Bellsche Ungleichungen

Transkript

1 Bellsche Ungleichungen Michael Legenstein und Matthias Kaiser 1 Einführung Als Einstein, Podolsky und Rosen 1927 in ihrem Paper die Unvollständigkeit der Quantenmechanik vorraussagten und somit die Existenz von versteckten Variablen forderten, traten sie damit eine Diskussion los in die erst 1967 John Bell mit der Formulierung der Bellschen Ungleichungen etwas Licht bringen konnte. Die genaue Bedeutung der Resultate der Bellschen Ungleichung sind bis heute stark diskutiert. Im folgenden soll mittels eines Gedankenexperimentes und eines Kartenspiels die Bellschen Ungleichungen erleutert und ihre Ergebnisse diskutiert werden. 2 Bellsche Ungleichungen Abbildung 1: Versuchsaufbau Der in Abb. 1 gezeigte Versuchsaufbau entspricht dem Gedankenexperiment, was zur Formulierung der Bellschen Ungleichung geführt hat. Eine Quelle sendet dabei 2 miteinander korrelierte Teilchen aus, jeweils eines an Alice und eines an Bob. Korreliert bedeutet dabei, dass zwei Eigenschaften 1

2 von der Quelle so präpariert werden, dass sie immer korreliert oder antikorreliert sind, d.h. z.b. Spin Up und Spin Down. Treffen die so korrelierten Teilchen bei Alice und Bob ein, so können Alice und Bob entscheiden welche Setting sie messen möchten. Das Setting gibt die Möglichkeit zwischen zwei Ja-Nein-Fragen zu wählen. Anschließend messen Alice und Bob ihr Teilchen und erhalten ein Ergebnis abhängig von dem gewählten Setting. Die Möglichen Messergebnisse sind dabei A m,n = ±1 und B n,m = ±1. Die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann P (A 11, A 12, A 21, A 22, B 11, B 12, B 21, B 22 ). Wir möchten nun diese Wahrscheinlichkeitsverteilung reduzieren indem wir einige Annahmen treffen. Lokalität: Die Wahl dessen was bei einem Teilchen gemessen wird, hat keine Auswirkung darauf was beim anderen Teilchen gemessen wird, das heißt: A m,n = A m und B m,n = B n Realismus: Man spricht von einer realistischen Theorie, wenn jede Messung nur eine Eigenschaft abliest die auch ohne die Messung vorhanden ist. Daraus ergibt sich, dass die Messgrößen A m und B n schon vor der Messung existiert haben müssen. Die Größe vor der Messung drücken wir dabei mit den Kleinbuchstaben a m und b n aus. freier Wille: Die Wahl des Settings ist unabhängig von den Messgrößen. Als Formel lässt sich das folgendermaßen formulieren: P (n, m, A 1, A 2, B 1, B 2 ) = P (n, m) P (A 1, A 2, B 1, B 2 ) Betrachtet man die möglichen Messergebnisse, so kann man mit den getroffenen Annahmen und unter Verwendung von simpler Algebra die folgende Gleichung aufstellen: A 1 B 1 + A 2 B 1 + A 2 B 2 A 1 B 2 = (A 1 + A 2 )B 1 + (A 2 A 1 )B 2 = ±2 (1) Bildet man nun den statistischen Mittelwert, so ergibt sich E(A 1 B 1 + A 2 B 1 + A 2 B 2 A 1 B 2 ) = p(a 1, a 2, b 1, b 2 )(a 1 b 1 + a 2 b 1 + a 2 b 2 a 1 b 2 ) a 1,a 2,b 1,b 2 p(a 1, a 2, b 1, b 2 )2 = 2 a 1,a 2,b 1,b 2 (2) 2

