Finite-Elemente-Methode

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1 Peter Steinke Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 3., neu bearbeitete Auflage Springer

2 1 Einleitung 1.1 Vorgehensweise bei der FEM Verschiedene Elementtypen Beispiele zur. Finite-Elemente-Methode Beispiel zu nichtlinearen Problemen Beispiele zur Optimierung 11 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Schreibweisen : Vektoren..: Definition eines n dimensionalen Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Ableitung von Vektoren Der Nabla-Vektor Der Gradientenvektor Divergenz und Laplace-Operator Matrizen Definition einer Matrix Rechenregeln Transponierte Matrix, Orthogonale Matrix Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)...: Differentialoperator Tensor höherer Stufe Felder ^ Skalarfelder Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes Das dyadische Feld Lineare Transformation Transformation eines Vektors Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe) Beispiele zur Transformation Funktionale Diskretisierung des Funktionais Dreieckskoordinaten Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Integration in Dreieckskoordinaten Numerische Integration (Quadratur) Numerische Integration für eindimensionale Probleme... 45

3 2.9.2 Numerische Integration in Dreieckskoordinaten Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Definition der Bandbreite Rechenzeiten zur Lösung linearer Gleichungssysteme Positiv definite Matrix Das Verfahren von Cholesky Kondition linearer Gleichungssysteme Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen Näherungsfehler bei der FEM Das Tonti-Diagramm 58 3 Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Verknüpfung der Verschiebungen mit den Dehnungen Das Stoffgesetz Gleichgewichtsbedingungen Randbedingungen Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems Verknüpfung der Grundgleichungen der Elastostatik Das Prinzip virtueller Verrückungen Das Prinzip vom Gesamtpotential 65 4 Das Verfahren von Ritz 4.1 Aufprägen der wesentlichen Randbedingungen Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen Eindimensionale Stabprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten > Beispiel zum eindimensionalen Stab Eindimensionale Balkenprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Scheibenproblem Verschiebungsansätze...? Wesentliche Randbedingungen Dehnungen und Spannungen der Scheibe Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Kragbalken als Scheibenproblem 89

4 XI 5 Stabelemente 5.1 Das eindimensionale Stabelement ' Problemdefinition Das Tonti-Diagramm des Stabes Das Funktional des Stabproblemes Diskretisierung des Funktionais des Stabes Variation des Funktionais Beispiel zum eindimensionalen Stab Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) Übungsbeispiele zum eindimensionalen Stab Variable Querschnittsfläche des Stabelementes Eindimensionales Stabelement mit n Knoten Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten Das zwei-und dreidimensionale Stabelement Das zweidimensionale Stabelement Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem Optimierung eines Stabtragwerkes Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab Das dreidimensionale Stabelement Balkenelemente 6.1 Das eindimensionale Balkenelement Problemdefinition Dehnungen und Spannungen im Balken Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens Funktional des Balkenproblems Formfunktionen des eindimensionalen Balkens." Diskretisierung des Funktionais Variation des diskretisierten Funktionais Bilden der Steifigkeit'smatrix Diskretisierung der Streckenlast Schnittgrößen des Balkenelementes Beispiel zum eindimensionalen Balken Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement Realisierung des Gelenkes über eine Zwangsbedingung Übungsbeispiele zum Bernoulli-Balken Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten 167

5 XII Inhaltsverzeichnis 6.5 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten Balken mit unstetiger Krümmungsverteilung Der Timoshenko-Balken Schnittgrößen beim Timoshenko-Balken Locking-Effect" Übungsbeispiele zum Timoshenko-Balken Der elastisch gelagerte Balken Beispiel zum elastisch gelagerten Balken Zweidimensionales Balkenelement Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens Überlagerung der Dehnungen von Stab und Balken Steifigkeitsmatrix Transformation der Steifigkeitsmatrix Beispiel und Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken Winkelproblem Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken Scheibenproblem 7.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des Scheibenproblems Die Feldgleichungen der Scheibe Das Funktional des Scheibenproblems Diskretisierung des Funktionais Formfunktionen des Dreieckselementes Variation des diskretisierten Funktionais Diskretisierung der Volumenkräfte :.-> Diskretisierung der Streckenlasten Spannungen in der Scheibe Beispiele zum Scheibenproblem Übungsbeispiele zur Scheibe Platten- und Schalenelemente 8.1 Problemdefinition Grundbeziehungen der Platte Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte Kinematische Größen der Platte Krümmungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) Gleichgewichtsbeziehungen der Platte Randbedingungen der Platte Das Funktional der Platte 243

