3. Das Gleichungssystem

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1 Lagerung: Damit das Fachwerk Kräfte aufnehmen kann, muss es gelagert werden, Die Lagerung muss so beschaffen sein, dass keine Starrkörperbewegungen oder Mechanismen mehr möglich sind. Die Verschiebungen an den Lagern sind null. Damit sind die Verschiebungen an den Lagern bekannt, während die Lagerkräfte unbekannt sind. An den übrigen Freiheitsgraden sind die Verschiebungen unbekannt, während die Kräfte bekannt sind. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-1

2 Partitionierung der Matrizen: [u ] [ u s ] Die Verschiebungsmatrix wird unterteilt in die Matrix mit den Verschiebungen an den Lager-Freiheitsgraden und die Matrix [u f ] mit den übrigen, freien Verschiebungen: [u ] [ [ u f ] [u s ] ] Auf die gleiche Weise wird die Lastmatrix unterteilt: [ F ] [ [ F f ] [ F s ] ] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-2

3 Beispiel: y x ]=[ ]=[ F 2 x F F, [ F s, [ y] F 4 y f F 6 x F 7 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM [u s ]=[u 1 x u 1 y u 5 x u 5 y] 1 x F 1 y F 5 x F 5 y] x u [u 4 y f ]=[u2 y] u 6 x u 7

4 Die Steifigkeitsmatrix wird in vier Teilmatrizen unterteilt: [ K ff ] Matrix enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen und Spalten den freien Freiheitsgraden entsprechen. [ K fs ] [ K ] [ [ K ff ] [ K fs ] [ K fs ] T [ K ss ] ] Matrix enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen den freien Freiheitsgraden und deren Spalten den Lager-Freiheitsgraden entsprechen. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-4

5 Matrix enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen und Spalten den Lager-Freiheitsgraden entsprechen. Damit lautet die Gleichgewichtsbedingung: Bekannt sind die Verschiebungen und die äußeren Kräfte. Gesucht sind die Verschiebungen und die Lagerkräfte. [ F s ] [ K ss ] [ F f ] [ [ K ff ] [ K fs ] [ K fs ] T [ K ss ] ][ [ u f ] [u s ] ] = [ [ F f ] [ F s ] ] [ u s ]=[0 ] [ u f ] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-5

6 Das Gleichungssystem: Aus der Gleichgewichtsbedingung folgen die beiden Gleichungssysteme Durch Lösen des Gleichungssystems können die Verschiebungen [u f ] ermittelt werden. Anschließend lassen sich die Lagerkräfte aus berechnen. [ K ff ] [ u f ]=[ F f ] und [ K fs ] T [u f ]=[ F s ] [ F s ]=[ K fs ] T [u f ] [ K ff ] [u f ]=[ F f ] [ F s ] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-6

7 Wenn durch die Lagerung nicht alle Starrkörperbewegungen verhindert werden, dann hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung. ] r Ist [u f eine durch die Lagerung nicht verhinderte Starrkörperbewegung und eine Lösung, dann ist wegen [ u f ] r [ K ff ] [u f ]=[0] auch r [ u f ]=[u f ] [u f ] eine Lösung: r [ K ff ] [ u f ]=[ K ff ] [u f ] [ K ff ] [u f ]=[ F f ] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-7

8 Damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, muss die Lagerung mindestens statisch bestimmt sein. Sie darf auch statisch unbestimmt sein. Wenn durch die Lagerung alle Starrkörperbewegungen verhindert werden, dann gilt [u f ] T [ K ff ] [u f ] 0 für alle [u f ] Eine Matrix, die diese Bedingung erfüllt, wird als positiv definit bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-8

9 Gleichungslösung: 3. Das Gleichungssystem Das Gleichungssystem kann entweder direkt oder iterativ gelöst werden. Die gebräuchlichen direkten Verfahren arbeiten mit einer Dreieckszerlegung der Matrix, z.b. [ L ] [ K ff ] [ u f ]=[ F f ] [ K ff ]=[ L ] [ D ] [ L ] T Dabei ist eine untere Dreiecksmatrix mit 1-Elementen auf der Diagonalen und [ D ] eine Diagonalmatrix. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.3-9

10 Dreieckszerlegung: 3. Das Gleichungssystem [ L L 31 L L n 1 L n 2 L n 3 1] [ D1 [ D D D D n] L 21 D 1 D L 31 D 1 L 32 D 2 D 3 0 L n1 D 1 L n 2 D 2 L n 3 D 3 D n] [1 [ K L21 L31 Ln L 32 L n 2 ] L n K 12 K 13 K 1 n K 21 K 22 K 23 K 2 n K 31 K 32 K 33 K 3 n K n 1 K n2 K n 3 K nn] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

11 Spalte 1: D 1 =K 11 L 21 D 1 =K 21 L 21 =K 12 / D 1 L 31 D 1 =K 31 L 31 =K 31 / D 1 L n1 D 1 =K n1 L n1 =K n1 / D 1 Spalte 2: L 2 21 D 1 D 2 =K 22 D 2 =K 22 L 2 21 D 1 L 31 L 21 D 1 L 32 D 2 =K 32 L 32 = K 32 L 31 L 21 D 1 / D 2 L 41 L 21 D 1 L 42 D 2 =K 42 L 42 = K 42 L 41 L 21 D 1 / D 2 L n 1 L 21 D 1 L n2 D 2 =K n 2 L n 2 = K n 2 L n1 L 21 D 1 / D 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

12 Allgemeine Spalte k: k 1 j=1 L kj k 1 2 D j D k =K kk D k =K kk j=1 L 2 kj D j k 1 l k : j=1 L lj L kj D j L lk D k =K lk L lk = k 1 K lk j=1 L lj L kj D j / D k Der Algorithmus bricht ab, wenn eines der Diagonalelemente null wird. Das tritt dann auf, wenn Starrkörperbewegungen möglich sind. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

13 Nach der Dreieckszerlegung kann das Gleichungssystem durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden. Vorwärtseinsetzen: [ L ] [ y ]=[ F f ] Das Gleichungssystem lässt sich sukzessive, beginnend mit der ersten Zeile, lösen. Skalieren: [ z ]=[ D ] 1 [ y ] Rückwärtseinsetzen: [ L ] T [ u f ]=[ z ] Das Gleichungssystem lässt sich sukzessive, beginnend mit der letzten Zeile, lösen. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

14 Element-Ergebnisse: 3. Das Gleichungssystem Wenn die Verschiebungen bekannt sind, lassen sich weitere Ergebnisse für die Stabelemente berechnen. Dehnungen: 1 2 x E u 1 u 2 Im Elementkoordinatensystem gilt: = L L = u 2 u 1 L Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

15 In Matrix-Schreibweise lautet diese Gleichung: = 1 L [ 1 1 ] [ u 1 u 2] Die Matrix wird als Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix bezeichnet. Spannungen: [ B E ] E = [ B E ] E [u E ] E Die Spannungen werden über das Hookesche Gesetz aus den Dehnungen berechnet: =E Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM

16 Stabkräfte: 3. Das Gleichungssystem Die Stabkräfte werden aus den Spannungen berechnet: F = A Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM