Grundlagen des Leichtbaus
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- Angelika Tiedeman
- vor 6 Jahren
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1 Horst Kossira Grundlagen des Leichtbaus Einführung in die Theorie dünnwandiger stabförmiger Tragwerke Springer
2 Inhalt s Verzeichnis Teil I: Theorie Vorwort Abkürzungen Bezeichnungen 1 Einführung 1 2 Lineare Ela'stizitätstheorie Voraussetzungen Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie Differentialgleichungen des Gleichgewichtes Statische Beziehungen im Körperinneren (SS) Ebener Fall Erweiterung auf den Raum Statische Beziehungen an einem Schnitt bzw. am Rand (SSS) Ebener Fall (Dicke "1") Erweiterung auf den Raum Randbedingung der Kräfte (KRB) Spannungsfelder, Airysche Spannungsfunktion, Spannungsansätze Spannungsfelder <r Airysche Spannungsfunktion. $ Pascalsches Dreieck als Hilfsmittel für Spannungsbzw. Verschiebungsansätze in Polynomform Differentialgleichungen der Kinematik (KVV) Verschiebungs-Verzerrungsbeziehungen Ebener Fall Erweiterung auf den Raum 30 vii xvi xix xxi
3 Kompatibilitäts- bzw. Verträglichkeitsbeziehungen Ebener Fall Erweiterung auf den Raum Randbedingungen für die Verschiebungen (GRB) Stoffgesetze Homogene, isotrope Stoffe im dreidimensionalen Raum Ebene Zustände bei homogenem, isotropem Material Ebener Dehnungszustand (e z = j yz = j z x = 0) Ebener Spannungszustand (<r z = j yz = f zx = 0) Anisotrope Stoffe Anwendung der Grundgleichungen auf die Scheibe Lösungsschema, Schnittgrößen, Ausgangsgleichungen Lösungsweg bei Anwendung der Gleichungen für den ebenen Spannungszustand (<r z = 0, isotroper Werkstoff) Kraftmethode: (gesucht sind die DGL'n der Spannungen) Anwendung der Airyschen Spannungsfunktion Deformationsmethode: (gesucht sind die DGL'n der Verschiebungen) Lösungsweg bei Anwendung der Gleichungen für den ebenen Dehnungszustand (e z = 0, isotroper Werkstoff) Deformationsmethode Kraftmethode Anmerkungen und Zusammenfassung Anwendung der Grundgleichungen bei Torsion St. Venantsche Torsionstheorie Kinematische Zusammenhänge (KW) Stoffgesetz, Spannungs- Verschiebungsbeziehungen Gleichgewichtsbeziehungen (SS) Prandtlsche Torsionsfunktion Ermittlung der Kompatibilitätsbedingungen Gleichgewichtsbeziehungen (SS) Randbedingungen auf der Zylinderoberfläche Spannungen im Stabquerschnitt (yz-ebene) Schnittkräfte bzw. Randbedingungen an den Stabenden Membrananalogie Ermittlung der Schubspannungsverteilung in einigen zylindrischen Vollquerschnitten Anhang: Transformation von Koordinaten, Vektoren und Tensoren zweiter Stufe Übergang von der Vektor- bzw. Matrixschreibweise zur Indexschreibweise 73
4 2.5.2 Koordinatentransformation, Transformation eines Ortsvektors, einer Strecke, eines Winkels Transformation der Spannungen Dyadisches Produkt und der Begriff des Tensors Transformation des dyadischen Produktes bzw. des Tensors 2. Stufe Eigenschaften eines Tensors 2. Stufe Transformation der Verzerrungen 92 3 Stabförmige Tragwerke Definitionen und Grundlagen Begriffsbestimmung und Voraussetzungen für stabförmige Tragwerke Lösungsablauf beim Berechnen von stabförmigen Tragwerken Spannungen in dünnwandigen, stabförmigen Tragwerken (SS) Kraftflüsse Gleichgewicht an einem dünnwandigen Element (SS) Zusammenhang zwischen Spannungen und Schnittgrößen an den Schnittflächen eines stabförmigen Tragwerkes (SSS) Schnittgrößen am Vollquerschnitt (SSS) Schnittgrößen an offenen oder geschlossenen dünnwandigen Querschnitten (SSS) Gleichgewicht von äußeren Lasten und Schnittlasten an einem stabförmigen Element (SSL) Allgemeine Betrachtung der kinematischen Bedingungen an stabförmigen Tragwerken (KW) Betrachtung des Querschnittes Wölbkoordinate u bei offenen, dünnwandigen Querschnitten Betrachtung des kinematischen Verhaltens eines Querschnittes bei Drillung Definition des Schubmittelpunktes (Momentan(dreh)poles) Betrachtung eines Hautelementes Definition von v ( beim Vorliegen eines Allgemeinen Koordinatensystems Flächenintegrale (Aus der Geometrie der stabförmigen Tragwerke und der Wahl des Koordinatensystems resultierende Zusammenhänge) Flächenintegrale ohne Wölbanteil Allgemeines Koordinatensystem (AG-KOS: (x,y,z)) Schwerpunkt-Koordinatensystem (SP-KOS: {x,y,t)) Hauptachsen-Koordinatensystem (HA-KOS: (x,y,z)) bei Biegung ohne Wölbbeanspruchung 149
