EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung

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1 EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung Stefan Paul 12. Dezember 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einsteins Lokaler Realismus 1 2 Das ursprüngliche EPR-Argument 2 3 Die Bohmsche Vereinfachung des Paradoxons 4 4 Die Bellsche Ungleichung 5 5 Experimentelle Tests der Bell Ungleichungen 7 6 Fazit 9 1 Einsteins Lokaler Realismus Unter der Federführung von Niels Bohr und Werner Heisenberg entstand im Jahre 1927 mit der Kopenhagener Deutung die bis heute gültige Standardinterpretation der Quantenmechanik. Obwohl Albert Einstein mit seiner Erklärung des photoelektrischen Effekts von 1905 als einer der Mitbegründer der Quantenmechanik gesehen werden kann, blieb er Zeit seines Lebens einer ihrer größten Kritiker. Dabei zweifelte er keinesfalls an den physikalischen Vorhersagen der Theorie, vielmehr störten ihn die philosopischen Implikationen der Kopenhagener Deutung, die in krassem Gegensatz zu seiner eigenen Weltanschauung standen. Einsteins Weltbild wird heute als lokaler Realismus bezeichnet und basiert auf zwei Grundannahmen: 1. Realität Die Annahme der Realität beruht auf der Vorstellung, dass Objekte und deren Eigenschaften unabhängig vom Menschen und seinen Beobachtungen existieren. Einfacher und prägnanter kann man dies ausdrücken über die Aussage Der Mond ist auch da, wenn gerade niemand hinschaut. In einer realen physikalischen Theorie werden durch Messung also nur Werte physikalischer Grö ßen abgelesen, die zuvor schon feststanden. Dies steht im krassen Gegensatz zum Probabilismus der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik. Dabei können sich, wie im Beispiel von Schrödingers Katze verdeutlicht, Objekte in einer Superposition von Zuständen befinden, sodass der Ausgang einer Messung nur mit einer bestimmten 1

2 Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden kann. Einstein brachte seine Ablehnung diesem Umstand gegenüber mit dem bekannten Ausspruch Gott würfelt nicht zum Ausdruck. 2. Lokalität Der Lokalitätsbegriff liefert grundsätzlich eine Antwort auf die Frage, wie sich räumlich getrennte Objekte gegenseitig beeinflussen. In Bezug auf die instantan wirkenden und unendlich reichweitigen Kräfte der Newtonschen Mechanik bedeutet Lokalität, dass mit zunehmender Entfernung zwischen zwei Körpern deren Wechselwirkungen beliebig klein (oder gar vernachlässigbar) werden. Durch die spezielle Relativitätstheorie wurde die Anforderung der Kausalität in die Definition des Begriff mit eingeschlossen. Diese besagt, dass zwei raumartig getrennte Ereignisse keinerlei Einfluss aufeinander ausüben können. Die Verletzung dieses Prinzips durch quantenmechanische Effekte widerstrebte Einstein zutiefst. So bezeichnete er die Nicht-Lokalität der Quantenverschränkung als spukhafte Fernwirkung. 2 Das ursprüngliche EPR-Argument Im Jahre 1935 verffentlichten Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (kurz: EPR) ein Papier im Physical Review, in dem sie anhand eines Gedankenexperiments zeigen wollten, dass die Quantenmechanik bei Annahme des lokalen Realismus keine vollständige Theorie sein kann. Dabei stellten sie folgende Vollständigkeitsbedingung auf: Jedes Element der physikalischen Realität muss seine Entsprechung in der physikalischen Theorie haben. Solche Elemente der physikalischen Realität definieren sie wie folgt über das Realitätskriterium: Falls wir, ohne in irgendeiner Art ein System zu stören, den Wert einer phys. Größe mit Sicherheit (d.h. mit Wahrscheinlichkeit gleich eins) vorhersagen können, dann existiert ein Element der phys. Realität, das dieser phys. Größe entspricht. Diese Begriffe wenden wir nun zuerst auf eine ideale Messung des Ortes eines Teilchens an. Für den Ortsoperator Q gilt dabei die Eigenwertgleichung: Die zugehörigen Eigenfunktionen lauten Q u(q; x) = q u(q; x) (1) u(q; x) = δ(x q) (2) = 1 dp exp(ip x q ), (3) h h wobei das Verhalten der delta-distribution unter Fouriertransformation ausgenutzt wurde. Durch die exakte Lokalisierung des Teilchens können wir also keine sichere Vorhersage des Impulses treffen. Mit dem Realiätskriterium folgt: Wenn 2

3 der Ort eines Teilchens exakt bestimmt ist, besitzt sein Impuls keine phys. Realität. Analog gilt für eine ideale Impulsmessung mit dem Impulsoperator im Ortsraum P = i h x die Eigenwertgleichung: Die Eigenfunktionen sind gegeben durch P v(p; x) = p v(p; x) (4) v(p; x) = exp( ipx h ) (5) Da v(p; x) 2 = 1 x, lässt sich nach einer Impulsmessung der Ort des Teilchens nicht mit Gewissheit vorhersagen. Wir folgern erneut mit dem Realitätskriterium: Wenn der Impuls eines Teilchens exakt bestimmt ist, besitzt seine Ortskoordinate keine phys. Realität. Diese Inkompatibilität von P & Q wird beschrieben durch den nicht-verschwindenden Kommutator [Q, P ] = i h. Die vorliegende Situation erlaubt nun zwei Folgerungsmöglichkeiten: 1. Entweder die quantenmechanische Beschreibung der Wirklichkeit durch die Wellenfunktion ist unvollständig, oder 2. Zwei nicht-kommutierende phys. Größen können keine gleichzeitige Realität haben. Nach dieser Vorüberlegung betrachten wir nun ein System zweier verschränkter Teilchen α und β, die über eine gewisse Zeit in Interaktion waren, sich dann aber voneinander entfernen, sodass nach dem Prinzip der Lokalität keine Wechselwirkungen mehr zwischen ihnen möglich sind. Die Gesamt-Wellenfunktion des Systems entwickelt in Ortseigenfunktionen der beiden Teilchen (vgl. Gl.(2)) lautet: φ(q 0 ; x α, x β ) = dq c(q )u α (q ; x α )u β (q 0 + q ; x β ). (6) Ergibt Messung an α den Wert x α = q, so kollabiert die Gesamt-Wellenfunktion in den Zustand φ (q 0 ; x α, x β ) = c(q)u α (q; x α )u β (q 0 + q; x β ). (7) Wir nehmen an, dass ebenso eine Entwicklung der Gesamt-Wellenfunktion in die Impulseigenfunktion aus Gl.(5) möglich ist: φ(p 0 ; x α, x β ) = dp c(p )v α (p ; x α )v β (p 0 p ; x β ). (8) Eine Messung an α mit p α = p reduziert dann die Gesamtwellenfunktion zu: φ (p 0 ; x α, x β ) = c(p)v α (p; x α )v β (p 0 p; x β ). (9) Die Annahme, dass diese beiden Entwicklungen ein gemeinsames Gesamtsystems beschreiben ist keinesfalls trivial. EPR konnten aber folgende Wellenfunk- 3

4 tion angeben, die die Entwicklungen aus Gl.(6)&(8) gleichsam erfüllt: Ψ(q 0, p 0 = 0; x α, x β ) = 1 [ dp i(xα x β + q 0 )p ] exp h h Nun gilt: (10) = δ(x α x β + q 0 ) (11) = dq δ(x α q )δ(q x β + q 0 ) (12) Durch Messung von x α können wir nach Gl.(7) den Ort des Teilchens x β sicher vorhersagen. Ebenso ist durch Messung des Impulses von α anhand Gl.(9) über p α + p β = p 0 = 0 eine sichere Vorhersage des Impulses p β möglich. Nach dem EPR-Realitätskriterium sind damit Ort und Impuls des Teilchens β zeitgleich Elemente der phys. Realität, obwohl der zugehörige Kommutator ungleich null ist. An dieser Stelle greifen wir auf die in der Vorüberlegung gefundenen beiden Alternativen zurück. Negieren wir die Alternative 1 und nehmen an, dass die Beschreibung unseres korrelierten Systems durch die Wellenfunktion in Gl.