Jürgen Dankert, Helga Dankert. Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik

Transkript

1 Jürgen Dankert, Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik

2 Jürgen Dankert, Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik 4. korrigierte und ergänzte Auflage Mit 1070 Abbildungen, 77 Tabellen sowie 390 Übungsaufgaben mit Lösungen und zahlreichen weiteren Aufgaben im Internet

3 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Helga Dankert, geb. 1939, von 1957 bis 1963 Studium des Maschinenbaus an der Technischen Hochschule Magdeburg, 1967 Promotion zum Dr.-Ing. Von 1971 bis 1981 Dozentin für Technische Mechanik an der TH Magdeburg, 1981 bis 1986 verschiedene Tätigkeiten in der Industrie (Vakoma, Hewlett-Packard). Ab 1986 Professorin für Technische Mechanik an der HAW Hamburg, seit 2002 im Ruhestand. Prof. Dr.-Ing. habil. Jürgen Dankert, geb. 1941, von 1961 bis 1966 Studium des Maschinenbaus an der Technischen Hochschule Magdeburg, 1971 Promotion zum Dr.-Ing., 1979 Habilitation. Von 1974 bis 1981 Leiter eines Entwicklungsteams für ein FEM-Programmsystem, ab 1981 Industrietätigkeit (Takraf, Hewlett-Packard). Ab 1987 Professor für Technische Mechanik an der FH Frankfurt/Main, seit 1990 Professor für Informatik an der HAW Hamburg. 1. Auflage Auflage Auflage , korrigierte und ergänzte Auflage Januar 2006 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

4 Vorwort In keinem anderen Fach muss dem Studenten so früh und so umfassend der gesamte schwierige Weg der Lösung von Ingenieur-Aufgaben zugemutet werden wie in der Technischen Mechanik. Er muss Probleme analysieren, das Wesentliche erkennen und ein reales Objekt in ein physikalisches Modell überführen. Das sich daraus ergebende mathematische Problem muss gelöst werden, und die Deutung der Ergebnisse, die wieder den Zusammenhang zum realen Objekt herstellt, schließt den Kreis. Auf einem besonders schwierigen Teilstück dieses Weges ist der Computer zu einem außerordentlich starken Helfer geworden. Die Zeit, die früher dem mühsamen Einüben von Lösungsalgorithmen geopfert werden musste, steht heute für die Problemanalyse und das Studium des Grundlagenwissens zur Verfügung, das Trainieren der (so eleganten wie aufwendigen) graphischen Verfahren gehört der Vergangenheit an. Bei der angemessenen Aufbereitung der Ergebnisse (Diagramme, Funktionsverläufe, Verformungsbilder,...) ist der Computer ohnehin konkurrenzlos. Die ersten Auflagen dieses Buchs hießen deshalb "Technische Mechanik, computerunterstützt". Den Zusatz haben wir ab der 3. Auflage weggelassen, um die heute wohl berechtigte Frage zu vermeiden: "Ja, wie denn sonst?". Der Computer und das Internet sind so selbstverständliche Begleiter des täglichen Lebens (und natürlich des Studiums) geworden, dass sie nicht gesondert erwähnt werden müssen. Aber der Computer bleibt für den Ingenieur nur ein Werkzeug. Die eigentlichen Schwierigkeiten, die im Erfassen der Zusammenhänge, dem Beherrschen von Methoden zur Analyse und Lösung von Problemen liegen, kann er ihm nicht abnehmen. Er kann ihn aber von dem Ballast befreien, dessen Bewältigung früher häufig so dominierend war, dass der Lernende nicht mehr zum Kern des Problems vordringen konnte. Der Ingenieur in der Praxis mit den "nicht-akademischen Problemen" stand sogar oft vor unüberwindlichen Schwierigkeiten. Auf keinen Fall darf man das Verstehen der Zusammenhänge durch das Erlernen des Umgangs mit der Benutzeroberfläche eines Rechenprogramms ersetzen, im Gegenteil: Man sollte den Zeitgewinn, den der Computer verschafft, gerade für die intensive Auseinandersetzung mit den häufig nicht ganz einfachen Problemen nutzen. Dieser Zeitgewinn ergibt sich genau (aber auch erst) dort, wo nach der Analyse der mechanischen Probleme und der Formulierung des physikalisch-mathematischen Modells der aufwendige, aber formale Teil der mathematischen Lösung abgearbeitet werden muss. Ein angenehmer Nebeneffekt ist, dass der Zwang zur Beschränkung auf die einfachen Probleme, die der Handrechnung zugänglich sind, entfällt. Der Student kann praxisnahe Probleme lösen, dem Ingenieur in der Praxis wird damit unmittelbar geholfen. Schwierig bleibt es allemal, aber die Mühe lohnt sich. Problemanalyse und Modelldefinition, Mathematisierung, Anwendung eines Schnittprinzips sind nur wenige Beispiele für Strategien, die der Ingenieur universell anwendet und nicht intensiv genug trainieren kann. Die Verfügbarkeit extrem leistungsfähiger Software rückt ein in der Vergangenheit oft stark vernachlässigtes Problem in den Vordergrund, das Verifizieren von Ergebnissen. Wir greifen