5 xü Inhaltsverzeichnis Hierarchie der Flächenintegrale der yz-koordinaten ohne Wölbanteil Hierarchie und Systematik der Flächenintegrale Flächenintegrale mit Wölbanteil Ermittlung der Verwölbung Normierte Wölblkoordinate (Einheitsverwölbung), Ermittlung von wo Transformation der Verwölbung bei Änderung des Poles Normierte Flächenintegrale zweiter Ordnung Hauptkoordinaten Ermittlung des Schubmittelpunktes für offene Profile (SM) Ermittlung des kleinsten Wölbwiderstandes Abschließende Bemerkungen Elementare Torsionstheorie (ETT) nach B. de St. Venant für dünnwandige stabförmige Tragwerke Torsion einer Welle mit Kreisquerschnitt Lösung des Spannungsproblems für eine einzellige dünnwandige Röhre (SS und SSS) Kinematische Zusammenhänge bei geschlossenen und offenen (Hohl-) Querschnitten (KW) und ihre Verknüpfung mit der Schnittkraft..\ Ermittlung der Wölbfunktion für geschlossene und offene Querschnitte Wölbfunktion für geschlossene Querschnitte Zwangsfreie Drillung um den SMg (W = u(s) uo) Wölbfunktion für offene Querschnitte Zwangsfreie Drillung um den SM (W = u(s) UQ) Ermittlung des spezifischen Drillwinkels ~d für einzellige geschlossene Querschnitte bei zwangsfreier Drillung Verwölbungsfreie, sogenannte Neubersche (Zylinder-) Schalen Abschätzung der Verwölbung eines Rechteckquerschnittes ohne Wölbbehinderung Betrachtungen zur Torsion eines dünnwandigen Querschnittes mit Wölbbehinderung (Feste Einspannung) Torsion einer mehrzelligen Röhre Zwangsfreie Drillung nicht kreisförmiger Vollquerschnitte - (Näherung für b ><) Elementare Biegetheorie, "EBT" (Navier-Biegetheorie) Voraussetzungen, Abgrenzungen, Gültigkeit 219
6 3.3.2 Grundgleichungen der EBT Betrachtungen zur Kinematik der Biegetheorie (KW) Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen (KW) Betrachtungen zum Gleichgewicht Ermittlung der Spannungen in einem Schnitt Ermittlung der Normalspannungen in einem Schnitt Allgemeines Koordinatensystem (AG-KOS) Schwerpunkt-Koordinatensystem (SP-KOS) Hauptachsen-Koordinatensystem (HA-KOS) Ermittlung der Schub-Spannungen bzw. des Schubflusses in dünnwandigen zylindrischen Querschnitten Ermittlung der Biegelinie (Elastizitätsgesetze der EBT) Die durch Dehnung entstehende Biegelinie Abschätzung des Einflusses der Schubdeformation Schubflußverteilung in offenen Querschnitten Hydrodynamische Analoga Momentenäquivalenz und ihre Anwendung zur Bestimmung von Schubmittelpunkten Ermittlung des Schubmittelpunktes offener Querschnitte (SM) Ermittlung des Schubmittelpunktes geschlossener Querschnitte (SMg) Schubflußverteilung in geschlossenen Hohlquerschnitten Einzellige geschlossene Querschnitte Mehrzellige geschlossene Querschnitte Schubfeldträger Rechteckfeld Parallelogrammfeld Trapezfeld Allgemeines Viereckfeld Offene Schubfeldträger Geschlossene Schubfeldträger Bemerkungen zur Zugfeldtheorie Dünnwandige Querschnitte unter Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion (EWT) Voraussetzungen, physikalisches Verhalten Kinematische Beziehungen (KW) Gleichgewichtsbedingungen Stoffgesetz Ermittlung der Spannung in einem Schnitt Normalspannungen Schubspannungen 342
7 xiv Inhaltsverzeichnis Grundgleichungen der Wölbkrafttorsion Bestimmung von M x & und (T X aus Torsionsbeanspruchung Abschätzung der Spannungen in einem Schnitt für geschlossene, dünnwandige, einzellige Querschnitte Anhang Energietheoreme der Elastomechanik Voraussetzungen Begriff der Arbeit und der virtuellen Arbeit Arbeit und Ergänzungsarbeit (komplementäre oder konjugierte Arbeit) Arbeit W und virtuelle Arbeit öw Verallgemeinerung Ergänzungsarbeit W* (nach Engesser) und virtuelle Ergänzungsarbeit 8W* Verallgemeinerung Satz von Betti Satz von Maxwell (Betti-Maxwellsches Reziprozitäts-Theorem) Formänderungsenergie und Ergänzungs-Formänderungsenergie (komplementäre Formänderungsenergie) Formänderungsenergie U c und virtuelle Formänderungsenergie 6U t Komplementäre