(10) vollständig ist, finden wir, dass Ort und Impuls von Teilchen β gleichzeitig Elemente der Realität sind, obschon der Kommutator von P und Q nicht verschwindet. Dies stellt aber einen Widerspruch zu Alternative 2 dar. Damit bleibt nur Möglichkeit 1: Die quantenmechanische Beschreibung der Wirklichkeit durch die Wellenfunktion ist unvollständig! 3 Die Bohmsche Vereinfachung des Paradoxons Da die ursprüngliche Formulierung durch EPR unzugänglich und hochgradig idealisiert war, stellte David Bohm im Jahr 1952 eine Vereinfachung des Paradoxons vor. Dabei betrachtete er den Zerfall eines Atoms oder Moleküls ɛ in zwei verschränkte Spin- 1 2-Teilchen ɛ α + β. Diese Darstellung bietet mehrere Vorteile. Sie arbeitete mit dichotomen anstelle von kontinuierlichen Größen. Also solchen, die per Definition nur zwei Werte annehmen können (hier: Spin-up oder Spin-down). Außerdem war das von Bohm vorgeschlagene System erstmals auch experimentell umsetzbar. Nach dem Zerfall messen wir den Spin der Teilchen entlang einer beliebigen Quantisierungsachse ẑ. Dabei bezeichnen u α+ bzw. u β+ die Spin-up-Zustände, u α bzw. u β die Spin-down-Zustände. Aus diesen ergeben sich die folgenden vier Basisvektoren des Zwei-Teilchen-Systems: u α+ u β+, u α+ u β, u α u β+, u α u β. Daraus lassen sich zwei nicht-faktorisierbare Zustände konstruieren: 1. Singulett mit S = 0: η 0 = 1 2 (u α+ u β u α u β+ ) 2. Triplett mit S = 1: η 1 = 1 2 (u α+ u β + u α u β+ ) 4

5 Aufgrund der Erhaltung des Spins erhalten wir bei Spinmessung an beiden Teilchen entlang einer beliebigen Achse stets entgegengesetzte Ausrichtungen. Durch Messung des Gesamtspins knnen wir η 0 und η 1 unterscheiden. Außerdem gilt: u α+ u β = 1 2 (η 0 + η 1 ) (13) u α u β+ = 1 2 (η 0 η 1 ) (14) Wir betrachten nun eine große Anzahl von Zerfällen mit Gesamtspin S = 0. Alle Teilchenpaare befinden sich also im Singulett-Zustand η 0. Nachdem die Teilchen sich weit voneinander entfernt haben, nehmen wir eine Spinmessung an Teilchen α entlang der ẑ-achse vor und finden in 50% der Fälle Spin-up. Eine darauffolgende Messung an β entlang der selben Achse ergibt dann mit Sicherheit Spin-down. Dies entspricht dem Zustand u β. Da die beiden Teilchen räumlich weit getrennt sind, kann Messung an α nach der Lokalitätsannahme keinen Einfluss auf β haben. Demzufolge muss Teilchen β schon seit dem Zerfall im Zustand u β gewesen sein, was wiederum dem Gesamtzustand u α+ u β = 1 2 (η 0 + η 1 ) entspricht. Wie der Blick auf Gl. (13) zeigt, ist dies ein Mischzustand von Singulett- und Triplett-Zuständen, bei dem wir zu 50% den Gesamtspin S=1 finden. Ein solcher Mischzustand ist aber nicht mit unserer Anfangsannahme eines reinen Ensembles aus Singulett-Zuständen vereinbar. Damit zeigt sich ein Widerspruch zwischen den Annahmen des lokalen Realismus und den Vorhersagen der Quantenmechanik. 4 Die Bellsche Ungleichung Einstein hielt stets an der Hoffnung auf eine Vervollständigung der Quantenmechanik im Sinne des lokalen Realismus fest. Dies sollte durch sogenannte lokale verborgene Variablen geschehen. Damit sind Größen gemeint, die den Zustand eines Systems zu jeder Zeit fest determinieren, wobei der Zusatz lokal entscheidend ist. So gab es durchaus Theorien, wie die debroglie-bohm- Theorien, die mit nicht-lokalen verborgenen Variablen die Vorhersagen der Quantenmechanik auf deterministische Mechanismen zurckführen konnten. Lange blieb aber die Frage offen, ob selbiges auch bei zusätzlicher Annahme der Lokalität möglich ist. John Stuart Bell konnte dies im Jahr 1964 in seinem Papier On The Einstein Rosen Podolsky Paradox anhand der nach ihm benannten Ungleichung klar verneinen [3]. Die Bellsche Ungleichung erlaubte erstmals eine klare, quantifizierbare Unterscheidung zwischen der Quantenmechanik