Jürgen Dankert, Helga Dankert. Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 4. korrigierte und ergänzte Auflage

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1 Jürgen Dankert, Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik 4. korrigierte und ergänzte Auflage Mit 1070 Abbildungen, 77 Tabellen sowie 390 Übungsaufgaben mit Lösungen und zahlreichen weiteren Aufgaben im Internet Teubner

2 Inhalt Grundlagen der Statik Die Kraft Axiome der Statik Das Schnittprinzip 5 Das zentrale ebene Kraftsystem Äquivalenz Gleichgewicht 13 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Äquivalenz) Graphische Ermittlung der Resultierenden Parallele Kräfte Kräftepaar und Moment Das Moment einer Kraft Äquivalenz Versetzungsmoment Analytische Ermittlung der Resultierenden 23 Schwerpunkte Schwerpunkte von Körpern Flächenschwerpunkte Linienschwerpunkte Experimentelle Schwerpunktermittlung Flächenschwerpunkte, Computer-Verfahren Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Fläche Durch zwei Funktionen begrenzte Fläche Flächen- und Linienlasten Aufgaben 40 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Die Gleichgewichtsbedingungen Lager und Lagerreaktionen in der Ebene Statisch bestimmte Lagerung Aufgaben 51 Ebene Systeme starrer Körper Statisch bestimmte Systeme Stäbe und Seile als Verbindungselemente 59

3 VIII Inhalt 6.3 Lineare Gleichungssysteme Fachwerke Statisch bestimmte Fachwerke Berechnungsverfahren Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung Aufgaben 79 7 Schnittgrößen Definitionen Differehzielle Zusammenhänge Ergänzende Bemerkungen zu den Schnittgrößen Aufgaben 94 8 Räumliche Probleme Zentrales Kraftsystem Räumliche Fachwerke Allgemeines Kraftsystem Momente Das Moment einer Kraft Äquivalenz und Gleichgewicht Schnittgrößen Aufgaben 9 Haftung Coulombsches Haftungsgesetz Seilhaftung Aufgaben Elastische Lager Lineare Federn Gleichgewicht bei steifen Federn Gleichgewicht bei weichen Federn Beurteilung der Gleichgewichtslagen Aufgaben Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien Das Seil unter Eigengewicht Das Seil unter konstanter Linienlast Grundlagen der Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Spannungen und Verzerrungen Der Zugversuch Hookesches Gesetz, Querkontraktion 158

4 Inhalt IX 13 Festigkeitsnachweis Belastungsarten Dauerfestigkeit Gestaltfestigkeit Zeitfestigkeit Spannungskollektive Palmgren-Miner, Gaßner-Kurven Zug und Druck Spannung, Dehnung Statisch unbestimmte Probleme Temperatureinfluss, Fehlmaße Aufgaben Der Stab als finites Element Die Finite-Elemente-Methode Fluchtende Stabelemente Ebene Fachwerk-Elemente Temperaturdehnung, Anfangsdehnung Nutzung von Finite-Elemente-Programmen Aufgaben Biegung Biegemoment und Biegespannung Flächenträgheitsmomente Definitionen Einige wichtige Formeln Der Satz von Steiner Zusammengesetzte Flächen Hauptträgheitsmomente, Hauptzentralachsen Formalisierung der Berechnung Durch Polygonzüge begrenzte Flächen, Computer-Rechnung Gültigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele Aufgaben Verformungen durch Biegemomente Differenzialgleichung der Biegelinie Integration der Differenzialgleichung Rand- und Übergangsbedingungen Einige wichtige Formeln Statisch unbestimmte Systeme Superposition Aufgaben 255

5 X Inhalt 18 Computer-Verfahren für Biegeprobleme Das Differenzenverfahren Differenzenformeln Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit Biegelinie bei veränderlicher Biegesteifigkeit Der Biegeträger als finites Element Element-Steifigkeitsmatrix für Biegeträger Element-Belastungen (Linienlasten) Biegesteife Rahmentragwerke Aufgaben Spezielle Biegeprobleme Schiefe Biegung Der elastisch gebettete Träger Lösung der Differenzialgleichung der Biegelinie Numerische Lösung Spezielle Rand- und Übergangsbedingungen Der gekrümmte Träger Schnittgrößen Spannungen infolge Biegemoment und Normalkraft Verformungen des Kreisbogenträgers Numerische Berechnung der Verformungen Aufgaben Querkraftschub Ermittlung der Schubspannungen Dünnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt Schubspannungen in Verbindungsmitteln Verformungen durch Querkräfte Aufgaben Torsion Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten Saint-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte Saint-Venantsche Torsion dünnwandiger Querschnitte Dünnwandige geschlossene Querschnitte Dünnwandige offene Querschnitte Formeln für die Saint-Venantsche Torsion Numerische Lösungen Aufgaben Zusammengesetzte Beanspruchung Modelle der Festigkeitsberechnung Zusammengesetzte Normalspannung Der einachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand 372