3 Wir erhalten also eine Ungleichung der Form E(A 1 B 1 ) + E(A 2 B 1 ) + E(A 2 B 2 ) E(A 1 B 2 ) 2 die unter den getroffenen Annahmen (lokaler Realismus) immer erfüllt sein muss. 3 Beispiel: Kartenspiel Abbildung 2: Kartenspiel Es sollen hier die im EPR-Paradoxon formulierten Bedingungen für den lokalen Realismus erläutert werden. Die genauen Regeln des Kartenspiels spielen dabei überhaupt keine Rolle. Wichtig ist nur, dass es einen Satz von Spielkarten gibt von denen sich jeweils zuerst Alice zwei nimmt und danach Bob. Natürlich könnte auch Bob zuerst auswählen, wovon aber der Einfachheit halber abgesehen wird. Man kann hier von einem freien Willen Bobs sprechen, wenn seine Wahl nicht von der Wahl von Alice abhängt. Bob kann also unbeeinflusst von Alice zwei Karten wählen. Beide Teilnehmer des Spiels bekommen ihre Karten zunächst verdeckt und decken sie dann auf. Natürlich wissen sie erst nach dem Aufdecken um welche Karten es sich handelt. Existieren die Karten auch schon bevor Sie aufgedeckt werden erfüllt das Kartenspiel die Bedingung des Realismus. Und wann ist das Kartenspiel lokal? Es ist lokal, wenn die Karten die Bob aufdecken wird nicht von Alice Karten abhängen. Bobs Karten stehen also nicht über eine spukhafte Fernwirkung mit jenen von Alice in Verbindung Alle drei Bedingungen entsprechen der menschlichen Intuition. Es lässt sich jedoch mittels der Bell schen Ungleichung zeigen, dass nicht alle drei auch gleichzeitig erfüllt sein können. 3

4 4 Verletzung der Bellschen Ungleichungen Nun wollen wir uns einmal anschauen wie die in Absatz 2 für klassische Theorien hergeleitete Ungleichung in der Quantenmechanik aussieht. Dazu ersetzen wir die statistischen Mittelwerte E(A i B j ) mit den quantenmechanischen Erwartungswerten a i b j. Für die quantenmechanischen Mittelwerte gilt: a i b j = Ψ P (a i ) P (b j ) Ψ = a i b j cos( ai b j ) (3) Mit P (a i ) und P (b j ) den Projektoren auf die Messergebnisse a i und b j. Daraus ergibt sich die Bellsche Ungleichung in der CHSH-Form zu: a 1 b 1 + a 2 b 1 + a 2 b 2 a 1 b 2 2 (4) Mit Gleichung (3) und a i = b j = 1, da es sich um Einheitsvektoren handelt, folgt dann: cos( a 1 b 1 ) + cos( a 2 b 1 ) + cos( a 2 b 2 ) cos( a 1 b 2 ) 2 (5) Wir wollen nun ein System ähnlich zu Abb. 1 betrachten. Dieses System (siehe Abb. 3) besteht aus einer Quelle, zwei Polariationsfiltern die um 45 zueinander gedreht sind und selbst jeweils um 90 drehbar sind und zwei Detektoren die messen ob Licht durch die Polarisationsfiltern hindurch kommt oder nicht. Abbildung 3: Quantenmechanische Umsetzung des EPR-Versuchs mit polarisationsverschränkten Photonen. Die Quelle erzeugt hierbei polarisationsverschränkte Photonen der Form HV + V H Ψ = und sendet eines davon zu Alice und das Andere zu 2 4

5 Bob. Kommen die Photonen bei Alice und Bob an, so können diese mittels eines Polarisationsfilters die Polarisation der Photonen messen. Für die Polarisationsfilter bei Alice und Bob ergeben sich die folgenden Einstellmöglichkeiten: P ai P bj i,j = 1 i,j = 2 Dadurch ergibt sich für die von Alice und Bob gemessen Polarisationsrichtung der Zusammenhang: Abbildung 4: Polarisationsrichtungen der Photonen bei der Messung. Setzt man dies nun in die Ungleichung (5) ein, so ergibt sich: cos(45 ) + cos(45 ) + cos(45 ) cos(225 ) = = ( 1 ) = (6) Dies stellt einen klaren Widerspruch zu Ungleichung 5 da, was wiederum bedeutet, dass mindestens eine der in Abschnitt 2 getroffenen Annahmen falsch sein muss. Quantenmechanische Systeme können also nicht durch eine lokal-realistische Theorie beschrieben werden! 5