5 VI Vorwort deshalb im Anhang B, in dem wir einen kleinen Ausblick auf die "Mechanik jenseits des Grundkurses" geben, dieses Problem an jedem geeigneten Beispiel auf. Die Rückmeldungen, die wir zu diesem Problem von Fachkollegen bekamen, bestätigten uns, dass hier ein ganz wichtiges Thema angesprochen wird. Wir haben deshalb speziell auf unserer Internetsite zahlreiche Ergänzungen unter Berücksichtigung dieses Aspekts veröffentlicht. Mit der vorliegenden 4. Auflage versuchen wir, das mit der 3. Auflage begonnene Zusammenspiel "Lehrbuch und Internet" auf eine neue Stufe zu heben. Das Lehrbuch enthält nach wie vor alle Themen, die üblicherweise im Grundkurs Technische Mechanik behandelt werden und geht an einigen Stellen auch darüber hinaus. Überall dort, wo sich Vertiefungen, Erweiterungen, Ergänzungen anbieten, wollen wir den "Abzweig ins Internet" anbieten. Der Leser findet eine Reihe von solchen Verzeigungspunkten deutlich gekennzeichnet im Text, aber auch hier gilt: Es wird ständig erweitert und ergänzt. Den Studenten, die nach dem Grundkurs in Vertiefungsfächern oder bei Problemen aus der Praxis merken, dass sie noch tiefer in bestimmte Themen eindringen müssen, soll auf diesem Wege geholfen werden. Die im Vorwort übliche Danksagung kann auch für diese Auflage kurz ausfallen. Der Inhalt entstammt unseren eigenen Vorlesungen, wir haben Text und Zeichnungen eigenhändig in den Computer gebracht, jede Internetseite selbst erzeugt und jede Programmzeile der zum Download bereitgestellten Programme selbst geschrieben. Bleibt eigentlich nur ein herzlicher Dank an die Studenten und die Fachkollegen, die sich mit zahlreichen Hinweisen zu den ersten Auflagen geäußert haben, und an Herrn Dr. Feuchte (GWV Fachverlage) für seine Geduld und sein Engagement dafür, dass das Buch in dieser Form erscheinen kann. Jesteburg, Sommer 2005 Helga und Jürgen Dankert

6 VII Inhalt 1 Grundlagen der Statik Die Kraft Axiome der Statik Das Schnittprinzip 5 2 Das zentrale ebene Kraftsystem Äquivalenz Gleichgewicht 13 3 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Äquivalenz) Graphische Ermittlung der Resultierenden Parallele Kräfte Kräftepaar und Moment Das Moment einer Kraft Äquivalenz Versetzungsmoment Analytische Ermittlung der Resultierenden 23 4 Schwerpunkte Schwerpunkte von Körpern Flächenschwerpunkte Linienschwerpunkte Experimentelle Schwerpunktermittlung Flächenschwerpunkte, Computer-Verfahren Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Fläche Durch zwei Funktionen begrenzte Fläche Flächen- und Linienlasten Aufgaben 40 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Die Gleichgewichtsbedingungen Lager und Lagerreaktionen in der Ebene Statisch bestimmte Lagerung Aufgaben 51 6 Ebene Systeme starrer Körper Statisch bestimmte Systeme Stäbe und Seile als Verbindungselemente 59