und Theorien lokaler verborgener Variablen. Die Diskussion wurde damit von einer rein philosophischen auf eine experimentell testbare Ebene gehoben. Da in der Folgezeit zahlreiche Abwandlungen der ursprünglichen Relation vorgestellt wurden, ist es schwierig von einer einzigen Bellschen Ungleichung zu sprechen. Nachfolgend beschäftigen wir uns mit der 1969 veröffentlichten CHSH- Ungleichung (nach den Entdeckern Clauser, Horne, Shimony & Holt), da diese näher an späteren experimentellen Überprüfungen ist. Die Herleitung ist angelehnt an eine Darstellung von John Bell aus dem Jahr Die Ungleichung gilt für beliebige dichotome Größen. Wir betrachten als Beispiel erneut ein großes Ensemble aus über den Spin verschränkten, sich entfernenden 5

6 Zerfallsprodukten α und β im Singulett-Zustand. Auf der einen Seite unserer Quelle misst Alice (z.b. mit einem Stern-Gerlach-Magneten) die Komponente des Spins der Teilchen α entlang der Achse â gegeben über ˆσ(α) â. Auf der anderen Seite misst Bob den Spin von β entlang der Richtung ˆb mit der Observablen ˆσ(β) ˆb. Die Messwerte von Alice und Bob A(â) bzw. B(ˆb) können dabei nur die Werte +1 und -1 für Spin-up oder Spin-down bezüglich der jeweiligen Quantisierungsachse annehmen. Wir definieren die Korrelationsfunktion für N Messungen als: P (a, b) := 1 N A i B i (15) N Es gilt 1 P (a, b) 1, wobei der Maximalwert bei vollständiger Korrelation und der Minimalwert bei vollständiger Antikorrelation der Messergebnisse angenommen wird. Der quantenmechanische Korrelator entspricht dem Erwartungswert der Observablen von Alice und Bob bezüglich des Singulett-Zustands definiert in Abschnitt 3: Wir definieren folgende Testgröße: i=1 P (â, ˆb) = η 0 ˆσ(α)â ˆσ(β)ˆb η 0 = â ˆb. (16) = P (â, ˆb) P (â, ˆb ) + P (â, ˆb) + P (â, ˆb ) (17),dabei bezeichnen â und ˆb zwei weitere Ausrichtungen der Stern-Gerlach- Magneten von Alice bzw. Bob. Bei geeigneter Wahl der Winkel zwischen den verschiedenen Quantisierungsrichtungen liefert die Quantenmechanik für diese Testgröße folgenden Maximalwert: QM 2 2 (18) Nun wollen wir das Maximum von ebenfalls für eine Theorie mit lokalen verborgenen Variablen abschätzen. Um den allgemeinsten möglichen Fall abzudecken, nehmen wir eine kontinuierliche lokale verborgene Variable λ an und geben ihr eine normierte Dichteverteilung ρ(λ) im Wahrscheinlichkeitsraum : ρ(λ)dλ = 1 (19) Die Messwerte von Alice und Bob sind nun nicht mehr nur von den experimentellen Parametern a und b abhängig, sondern auch von den verborgenen Variablen: ˆσ(α)â A(a, λ) = ±1 (20) ˆσ(β)ˆb B(b, λ) = ±1 (21) Erneut sind aber nur die Messergebnisse +1 und -1 möglich, sodass A 1, B 1. Dabei wurden implizit die folgende Lokalitätsannahmen gemacht: 1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der lokalen verborgenen Variablen λ ist unabhängig von den exp. Parametern a und b: ρ ρ(λ, a, b). Die Quelle der verschränkten Teilchenpaare bleibt also völlig unbeeinflusst von den Messapparaten von Alice und Bob. 6

7 2. Die Messergebnisse von Alice sind unabhängig von der Stellung von Bobs Messgerät und umgekehrt: A A(a, b, λ), B B(b, a, λ). Analog zu Gleichung (15) ist die Korrelationsfunktion gegeben durch: P (a, b) = A(a, λ)b(b, λ)ρ(λ)dλ (22) Für die ersten beiden Korrelatoren in der Testgröße gilt: P (a, b) P (a, b ) = [A(a, λ)b(b, λ) A(a, λ)b(b, λ)] ρ(λ)dλ = A(a, λ) [B(b, λ) B(b, λ)] ρ(λ)dλ (23) Da A 1, können wir den Betrag dieser Differenz nach oben abschätzen: P (a, b) P (a, b ) B(b, λ) B(b, λ) ρ(λ)dλ (24) Eine analoge Rechnung liefert unter Ausnutzung von B 1: P (a, b) + P (a, b ) B(b, λ) + B(b, λ) ρ(λ)dλ (25) Nach Addition von Gl. (12) & (13) lässt sich anhand der Dreiecksungleichung x + y x + y eine obere Grenze für die Testgröße angeben: P (a, b) P (a, b ) + P (a, b) + P (a, b ) [ B(b, λ) B(b, λ) + B(b, λ) + B(b, λ) ] ρ(λ)dλ (26) Die Terme in der eckigen Klammer ergeben stets genau 2 wie durch eine Unterscheidung in zwei Fälle leicht einzusehen ist. Bei gleichen Messergebnissen B(b, λ) = B(b, λ) = ±1 verschwindet der erste Summand in der Klammer und der zweite ergibt genau 2, während bei Messwerten B mit entgegengesetzem Vorzeichen der erste Summand 2 gibt und der zweite gleich null ist. Aufgrund der Normierung (Gl. (19)) lautet das Ergebnis für Theorien mit lokalen verborgenen Variablen: 2 (27) Dies ist die Bell-CHSH-Ungleichung. Der Vergleich mit Gl. (18) offenbart, dass es also keine Theorie mit lokalen verborgenen Variablen geben kann, die alle Vorhersagen der Quantenmechanik reproduziert. 5 Experimentelle Tests der Bell Ungleichungen Die angesprochene Vielzahl an Bellschen Ungleichungen lassen sich in zwei Kategorien unterteilen: 1. Schwache Ungleichungen Diese beruhen nur auf den idealisierten Bedingungen des lokalen Realismus. Aufgrund der unvermeidbaren Unvollkommenheiten physikalischer Instrumente sind experimentell keine eindeutigen Verletzungen von Ungleichungen dieses Typs umsetzbar. Ungl. (27) gehört dieser Kategorie an. 7

8 Abbildung 1: Aufbau von Aspects Experiment von Starke Ungleichungen Eine experimentelle Überprüfung wird erst durch Zusatzannahmen möglich, die diese sog. starken Ungleichungen deutlich restriktiver machen. Zahlreiche Experimente konnten hochsignifikante Verletzungen starker Ungleichungen bei gleichzeitiger Übereinstimmung mit quantenmechanischen Vorhersagen vorweisen. Eines der bekanntesten der sog. Bell Test Experimente wurde 1982 von Alain Aspect et al. durchgeführt. Es beruht auf der oben hergeleiteten CHSH-Ungleichung, wobei anstelle von Spins die Polarisation verschränkter Photonen untersucht wurde. Abbildung 1 zeigt den schematischen Versuchsaufbau. Von der Quelle S werden zwei polarisationsverschränkte Photonen ν 1 & ν 2 emittiert. Auf der linken Seite wird die Polarisation von ν 1 mit einem Zwei-Kanal-Polarisator gemesssen. Dieser besteht aus einem Strahlteilerwürfel sowie zwei Photonenvervielfachern (P.M.). Findet man das Photon entlang der Ausrichtungsachse â polarisiert, folgt der Messwerte +1, senkrechte Polarisation liefert den Wert -1. Analoges gilt für den entlang ˆb orientierten Zwei-Kanal-Polarisator auf der rechten Seite. Eine Ausleseelektronik wertet die beobachteten Koinzindenzen aus. Aufgrund der endlichen Detektionseffizienz der Photonenvervielfacher traf Aspect die Zusatzannahme, dass die tatsächlich detektierten Photonen eine repräsentative Teilmenge aller von der Quelle emittierten Photonenpaare darstellt. Die Korrelationsfunktion aus Gl. (15) wird folglich approximiert über: P (a, b) = N ++ + N N + N + N ++ + N + N + + N +, (28) wobei N ++ für die Anzahl der Ereignisse mit Messwerte +1 auf der linken und +1 auf der rechten Seiten steht usw. Mit den richtigen Winkelstellungen zwischen â und â links bzw. ˆb und ˆb rechts kann eine Diskrepanz zwischen quantenmechanischen und lokal-realistischen Vorhersagen nachgewiesen werden. Das gefundene Ergebnis exp = 2, 697 ± 0, 015 verletzt die CHSH-Ungleichung um mehr als 46 σ-umgebungen. Mit dem nach quantenmechanischer Rechnung erwarteten Wert QM 2, 70±0, 05 zeigt sich dagegen sehr gute Übereinstimmung. 8

