Finite- Elemente-Methoden

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1 Klaus-Jürgen Bathe 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Finite- Elemente-Methoden Aus dem Englischen von Peter Zimmermann 2., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 446 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Eine Einführung in den Gebrauch von Finite-Elemente-Verfahren Einführung Physikalische Probleme, mathematische Modelle und die Finite- Elemente-Lösung Finite-Elemente-Berechnung als integraler Bestandteil rechnergestützten Konstruierens (CAD) Ein Vorschlag zum Studium von Finite-Elemente-Methoden Vektoren, Matrizen und Tensoren Einführung Einführung in die Matrizenrechnung Vektorräume Definition von Tensoren Das symmetrische Eigenproblem A v = Av Der RAYLEiGHSche Quotient und die Minimax-Kennzeichnung von Eigenwerten Vektor- und Matrixnormen Übungsaufgaben 89 Einige Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen Einführung Lösung mathematischer Modelle diskreter Systeme Stationäre Probleme Ausbreitungsprobleme Eigenwertprobleme Über das Wesen von Lösungen Übungsaufgaben Lösung mathematischer Modelle von Kontinuumssystemen Differentielle Formulierung Variationsformulierungen Verfahren der gewichteten Residuen; RiTZsches Verfahren 140

3 X Inhaltsverzeichnis Ein Überblick: Differentielle und GALERKIN- Formulierungen, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und eine Einführung in Finite-Elemente- Lösungen Differentielle und energetische Finite-Differenzen- Verfahren Übungsaufgaben Zwangsbedingungen Eine Einführung in die Methode der LAGRANGESchen Multiplikatoren und das Strafverfahren Übungsaufgaben 175 Formulierung der Methode der finiten Elemente Einführung Formulierung der verschiebungsbezogenen Finite-Elemente- Methode Allgemeine Ableitung der Finite-Elemente- Gleichgewichtsbeziehungen Vorgabe von Verschiebungsrandbedingungen Verallgemeinerte Koordinatenmodelle für besondere Probleme Konzentration von Struktureigenschaften und Lasten Übungsaufgaben Konvergenz von Rechenergebnissen Das Modellproblem und eine Konvergenzdefinition Kriterien für monotone Konvergenz Die monoton konvergente Finite-Elemente-Lösung: Eine RiTZsche Lösung Eigenschaften der Finite-Elemente-Lösung Konvergenzrate Spannungsberechnung und Fehlerbewertung Übungsaufgaben Inkompatible und gemischte Finite-Elemente-Modelle Inkompatible verschiebungsbezogene Modelle Gemischte Formulierungen Gemischte Interpolationen - Verschiebungs-/ Druckformulierungen für inkompressible Berechnungen Übungsaufgaben Die inf-sup-bedingung Die aus Konvergenzbetrachtungen abgeleitete inf-sup-bedingung Die von den Matrixgleichungen abgeleitete inf-sup-bedingung Die konstante (physische) Druckmode 367

4 r Unechte Druckmoden - Der Fall vollkommener Inkompressibilität Unechte Druckmoden - Der Fall annähernder Inkompressibilität Der inf-sup-test Eine Anwendung auf Strukturelemente: Isoparametrische Balkenelemente Übungsaufgaben 391 XI Formulierung und Berechnung von isoparametrischen Finite- Elemente-Matrizen Einführung Isoparametrische Ableitung der Steifigkeitsmatrix eines Stabelements Formulierung von Kontinuumselementen Viereckige Elemente Dreieckselemente Konvergenzbetrachtungen Element-Matrizen im globalen Koordinatensystem Verschiebungs-/Druckbezogene Elemente für inkompressible Medien Übungsaufgaben Formulierung von Strukturelementen Balkenelemente und axialsymmetrische Schalenelemente Platten- und allgemeine Schalenelemente Übungsaufgaben Numerische Integration Interpolation mit einem Polynom NEWTON-CoTES-Quadratur (eindimensionale Integration) GAUss-Quadratur (eindimensionale Integration) Integration in zwei und drei Dimensionen Geeignete Ordnung der numerischen Integration Reduzierte und selektive Integration Übungsaufgaben Implementierung eines Computerprogramms für isoparametrische finite Elemente 562 Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen in der Festkörper- und Strukturmechanik Einführung in nichtlineare Berechnungen Formulierung der inkrementellen Bewegungsgleichungen der Kontinuumsmechanik Das Grundproblem 584