7 VIII Inhalt 6.3 Lineare Gleichungssysteme Fachwerke Statisch bestimmte Fachwerke Berechnungsverfahren Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung Aufgaben 79 7 Schnittgrößen Definitionen Differenzielle Zusammenhänge Ergänzende Bemerkungen zu den Schnittgrößen Aufgaben 94 8 Räumliche Probleme Zentrales Kraftsystem Räumliche Fachwerke Allgemeines Kraftsystem Momente Das Moment einer Kraft Äquivalenz und Gleichgewicht Schnittgrößen Aufgaben Haftung Coulombsches Haftungsgesetz Seilhaftung Aufgaben Elastische Lager Lineare Federn Gleichgewicht bei steifen Federn Gleichgewicht bei weichen Federn Beurteilung der Gleichgewichtslagen Aufgaben Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien Das Seil unter Eigengewicht Das Seil unter konstanter Linienlast Grundlagen der Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Spannungen und Verzerrungen Der Zugversuch Hookesches Gesetz, Querkontraktion 158

8 Inhalt IX 13 Festigkeitsnachweis Belastungsarten Dauerfestigkeit Gestaltfestigkeit Zeitfestigkeit Spannungskollektive Palmgren-Miner, Gaßner-Kurven Zug und Druck Spannung, Dehnung Statisch unbestimmte Probleme Temperatureinfluss, Fehlmaße Aufgaben Der Stab als finites Element Die Finite-Elemente-Methode Fluchtende Stabelemente Ebene Fachwerk-Elemente Temperaturdehnung, Anfangsdehnung Nutzung von Finite-Elemente-Programmen Aufgaben Biegung Biegemoment und Biegespannung Flächenträgheitsmomente Definitionen Einige wichtige Formeln Der Satz von Steiner Zusammengesetzte Flächen Hauptträgheitsmomente, Hauptzentralachsen Formalisierung der Berechnung Durch Polygonzüge begrenzte Flächen, Computer-Rechnung Gültigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele Aufgaben Verformungen durch Biegemomente Differenzialgleichung der Biegelinie Integration der Differenzialgleichung Rand- und Übergangsbedingungen Einige wichtige Formeln Statisch unbestimmte Systeme Superposition Aufgaben 255

9 X Inhalt 18 Computer-Verfahren für Biegeprobleme Das Differenzenverfahren Differenzenformeln Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit Biegelinie bei veränderlicher Biegesteifigkeit Der Biegeträger als finites Element Element-Steifigkeitsmatrix für Biegeträger Element-Belastungen (Linienlasten) Biegesteife Rahmentragwerke Aufgaben Spezielle Biegeprobleme Schiefe Biegung Der elastisch gebettete Träger Lösung der Differenzialgleichung der Biegelinie Numerische Lösung Spezielle Rand- und Übergangsbedingungen Der gekrümmte Träger Schnittgrößen Spannungen infolge Biegemoment und Normalkraft Verformungen des Kreisbogenträgers Numerische Berechnung der Verformungen Aufgaben Querkraftschub Ermittlung der Schubspannungen Dünnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt Schubspannungen in Verbindungsmitteln Verformungen durch Querkräfte Aufgaben Torsion Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten Saint-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte Saint-Venantsche Torsion dünnwandiger Querschnitte Dünnwandige geschlossene Querschnitte Dünnwandige offene Querschnitte Formeln für die Saint-Venantsche Torsion Numerische Lösungen Aufgaben Zusammengesetzte Beanspruchung Modelle der Festigkeitsberechnung Zusammengesetzte Normalspannung Der einachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand 372

10 Inhalt XI 22.5 Festigkeitshypothesen Ebener Spannungszustand Berechnung von Wellen Aufgaben Knickung Stabilitätsprobleme der Elastostatik Stab-Knickung Differenzialgleichung 4. Ordnung Numerische Lösung von Knickproblemen Aufgaben Formänderungsenergie Arbeitssatz Formänderungsenergie für Grundbeanspruchungen Satz von Castigliano Satz von Castigliano (statisch unbestimmte Systeme) Aufgaben Rotationssymmetrische Modelle Rotationssymmetrische Scheiben Spezielle Anwendungsbeispiele Dünnwandige Behälter (Membranspannungen) Aufgaben Kinematik des Punktes Geradlinige Bewegung des Punktes Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinematische Diagramme Allgemeine Bewegung des Punktes Allgemeine Bewegung in einer Ebene Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten Allgemeine Bewegung im Raum Aufgaben Kinematik starrer Körper Die ebene Bewegung des starren Körpers Translation und Rotation Der Momentanpol Geschwindigkeit und Beschleunigung Ebene Relativbewegung eines Punktes Bewegung des starren Körpers im Raum Rotation Allgemeine Bewegung Relativbewegung eines Punktes 475