Formänderungsenergie U* und virtuelle komplementäre Formänderungsenergie SU* Folgerungen Folgerungen aus den Ableitungen über Arbeit und Formänderungsenergie Folgerungen aus den Ableitungen über komplementäre Arbeit und komplementäre Formänderungsenergie Prinzipe der Virtuellen Verrückungen (PW) und der Virtuellen Kräfte (PVK) Prinzip der Virtuellen Verrückungen (PW) bzw. Prinzip der Virtuellen Arbeit Prinzip der Virtuellen Kräfte (PVK) bzw. Prinzip der Virtuellen Komplementären Arbeit Ableitung weiterer Energie - Theoreme aus dem PW und PVK Theoreme der Einheitsverschiebung (EVT) und der Einheitslast (ELT) Anwendungsbeispiele für das Einheitslasttheorem ^(ELT) Statisch bestimmte Systeme Statisch überbestimmte Systeme Theoreme bzw. Sätze von Castigliano (Engesser) 403
8 4.7.3 Theoreme vom Stationären Wert der Potentiellen Gesamtenergie Prinzip vom Stationären Wert der Gesamten Potentiellen Energie (Satz vom Minimum des Elastischen Gesamtpotentiales) Prinzip vom Stationären Wert der Gesamten Komplementären Potentiellen Energie (Satz vom Minimum des Komplementären Elastischen Gesamtpotentiales) Satz vom Minimum des (Linear-) Elastischen Gesamtpotentiales Satz vom Minimum des Komplementären (Linear-) Elastischen Gesamtpotentiales Theoreme vom Minimum der Formänderungsenergie und der komplementären Formänderungsenergie der Gesamtverformung Theorem vom Minimum der Formänderungsenergie der Gesamtverformung Theorem vom Minimum der komplementären Formänderungsenergie der Gesamt Verformung Abschließende Bemerkungen Anhang 418 Teil II: Beispiele zur Theorie und Anwendungen 1 Einführung Vorgehen bei der Idealisierung Anwendungsbeispiele Ermittlung von Luftkräften Ermittlung äußerer Lasten Anwendung der linearen Elastizitätstheorie auf die Scheibe Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Spannungsproblem Verschiebungs-Verzerrungsproblem Spannungs-Verzerrungsproblem Vergleich: Scheibe-Kragbalken Vergleich: Scheibe-Beidseitig gelenkig gelagerter Biegebalken Definitionen und Grundlagen der geometrischen Beschreibung von Querschnitten Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Fragen zum Verständnis.... : 488
9 3.2 Elementare Torsionstheorie (ETT) nach B. de St. Venant für dünnwandige, stabförmige Tragwerke Dünnwandige, geschlossene Querschnitte Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Dünnwandige, offene Querschnitte Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Elementare Biegetheorie (EBT) Biegelinie und Normalspannungen Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Schubflußberechnung für offene Querschnitte Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Schubflußberechnung für geschlossene einzellige Querschnitte Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Schubflußberechnung für geschlossene mehrzellige Querschnitte Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgaben Allgemeiner Vierecks-Schubfeldträger (SFT) Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Aufgabe Anwendungsbeispiele Abschätzung der Beanspruchung des Querschnittes eines Flugzeugrumpfes Schnittkräfte am Rumpf eines Flugzeuges infolge der Lasten aus gepfeilten Tragflächen Wölbkrafttorsion Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Annahmen und Voraussetzungen Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion Aufgaben : Energietheoreme Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen Einheitsverschiebungstheorem und Einheitslasttheorem Theoreme von Castigliano I und II Anwendung der Integraltabelle Statisch bestimmte Systeme Aufgabe Lösung mit Hilfe des ELT Lösung mit Hilfe von Castigliano II 643
10 4-3 Äußerlich statisch überbestimmte Systeme Aufgabe Innerlich statisch überbestimmte Systeme Aufgabe Anwendungsbeispiele Regal Doppeldecker Schubfeldträger 668 Literatur 675 Sachwortverzeichnis 677
Inhaltsverzeichnis. Teil I. Lehrbuch
Teil I. Lehrbuch 1. Spannungen... 3 1.1 Der Spannungsvektor. Normal- und Schubspannungen... 3 1.1.1 Gleichheit zugeordneter Schubspannungen... 5 1.2 Der allgemeine räumliche Spannungszustand... 7 1.2.1
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