9 Trotz dieses überwältigenden Resultats wurden an Aspects und anderen Bell Test Experimenten immer wieder Zweifel geübt. Vor allem zwei Hauptkritikpunkte traten dabei als mögliche Schlupflöcher für lokal-realistische Theorien hervor: 1. Lokalitätsschlupfloch Hiernach müssen jegliche Wechselwirkungen zwischen den Messapparaten ausgeschlossen sein, um der Lokalitätsannahme absolut gerecht zu werden, wie bereits in der obigen Herleitung erwähnt. Die Stellung des linken Polarisators bei Alice könnte die Messergebnisse von Bob beeinflussen, falls die Ausrichtung der Polarisatoren lange Zeit gleich bleiben und somit unterlichtschnelle Kommunikation untereinander erlauben. Auch Aspect erkannte diese Schwäche in obigem Versuchsaufbau und ließ daher in einem Nachfolgeexperiment die Polarisatorausrichtungen in schnellen Sequenzen hin und her schalten, während sich die Photonen im Flug befanden. Da die verwendeten Sequenzen aber nicht völlig zufällig waren, blieb nach wie die Möglichkeit, dass die Polarisatoren über diese predeterminierten Sequenzen in Interaktion treten. Erst im Jahr 1998 konnte das Lokalitätsschlupfloch von Weihs, Zeilinger et al. endgültig geschlossen werden. Deren Experiment erlaubte aufgrund der großen Flugstrecke der Photonen von mehr als 400m die Nutzung von Zufallszahlengeneratoren zur Festlegung der Ausrichtung von â und ˆb. 2. Detektionsschlupfloch Andererseits wurden häufig geringe Detektionseffizienzen in Bell Test Experimenten moniert. Lange Zeit lag beispielsweise die Nachweiswahrscheinlichkeit eines einzelnen Photons unter 50%. Der Anteil an detektierten Teilchen könnte also ein Verletzung der Bellschen Ungleichungen suggerieren, während dies für das Gesamtensemble nicht der Fall ist. Im Jahr 2001 konnte der Nobelpreisträger Dave Wineland unter Verwendung eines Aufbaus mit Ionen mit einer Detektionseffizienz von annähernd 100% dieses Problem auflösen, dabei aber der Lokalitätsanforderung nicht gerecht werden [6]. Giustina et al. stellten 2013 ein Photonen-Experiment vor, in dem erstmals beide Schlupflöcher als geschlossen betrachtet werden können [7]. 6 Fazit Wie die neuesten experimentellen Befunde eindrucksvoll zeigen, ist davon auszugehen, dass Einsteins Hoffnung auf eine Vervollständigung der Quantenmechanik aussichtslos ist. Tatsälich scheint eine spukhafte Fernwirkung inhärenter Bestandteil der physikalischen Wirklichkeit zu sein. Zwar gibt es immer wieder vereinzelte Vorschläge die Vorhersagen der Quantenmechanik auf lokalrealistische Theorien zurück zu führen, wie zum Beispiel den sog. Superdeterminismus. Diese Theorien sind aber zumeist exotischer Natur und gehen von extremen Annahmen aus. Bei dem absolut überwiegenden Anteil der physikalischen Gemeinde ist die Nicht-Lokalität der Quantenmechanik längst anerkannt. Auch wenn sich die Schlussfolgerungen von EPR somit im Rückblick als falsch 9

10 herausstellten, waren sie die ersten, die die Einzigartigkeit verschränkter Quantensysteme erkannten. Auf dieser Leistung bauen heute noch ganze Forschungszweige, wie beispielsweise die Quanteninformatik, auf. Literatur [1] A. Afriat, F. Selleri, The Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox. Plenum Press, New York, [2] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review Vol. 47, Mai [3] John S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. Physics, 1, , [4] Alain Aspect, From the Einstein-Bohr-Debate to Quantum Information. Seminaire Poincare, [5] Wikipedia: Bell Test Experiments. test experiments, (Stand ). [6] D.J. Wineland et al., Experimental violation of a Bell s inequality with efficient detection. Nature Vol. 409, 15 February [7] M. Giustina et al., Bell violation using entangled photons without the fairsampling assumption. Nature Vol. 497, 09 May