Präsenzübungen zur Vorlesung Theoretische Physik für Lehramt 2

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1 Präsenzübungen zur Vorlesung Theoretische Physik für Lehramt 2 Fakultät für Physik, Universität Wien, WS15 Beatrix C. Hiesmayr Blatt 1/L2/WS15 Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispiele, die Sie bitte so vorbereiten, dass Sie ihre Gedankenschlüsse entsprechend kompakt und für die KollegInnen verständlich an der Tafel präsentieren können. Dabei ist der Weg das Ziel! Natürlich ist es nicht falsch die richtige Lösung gefunden zu haben, aber noch wichtiger ist, wenn Sie verstanden haben, was Sie dabei Neues gelernt haben oder vertieft. Also haben Sie keine Angst Fehler zu machen, aus denen lernt man bekanntlich am meisten! Jedenfalls hoffe ich, dass Sie viel Spass beim Lösen haben werden! 1. Eine geometrische Herleitung der Bellschen Ungleichung (in der Eugene Wigner Form). Was ist real? Leiten sie die Bellsche Ungleichung analog zur Version, die in der Vorlesung präsentiert wurde her, aber anschaulich geometrisch. Wir gehen zunächst davon aus, dass wir ein Klasse (Ensemble) mit einer fixen Anzahl N an SchülerInnen haben und die folgenden Eigenschaften eindeutig zuordnen können. Eine gewisse Anzahl N(w) ist weiblich oder nicht weiblich, also männlich (N( w) = N N(w)). Sie tragen immer Brillen N(b) oder nie Brillen N( b). Sie haben kurze Haare N(k) oder nicht N( k). Also graphisch zum Beispiel: (a) Veranschaulichen Sie die folgende Bell Ungleichung N(w, b) N(w, k) + N(b, k), 1

2 Blatt 2/L2/WS15 wobei N(w, b),... die Anzahl an SchülerInnen, die weiblich sind und eine Brille tragen, ist, graphisch und beweisen Sie die Gültigkeit: (b) Übersetzen Sie dieses Beispiel für Photonenpaare, indem Sie die Anzahl der Paare, die unter den Messeinstellungen eines Polarisators auf der linken Seite (Alice) in Richtung #» a und auf der rechten Seite (Bob) in Richtung #» b gemessen wurden, dem obigen Beispiel anpassen. (c) Nehmen wir an die Photonenpaare sind in einem verschränkten Zustand (den wir genau kennen, die Quelle haben wir sorgfältig konstruiert), dann lassen sich mit dem Formalismus der Quantentheorie die Wahrscheinlichkeiten berechnen (später können Sie diese Wahrscheinlichkeiten selbst berechnen, Bsp. 20). Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Photonen die zwei Polarisatoren in Richtung #» a b.z.w. #» b passieren, berechnet sich zu W ( #» a, #» b ) = 1 2 sin2 (ϕ #» #» a, b ), wobei ϕ #» #» a, b der von den Vektoren #» a, #» b eingeschlossene Winkel ist. Formulieren Sie die obige Ungleichung für die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten W um. (d) Nehmen Sie konkret die folgenden drei Winkeln an: ϕ #» a, #» b = 60, ϕ #» a, #» c = 30, ϕ #» b, #» c = 60. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis. 2. Der Photoelektrische Effekt: Einstein postuliert die Teilchennatur des Lichtes. Beim Photoeffekt werden durch Einstrahlung von Licht Elektronen aus dem Metallverband gelöst. Welcher Spannung entspricht die Austrittsarbeit, wenn Elektronen durch Licht der Wellenlänge 500 nm gerade herausgelöst werden? Welche Hypothese legen Sie der Berechnung zu Grunde? 3. Lebensdauer von Mini-Schwarzen-Löchern. Wie aus sämtlichen Medien im Jahre 2007/2008 zu entnehmen war, wurde befürchtet, dass mit der Neuaufnahme der Experimente am CERN bei höheren noch nie getesteten Energien, möglicherweise ein Mini Schwarzes-Loch entstehen kann. In der Physik kann man oft die Energie-Zeit Unschärfe(richtiger: Unbestimmtheit) zur Abschätzung verwenden (Achtung, wir werden später bei der Diskussion der Orts-Impuls Unschärfe (richtiger: 2

3 Blatt 3/L2/WS15 Unbestimmtheit) sehen, dass diese nicht den gleichen fundamentalen Charakter einnimmt wie die Orts-Impuls Unbestimmtheitsrelation, die man im Gegensatz aus den Postulaten der Quantentheorie herleiten kann. Ob diese und in welcher Form die Energie- Zeit-Unbestimmtheit im Unterricht behandelt werden sollte, ist zum Beispiel ausführlich in (Wikipedia) nachzulesen. Sie besagt, dass die Unbestimmtheit in der Energie E, in dem ein Teilchen in einem gewissen Quantenzustand eine Zeitdauer t verweilt, limitiert ist durch E t 2. (a) Ein Wissenschaftler soll bei einer Energieunschärfe von E = J und einer Lebensdauer von t = 10 8 s ein Verschlucken der ganzen Erde durch das Mini Schwarzes-Loch vorhergesagt haben. Muss man sich fürchten? (b) Veranschaulichen Sie die Energie-Zeit Unbestimmtheitsungleichung graphisch für Schüler. (c) Nennen Sie ein für die Schule relevantes Beispiel, das mit der Energie-Zeit Unbestimmtheit erklärt werden kann. 4. Polarisationsfilter. Ein unpolarisierter Lichtstrahl der Intensität I 0 trifft auf einen Polarisator und auf einem zweiten Polarisator, der um einen Winkel ϕ = 30 relativ dazu gedreht ist. Mit welcher Intensität trifft das linear polarisierte Licht auf die Photozelle? 5. Kombination von Polarisatoren. Ein Photon kommt aus einem horizontalen ausgerichteten Polarisator a und trifft auf einen anderen Polarisator b (= Analysator), der relativ dazu um den Winkel α gedreht ist. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Durchlasses für α = 0, 30, 45, 60, 90. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60, dass von zwei Photonen genau eines durch den Analysator fliegt? (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60, dass von zwei Photonen mindestens eines durch den Analysator fliegt? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60, dass von vier Photonen genau zwei durch den Analysator fliegen? (e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60, dass von vier Photonen mindestens zwei durch den Analysator fliegen? (f) Wie lauten für beliebiges α die zwei Formeln, die beschreiben, wie von n Photonen genau m/mindestens m Photonen durch den Analysator fliegen? 3