5 _ XII Inhaltsverzeichnis Der Deformationsgradient, Verzerrungs- und Spannungstensoren Inkrementelle totale und fortgeschriebene LAGRANGEsche Formulierungen der Kontinuumsmechanik. Nur materiell nichtlineare Berechnungen Übungsaufgaben Verschiebungsbezogene isoparametrische finite Kontinuumselemente Linearisierung des Prinzips, der virtuellen Arbeit bezüglich Finite-Elemente-Variablen Allgemeine Matrixgleichungen verschiebungsbezogener Kontinuumselemente Stab- und Seilelemente Zweidimensionale Elemeilte für Axialsymmetrie sowie für den ebenen Verzerrungs- und Spannungszustand Dreidimensionale Festkörperelemente Übungsaufgaben Verschiebungs-/Druckformulierungen für große Deformationen Totale LAGRANGEsche: Formulierung Fortgeschriebene LAGRANGEsche Formulierung Übungsaufgaben Strukturelemente Balkenelemente undiaxialsymmetrische Schalenelemente Plattenelemente und; allgemeine Schalenelemente Übungsaufgaben Verwendung konstitutiver.beziehungen Elastisches Materialverhalten - Verallgemeinerung des HooKEschen Gesetzes Gummiartiges Materialverhalten Nichtelastisches Materialverhalten; Elastoplastizität, Kriechen und Viskoplastizität Elastoplastizität bei großen Verzerrungen Übungsaufgaben Kontaktzustand Kontinuumsmechanische Gleichungen Ein Lösungsweg fürikontaktprobleme: Die Methode der Zwangsfunktion Übungsaufgaben Einige praktische Überlegungen Der allgemeine Zugang zu nichtlinearen Berechnungen Berechnung von Versagen, Knicken und Beulen Die Auswirkungen von:element-verzerrungen 754

6 XIII Die Auswirkungen der Ordnung der numerischen Integration Übungsaufgaben Finite-Elemente-Berechnungen von Wärmeübertragungs- und Feldproblemen Einführung Berechnung von Wärmeübertragungsproblemen Beherrschende Wärmeübertragungsgleichungen Inkrementelle Gleichungen Finite-Elemente-Diskretisierungen von Wärmeübertragungsgleichungen Übungsaufgaben Berechnung von Feldproblemen Sickerströmungen Inkompressible reibungsfreie Strömung Torsion Akustisches Fluid Übungsaufgaben Berechnung von Strömungen zäher inkompressibler Fluide Gleichungen der Kontinuumsmechanik Beherrschende Finite-Elemente-Gleichungen Strömungen mit großen REYNOLDS- und PECLET-Zahlen Übungsaufgaben Lösung von Gleichgewichtsbeziehungen in statischen Berechnungen Einführung Direkte Lösungen mit Algorithmen auf Grundlage der GAUssschen Elimination Einführung in die GAUSSSche Elimination Die LDL T -Lösung Computer-Implementierung der GAussschen Elimination - Die aktive Spaltenlösung Faktorenzerlegung nach CHOLESKY, statische Kondensation, Substrukturen und frontale Lösung Positive Definiertheit, positive Semidefiniertheit und die Eigenschaft der STURMschen Folge Lösungsfehler Übungsaufgaben Iterative Lösungsmethoden Die GAUSS-SEiDEL-Methode Konjugierte Gradientenmethode mit Präkonditionierung Übungsaufgaben Lösung nichtlinearer Gleichungen 896