6 XIII 8.4 Anforderungen an das Plattenelement Kompatibilität (konforme Elemente) Starrkörperbewegung Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) Einige Dreiecksplattenelemente Diskretisierung des Funktionais Ansatzfunktion für die Durchbiegung Interpolationsbedingungen Formfunktionen ; Krümmungs-Verschiebungs- Beziehung Steifigkeitsmatrix Flächenlast Streckenlast entlang einer Elementkante Konvergenztest des Plattenelementes : Schalenelement Feldprobleme 9.1 Wärmeübertragung Die Poisson'sche Gleichung ; Randbedingungen Das Funktional der Wärmeübertragung Eindimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Funktional des eindimensionalen Wärmeübertragungsproblems : Diskretisierung des Funktionais Variation des Funktionais Beispiel zur eindimensionalen Wärmeübertragung T Übungsbeispiele: Eindimensionale Wärmeübertragung Zweidimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Randbedingungen bei der zweidimensionalen Wärmeübertragung, Diskretisierung des Funktionais Variation des Funktionais Beispiel zur zweidimensionalen Wärmeübertragung Übungsbeispiele zur zweidimensionalen Wärmeübertragung Torsion von prismatischen Körpern Funktional des Torsionsproblems Analogie - Wärmeübertragung zu Schichtenströmung Problembeschreibung 308

7 XIV Inhaltsverzeichnis Grundgleichungen Analogie der Randbedingungen Analoges Funktional des Strömungsproblems Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Stäben und Balken 10.1 Der eindimensionale Stab Massenmatrix des eindimensionalen Stabes Eigenfrequenzen und Schwingungsformen Beispiele zum eindimensionalen Stab Einmassenschwinger Zweimassenschwinger Der eindimensionale Balken Massenmatrix des eindimensionalen Balkens Beispiele zum eindimensionalen Balken Beidseitig gelenkig gelagerte Balken Kragbalken Übungsbeispiel zur Balkenschwingung IMichtlineare Probleme 11.1 Große Verformungen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Dehnungen für Stab und Balken Stab mit großen Verformungen Balken mit großen Verformungen Knicken von Stäben und Balken Beispiel zum Stabknicken Knickbeispiel I (Stab) Beispiel zum Knicken von Balken Die vier Eulerfälle Knickbeispiel II (Balken) Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) CALLJor.FEM 12.1 Übersicht über CALLJor_FEM Installation von CALLJor.FEM auf dem Rechner Updates zu CALLJor.FEM Lösungen zu den Übungsbeispielen Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons Video-Tutorials als Lernmittel FE-Programme ohne MAPLE nutzbar FEMXAS über den CALL_for_FEM-Server nutzbar 360

8 XV Weitere Lernsoftware zur Unterstützung des Buches Weitere Programmbeschreibungen Das Programm InterFEM Das Verfahren von Ritz für den eindimensionalen Stab (Ritz_Stab) Das Verfahren von Ritz für den Balken (Ritz_Balken) Das Verfahren von Ritz für die Scheibe (Ritz_Scheibe) Eindimensionales Stabelement (Stab.lD) Eindimensionales Balkenelement (BalkenJ.D) Timoshenko-Balken Dreiecksscheibenelement (Scheibe-Dreieck) Plattenelement (Platte) Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken_Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik.Balken) Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme_lD) Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprob!eme_2D) Beispiele zu den Programmen 13.1 Rahmen durch Federn gestützt Scheibe gestützt durch eine Feder Wärmeübertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates) 384 Verwendete Formelzeichen und Symbole 389 Literatur 399 Sachverzeichnis ^ 403 Programme 411

9 Peter Steinke Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 3., neu bearbeitete Auflage K>,'«"' A \ ^J Springer