltest du einmal ein Objekt filmen und hineinzoomen und das selbe Objekt erneut sehen, ist nicht zwingend deine Kamera kaputt, evt. Blickst du ja auf ein Fraktal. Auch sogenannte Attraktoren (hierbei werden nur die seltsamen Attraktoren betrachtet) weisen ein Fraktale Struktur auf. Sie werden zur Beschreibung dynamischer Systeme verwendet und sind invariant (d.h. wenn ich sie von ein System in ein anderes überführe, bleiben sie gleich) und natürlich zeitlich veränderlich. Bei den seltsamen Attraktoren ist es wieder der Fall, dass wir keine gerade Dimensionen vorfinden. Der sogenannte Lorenz-Attraktor