7 . XIV Inhaltsverzeichnis NEWTON-RAPHSON-Schemata Die BFGS-Methode Last-Verschiebungs-Zwangsmethoden Konvergenzkriterien Übungsaufgaben Lösung von Bewegungsgleichungen in kinetischen Berechnungen Einführung Direkte Integrationsmethoden Die zentrale Differenzenmethode Die HouBOLT-Methode Die WiLSONSche ö-methode Die NEWMARK-Methode Verbindung verschiedener Integrationsoperatoren Übungsaufgaben Modenüberlagerung Wechsel der Basis zu modalen generalisierten Verschiebungen Berechnung bei Vernachlässigung von Dämpfung Berechnung unter Berücksichtigung von Dämpfung Übungsaufgaben Analyse von direkten Integrationsmethoden Näherung für die direkte Integration und Lastoperatoren Stabilitätsuntersuchung Genauigkeitsuntersuchung Einige praktische Überlegungen Übungsaufgaben Lösung nichtlinearer Gleichungen in kinetischen Berechnungen Explizite Integration Implizite Integration Lösung mittels Modenüberlagerung Übungsaufgaben Lösung von Nicht-Strukturproblemen; Wärmeübertragung und Fluidströmungen Die a-methode der Zeitintegration Übungsaufgaben Vorbemerkungen zur Lösung von Eigenproblemen Einführung Grundlegendes für die Lösung von Eigensystemen Eigenschaften der Eigenvektoren Die charakteristischen Polynome des Eigenproblems K<p = AM<p und seiner zugeordneten Zwangsprobleme Verschieben (Shifting) 1014

8 XV Wirkung von Null-Massen Transformation des verallgemeinerten Eigenproblems K(p = AM cp auf eine Standardform Übungsaufgaben Näherungslösungsverfahren Statische Kondensation Berechnung nach RAYLEIGH-RITZ Synthese von Komponentenmoden Übungsaufgaben Lösungsfehler Fehlerschranken Übungsaufgaben Lösungsverfahren für Eigenprobleme Einführung Vektoriterationsverfahren Inverse Iteration Vorwärtsiteration Verschieben in der Vektoriteration Iteration des RAYLEiGHschen Quotienten Matrixentleerung und GRAM-ScHMiDTSche Orthogonalisierung Einige praktische Überlegungen zur Vektoriteration Übungsaufgaben Transformationsverfahren Die jacobische Methode Die verallgemeinerte JACOBische Methode Die inverse QR-Iterationslösung nach HOUSEHOLDER Übungsaufgaben Polynom-Iterationsverfahren und Verfahren mit STURMSchen Folgen Explizite Polynomiteration Implizite Polynomiteration Von der Eigenschaft der STURMSchen Folge ausgehende Iteration Übungsaufgaben Das Iterationsverfahren nach LANCZOS Die LANCZOS-Transformation Iteration mit LANCZos-Transformationen Übungsaufgaben Die Unterraum-Iterationsmethode Vorüberlegungen Unterraum-Iteration Start-Iterationsvektoren 1148

9 XVI Inhaltsverzeichnis Konvergenz Implementierung der Unterraum-Iterationsmethode Übungsaufgaben Implementierung der Finite-Elemente-Methode Einführung Organisation des Rechnerprogramms zur Berechnung von Systemmatrizen Einlesen von Knotenpunkt-und Element-Informationen Berechnung von Element-Steifigkeits- und Element- Massenmatrizen sowie äquivalenten Knotenlasten Gruppierung von Matrizen Berechnung von Element-Spannungen Das Musterprogramm STAP Dateneingabe zum Rechnerprogramm STAP Ausdruck des Programms STAP Übungsaufgaben und Projekte Übungsaufgaben Projekte 1209 Literaturverzeichnis 1213 Sachverzeichnis 1233