6 Inhalt XI 22.5 Festigkeitshypothesen Ebener Spannungszustand Berechnung von Wellen Aufgaben Knickung Stabilitätsprobleme der Elastostatik Stab-Knickung Differenzialgleichung 4. Ordnung Numerische Lösung von Knickproblemen Aufgaben Formänderungsenergie Arbeitssatz Formänderungsenergie für Grundbeanspruchungen Satz von Castigliano Satz von Castigliano (statisch unbestimmte Systeme) Aufgaben Rotationssymmetrische Modelle Rotationssymmetrische Scheiben Spezielle Anwendungsbeispiele Dünnwandige Behälter (Membranspannungen) Aufgaben Kinematik des Punktes Geradlinige Bewegung des Punktes Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinematische Diagramme Allgemeine Bewegung des Punktes Allgemeine Bewegung in einer Ebene Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten Allgemeine Bewegung im Raum Aufgaben Kinematik starrer Körper Die ebene Bewegung des starren Körpers Translation und Rotation Der Momentanpol Geschwindigkeit und Beschleunigung Ebene Relativbewegung eines Punktes Bewegung des starren Körpers im Raum Rotation Allgemeine Bewegung Relativbewegung eines Punktes 475

7 XII Inhalt 27.4 Systeme starrer Körper Aufgaben Kinetik des Massenpunktes Dynamisches Grundgesetz Kräfte am Massenpunkt Geschwindigkeitsabhängige Bewegungswiderstände Massenkraft, das Prinzip von d'alembert Numerische Integration von Anfang swertproblemen Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung Differenzialgleichungssysteme und Differenzialgleichungen höherer Ordnung Integration des dynamischen Grundgesetzes Der Impulssatz Arbeit, Energie, Leistung Der Energiesatz Aufgaben Kinetik starrer Körper Reine Translation Rotation um eine feste Achse Massenträgheitsmomente Massenträgheitsmomente einfacher Körper Der Satz von Steiner Deviationsmomente, Hauptachsen Beispiele zur Rotation um eine feste Achse Allgemeine Beispiele Auswuchten von Rotoren Ebene Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Das Prinzip von d'alembert Energiesatz Beispiele Räumliche Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Körperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung Das Kreiselmoment Aufgaben Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz Stoß Der gerade zentrische Stoß Der schiefe zentrische Stoß Der exzentrische Stoß Aufgaben 580

8 Inhalt XIII 31 Schwingungen Harmonische Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Schwingungen mit kleinen Ausschlägen Elastische Systeme Nichtlineare Schwingungen Freie gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Schwingungen mit harmonischer Erregung der Masse Erregung über Feder und Dämpfer Unwuchterregung Biegekritische Drehzahlen Aufgaben Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Freie ungedämpfte Schwingungen Torsionsschwingungen Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme Biegekritische Drehzahlen Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung Aufgaben Prinzipien der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Arbeit für Potenzialkräfte, Stabilität des Gleichgewichts Prinzip von d'alembert in der Fassung von Lagrange Lagrangesche Bewegungsgleichungen Generalisierte Kräfte, Potenzialkräfte Virtuelle Arbeit der Massenkräfte Lagrangesche Gleichungen 2. Art Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials Das Verfahren von Ritz Randwertproblem und Variationsproblem Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode Aufgaben 651 Anhang A (Lösungen zu den Aufgaben) 652 Anhang B 674 Bl Ergebnisse verifizieren 674 B2 Spezielle Aufgaben 677 Aufgabe B2.1 Gerader Träger mit Gelenk, mehrfeldrig, statisch unbestimmt 677

9 XIV Inhalt Aufgabe B2.2 Statisch bestimmtes System, schwierig zu entkoppelnde Gleichungen 679 Aufgabe B2.3 3D-Fachwerk, statisch unbestimmt 682 Aufgabe B2.4 Ebener biege- und dehnsteifer Rahmen, hochgradig statisch unbestimmt 684 Aufgabe B2.5 Preidimensionaler Rahmen mit biege-, dehn- und torsionssteifen Elementen, hochgradig statisch unbestimmt 686 Aufgabe B2.6 Nichtlineares Anfangswertproblem, ein Freiheitsgrad, geschwindigkeitsproportionale Dämpfung 688 Aufgabe B2.7 Lineares Anfangswertproblem, zwei Freiheitsgrade, geschwindigkeitsproportionale Dämpfung 691 Aufgabe B2.8 Doppelpendel, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt 693 Aufgabe B2.9 Laufkatze, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt, zeitabhängiges und wegabhängiges Ereignis 697 B3 Finite-Elemente-Methode als Näherungsverfahren 699 B3.1 Ein- bzw. zweidimensionale FEM-Modelle 700 B3.2 Reduktion der Elementlasten, Realisierung der Lagerung 703 B3.3 Kompatibilität und Gleichgewicht 704 B3.4 Die Element-Steifigkeitsmatrix 704 Aufgabe B3.1 Scheibentheorie, Finite-Elemente-Methode, unterschiedliche Elementtypen, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 708 Aufgabe B3.2 Biegetheorie, veränderlicher Querschnitt, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 711 Aufgabe B3.3 Saint-Venantsche Torsion, Torsions-Trägheitsmoment des Rechteckquerschnitts, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 713 Literatur 714 Index 715