4 Blatt 4/L2/WS15 6. Neutronen in einem Interferometer. Ein Neutroneninterferometer sei mit einem Phasenschieber so ein gestellt, dass für ein einzelnes Neutron die Wahrscheinlichkeit des Austretens nach dem Interferometer genau 1 3 ist. Insgesamt werden hintereinander 10 Neutronen durchgeschickt. (a) Wie viele verschiedene mögliche Fälle gibt es? (Neutronen können nach der Zeit ihres Durchgangs unterschieden werden.) (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten 0, 1,..., 10 Neutronen zu detektieren und fertigen Sie eine Skizze an. Berechnen Sie auch den Erwartungswert und die Streuung. 7. Wahrscheinlichkeitsberechnungen (1). Betrachten Sie das folgende Experiment und führen Sie, die quantenmechanische Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den Output-Kanälen b 1 und b 2 zu finden. 8. Wahrscheinlichkeitsberechnungen (2). Betrachten Sie das folgende Experiment und führen Sie, die quantenmechanische Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den Output-Kanälen b 1 und b 2 zu finden. 4

5 Blatt 5/L2/WS15 9. Wahrscheinlichkeitsberechnungen (3). Betrachten Sie das folgende Experiment wobei der erste Polarisator a zirkular polarisiertes Licht und der zweite linear polarisiertes Licht erzeugt. Führen Sie, die quantenmechanische Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den Output-Kanälen b 1 und b 2 zu finden. 10. Unitarität. Alice präpariert ihre Photonen in der H/V Basis und Bob misst diese Photonen in einer dazu um 45 rotierten Basis. Zeigen Sie, dass diese beiden Basen unitär zusammenhängen. Dazu schreiben Sie die unitäre Matrix U(45, l) (alle Übergangsamplituden) an und überprüfen Sie die mathematischen Bedingungen an eine unitäre Matrix. 11. Basiszusammenhänge ( Basiswahl ist notwendig für die Berechnung, aber irrelevant für das physikalische Ergebnis! ). Wie lautet der Zusammenhang zwischen den Basen falls Alice ihre Photonen in der +45 / 45 präpariert und Bob in einer dazu um 45 rotierten Basis misst. 12. Wahrscheinlichkeitsberechnungen (4). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit falls Alice ein vertikal polarisiertes Photon zu Bob schickt und dieser in der +45 / 45 Basis misst, ein +45 oder 45 polarisiertes Photon zu erhalten. 13. Quantenkryptographie (1). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit falls Alice ein vertikal polarisiertes Photon zu Bob schickt und dieser in der +45 / 45 Basis misst, ein +45 oder ein 45 polarisiertes Photon zu erhalten, aber die böse Eve sich mit einem Zweikanalanalysator in der (a) H/V Basis, (b) in der +45 / 45 Basis (c) oder in der L/R zirkular polarisierten Basis dazwischen schaltet. 5

6 Blatt 6/L2/WS Quantenkryptographie (2). Betrachten Sie die Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel 13. (a) Was können Alice und Bob an der Messanordnung ändern, damit sie der bösen Eve doch noch auf die Schliche kommen? (b) Wodurch unterscheidet sich Eve s Aktion von einem Analysatorkreis. 15. Comptoneffekt. Untersuchen Sie die Kinematik der von Compton 1924 beobachteten Streuung von einem Photon an einem Elektron (e γ e γ). Bezeichnet man die Viererimpulse des Photons vor und nach der Streuung mit p γ, p γ und die Viererimpulse des Elektrons vor und nach dem Stoss mit p e, p e, so verlangt die Energie Impuls-Erhaltung (4 Vektor- Schreibweise!) p γ + p e = p γ + p e. Berechnen Sie die Energieänderung des Photons, indem Sie die Differenz der Wellenlängen λ = λ λ in Abhängigkeit des Winkels ϕ angeben. ϕ ist der Winkel zwischen den Richtungen des einfallenden und des gestreuten Photons (siehe Abbildung unten). Bei der Berechnung ist es hilfreich ins Ruhesystem des Elektrons im Anfangszustand zu gehen (warum darf man das?). Zur welchen physikalischen Schlussfolgerung führt dieses Experiment? Vierer Vektor eines masselosen Photons: p µ γ = (E γ /c, p γ ) = ( p γ, p γ ). De Broglie- Beziehung p µ γ = k µ = (ω/c, k) und k = 2π/λ. (Anleitung: Bei der Berechnung empfiehlt es sich, aus der Gleichung der zeitlichen Komponente die Energie des gestreuten Elektrons zu eliminieren und diese dann zu quadrieren. In diese Gleichung setzt man dann die Gleichung aus den räumlichen Komponenten ein.) 6