11 XII Inhalt 27.4 Systeme starrer Körper Aufgaben Kinetik des Massenpunktes Dynamisches Grundgesetz Kräfte am Massenpunkt Geschwindigkeitsabhängige Bewegungswiderstände Massenkraft, das Prinzip von d Alembert Numerische Integration von Anfangswertproblemen Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung Differenzialgleichungssysteme und Differenzialgleichungen höherer Ordnung Integration des dynamischen Grundgesetzes Der Impulssatz Arbeit, Energie, Leistung Der Energiesatz Aufgaben Kinetik starrer Körper Reine Translation Rotation um eine feste Achse Massenträgheitsmomente Massenträgheitsmomente einfacher Körper Der Satz von Steiner Deviationsmomente, Hauptachsen Beispiele zur Rotation um eine feste Achse Allgemeine Beispiele Auswuchten von Rotoren Ebene Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Das Prinzip von d Alembert Energiesatz Beispiele Räumliche Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Körperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung Das Kreiselmoment Aufgaben Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz Stoß Der gerade zentrische Stoß Der schiefe zentrische Stoß Der exzentrische Stoß Aufgaben 580

12 Inhalt XIII 31 Schwingungen Harmonische Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Schwingungen mit kleinen Ausschlägen Elastische Systeme Nichtlineare Schwingungen Freie gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Schwingungen mit harmonischer Erregung der Masse Erregung über Feder und Dämpfer Unwuchterregung Biegekritische Drehzahlen Aufgaben Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Freie ungedämpfte Schwingungen Torsionsschwingungen Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme Biegekritische Drehzahlen Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung Aufgaben Prinzipien der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Arbeit für Potenzialkräfte, Stabilität des Gleichgewichts Prinzip von d Alembert in der Fassung von Lagrange Lagrangesche Bewegungsgleichungen Generalisierte Kräfte, Potenzialkräfte Virtuelle Arbeit der Massenkräfte Lagrangesche Gleichungen 2. Art Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials Das Verfahren von Ritz Randwertproblem und Variationsproblem Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode Aufgaben 651 Anhang A (Lösungen zu den Aufgaben) 652 Anhang B 674 B1 Ergebnisse verifizieren 674 B2 Spezielle Aufgaben 677 Aufgabe B2.1 Gerader Träger mit Gelenk, mehrfeldrig, statisch unbestimmt 677

13 XIV Inhalt Aufgabe B2.2 Statisch bestimmtes System, schwierig zu entkoppelnde Gleichungen 679 Aufgabe B2.3 3D-Fachwerk, statisch unbestimmt 682 Aufgabe B2.4 Ebener biege- und dehnsteifer Rahmen, hochgradig statisch unbestimmt 684 Aufgabe B2.5 Dreidimensionaler Rahmen mit biege-, dehn- und torsionssteifen Elementen, hochgradig statisch unbestimmt 686 Aufgabe B2.6 Nichtlineares Anfangswertproblem, ein Freiheitsgrad, geschwindigkeitsproportionale Dämpfung 688 Aufgabe B2.7 Lineares Anfangswertproblem, zwei Freiheitsgrade, geschwindigkeitsproportionale Dämpfung 691 Aufgabe B2.8 Doppelpendel, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt 693 Aufgabe B2.9 Laufkatze, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt, zeitabhängiges und wegabhängiges Ereignis 697 B3 Finite-Elemente-Methode als Näherungsverfahren 699 B3.1 Ein- bzw. zweidimensionale FEM-Modelle 700 B3.2 Reduktion der Elementlasten, Realisierung der Lagerung 703 B3.3 Kompatibilität und Gleichgewicht 704 B3.4 Die Element-Steifigkeitsmatrix 704 Aufgabe B3.1 Scheibentheorie, Finite-Elemente-Methode, unterschiedliche Elementtypen, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 708 Aufgabe B3.2 Biegetheorie, veränderlicher Querschnitt, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 711 Aufgabe B3.3 Saint-Venantsche Torsion, Torsions-Trägheitsmoment des Rechteckquerschnitts, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 713 Literatur 714 Index 715